Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 29-08-2011 21:00:39

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Une fonction à moitié contine partout

Bonjours à tous,
Cette fois il faut trouver une bijection de R sur R, discontinue (à gauche) en tout nombre décimale mais continue partout ailleurs.


Quelques indices :

1) Spoiler : [Afficher le message] Rappel: Une fonction f :R->R est continue en [latex]a[/latex] si  :
Quel que soit [latex]\varepsilon > 0[/latex]  il existe [latex]\eta > 0[/latex]  tel que quel que soit [latex]x \in ]a-\eta,a+\eta[[/latex] on a [latex]f(x) \in ]f(a)-\varepsilon,f(a)+\varepsilon[[/latex].

2) Spoiler : [Afficher le message] Si sa définition est vraiment élémentaire, montrer la propriété recherchée est plus délicat.
3) Spoiler : [Afficher le message] Je suis tombé sur cette fonction en jouant avec les décimales des nombres 
4) Spoiler : [Afficher le message]     f(f(x))=x   Oui, ça aide pas beaucoup big_smile

5) Spoiler : [Afficher le message] Si on écrivait un nombres avec des petites tablettes de buis présentant chacune un nombre de 0 à 9 ou une virgules, je pense que la Esméralda pourrait facilement dresser Djali sa chèvre à construire l'image de ce nombre.



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 29-08-2011 22:00:10

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

une fonction à moitié cpntinue partout

L'idée du titre est que dans n'importe quel intervalle, la fonction est continue en un nombre infinie de points mais aussi discontinue en un nombre infinie de points, et ça, ça peut paraitre  paradoxale à première vue, d'où le terme "moitié continue".

 #3 - 29-08-2011 22:19:29

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Une fonction à omitié continue partout

De but en blanc, je dirais [latex]\mathbf{1}_{\mathbb{D}}[/latex] qui est la fonction indicatrice sur les nombres décimales. Elle vaut 1 quand x est un nombre décimal et 0 partout...

 #4 - 29-08-2011 22:28:56

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

une foncrion à moitié continue partout

clement.boulonne : la fonction indicatrice sur les nombres décimales n'est pas une bijection, et en plus elle n'est continue nulle part. Bien essayé wink

 #5 - 29-08-2011 22:58:46

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Une fonction à moitié cotninue partout

Ah oui, bijection... C'est corsé d'un seul coup ! big_smile

Une autre proposition. Soit [latex]x \in \mathbb{R}[/latex], je note [latex]x_{\mathbb{D}}[/latex] le nombre décimal le plus proche de [latex]x[/latex].

Soit [latex]\varepsilon \in \mathbb{R}[/latex] strictement positif, je définis tout d'abord la fonction [latex]f[/latex] sur tous les nombres décimaux : [latex]f(x) = x+\varepsilon[/latex]

Ensuite si [latex]x[/latex] est un réel compris entre deux décimaux (je rappelle que [latex]\mathbb{D}[/latex] est dense dans [latex]\mathbb{R}[/latex]) alors je définis [latex]f[/latex] en [latex]x[/latex] par : [latex]f(x) = f(x_{\mathbb{D}}) + x = x_{\mathbb{D}} + \varepsilon + x[/latex].

Alors [latex]f[/latex] serait continue sur les nombres réels non décimaux et les sauts se feront sur les nombres décimaux. Par contre, pas sûr qu'elle soit bijective (après mûres rélexions)

Bon, c'est juste une rapide rédaction de mes idées et ça doit être peu clair pour le correcteur...

 #6 - 29-08-2011 23:07:13

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Une fonction à moitié continue paartout

Bonsoir,

Je pense à truc du style :

[latex]f(x) = 1-x [/latex] si [latex]x[/latex] est décimal et
[latex]f(x) = x [/latex] sinon.

Elle est bijective mais pour la continuité, je laisse des plus compétents que moi s'en occuper smile et vraisemblablement me prouver que je suis dans l'erreur smile .

 #7 - 30-08-2011 10:08:22

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Une fonctoin à moitié continue partout

clement.boulonne : attention le nombre décimale le plus proche d'un nombre non décimale n'existe pas ! Quel que soit celui proposé on peut en trouver un plus proche en lui rajoutant des chiffres à la fin.


esereth :
[latex]f(x) = 1-x [/latex] si [latex]x[/latex] est décimal et
[latex]f(x) = x[/latex] sinon.

C'est déjà pas mal pour la bijection, par contre effectivement la fonction n'est continue nulle part (sauf en 1/2 quand 1-x=x)

Spoiler : [Afficher le message] Si la fonction fait des sauts au niveau des nombres décimaux, ces sauts doivent être de plus en plus petit "en se rapprochant des nombres non décimaux" pour assurer la continuité.

 #8 - 30-08-2011 10:45:30

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3318

Une fonction à moitié continue artout

Pour la partie discontinue à gauche : Je ne sais pas trop à vrai dire parce que c'est vraiment trop compliqué mais je tente avec :
[TeX]f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n.cos(b^n\pi x)[/latex] avec [latex]0<a<1[/TeX]
Pour la partie continue à droite :[latex](E):\ \left{\frac{sin(x)}{x} \text{ si } x \in \mathbb{R} \\ f(0)= 1 \right[/latex] qui est continue en 0

Shadock hmm

PS : Je pense qu'il existe plus simple notamment avec la fonction partie entière.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #9 - 30-08-2011 13:13:05

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Une fnoction à moitié continue partout

Bonjour,
J'ai mal à la tête, mais je n'ai pas la solution: big_smile
Frank

 #10 - 30-08-2011 22:14:19

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Une fonction à moitié conitnue partout

Hop ! J'ai rajouté un cinquième indice pour les bossus des math smile

 #11 - 30-08-2011 22:18:02

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Une fonction à moitié continuee partout

Va falloir que je révise mes notions de Topologie : le CAPES approche !! big_smile

 #12 - 31-08-2011 14:01:36

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Une fonction à moiité continue partout

Les nombres décimaux sont dénombrables, soientt [latex]...d_{-2,}d_{-1},d_0,d_1,d_2,....[/latex] ces nombres  je définis [latex]f(x)=x[/latex] si [latex]x[/latex] n'est pas décimal et [latex]f(d_i)=d_{i+1}[/latex] sinon.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #13 - 02-09-2011 20:57:52

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Une fonction à omitié continue partout

Voilà l'heure de la solution, et personne n'a trouvé de fonction continue en dehors des nombres décimaux hmm
Esereth et Yanyan on trouvé des bijection discontinue partout (quoi que pour Yanyan cela dépend peut être du dénombrement roll)

Vous allez voir que je ne me suis pas moqué de vous avec la "semi continuité" big_smile

Un petit schéma s'impose pour bien expliquer comment il faut prendre le problème :
http://www.prise2tete.fr/upload/w9Lyl6n-Schema_continuite.png
Être continue en a c'est avoir toutes les valeurs autour de f(a) aussi proche de f(a) que l'on veut, pourvue d'être assez proche de a au départ.

Or la fonction est discontinue (elle saute) en tout nombre décimal et il y a une infinité de ces nombres entre chaque nombre réel roll

Conséquence -> Les sauts autours d'un nombres non décimal sont aussi petit que l'on veut pourvu de se rapprocher suffisamment de ce nombre.

Et là, tada! Qu'est ce qu'il ont de particulier les nombres décimaux qui se rapproches d'un nombre non décimal ? ils ont de plus en plus de chiffres!

Déduction -> plus il y a de chiffres à un nombre décimal plus le saut doit être petit cool

Après il y a plein de manière d'obtenir ça, j'en ai trouvé deux autres pendant la durée de l'énigme.

possibilité 1: On permute deux à deux les chiffres
C'est pas sorcier, une chèvre saurait le faire f(3.141592)=30.415129
J'en dit pas plus je vais faire une nouvelle énigme avec.
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=9607

possibilité 2: On duplique tous les chiffres du nombre à la fin
ou on en enlève la moitier si le nombre est déjà "dupliqué"
f(3.14) = 3.14314
f(265.4726547) = 265.47
Bien sûr f(x) = x si x n'est pas décimal

possibilité 3 : Même principe
sauf qu'on duplique seulement le dernier chiffre différent de 0 à droite, ou on le  supprime si il est en double:
f(3.14)=3.144
f(325)=325.5
f(3.33)=3.3
f(22)=20

A chaque fois la discontinuité recule de plus en plus loin dans les chiffres en se rapprochant des non décimaux -> les sauts sont se plus en plus petits. Voilà cool

 #14 - 04-09-2011 18:45:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Une foncton à moitié continue partout

Suis-je le seul à ne pas être convaincu par les solutions proposées ???

Vasimolo

 #15 - 04-09-2011 18:47:04

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3318

Une fonction à moitié continue patrout

Moi même ma réponse je ne la comprends pas alors... lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #16 - 04-09-2011 18:57:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

une fonction à moitié cobtinue partout

lol

On voit mal en quoi le caractère décimal intervient par exemple par rapport à 1/3=0,3333333...

Vasimolo

 #17 - 05-09-2011 00:27:21

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Une fnction à moitié continue partout

... qui n'est pas un décimal :-)

 #18 - 05-09-2011 11:11:07

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

une fobction à moitié continue partout

Avant de pouvoir donner un avis (car la question m'intéresse) j'aurais besoin de voir une définition précise de la fonction.
On permute les décimales de quoi au voisinage de quoi?
Parce que la c'est trop flou pour qu'on puisse même se faire une idée de la solution proposée.
Je ne suis pas du tout convaincu pour le moment.
Que prend-on pour les décimaux ? Que prend-on pour les non-décimaux?
Si on permute les non décimaux en s'approchant des décimaux, on ne sera sans doute pas continu aux points non décimaux.

Je ne suis même pas convaincu qu'on puisse trouver une fonction continue sur un ensemble dense dans une autre et non continue sur son complémentaire, lui aussi dense...

 #19 - 05-09-2011 12:44:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Une fonction à moitié continue aprtout

Il y a un exemple très connu de fonction réelle à valeurs réelles continue sur [latex]\mathbb{R}-\mathbb{Q}^*[/latex] et discontinue sur [latex]\mathbb{Q}^*[/latex] mais je ne sais pas si on peu l'adapter aux décimaux et en plus l'application n'est pas bijective !!!

Vasimolo

 #20 - 05-09-2011 13:53:05

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Une fonction à moitié coontinue partout

Je me suis mal exprimé smile
Je pensais aussi à la bijection. Mais cette question me travaille. La continuité est trompeuse.

Si on prend:
f(x)=x pour x irrationnel
f(x)=0 pour x rationnel, on a bien une telle fonction.

Du coup, si on prend par exemple:
f(x)=x si x N'est PAS décimal
f(x)=-x si x est décimal

Qu'obtient-on?
C'est une bijection. Mais peut-on dire qu'elle est continue?
Elle n'est pas continue sur R.
Mais elle est continue sur D et sur R-D lorsqu'on restreint l'ensemble de définition à l'un ou a l'autre dans la mesure ou dans ce cas on exclut les points de discontinuité. Mais là on joue sur les mots.

Dans la question originale, il me semble que c'est la continuité à gauche sur R qui est demandée. Sinon il n'y a aucune question à vrai dire...

 #21 - 05-09-2011 14:06:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

une fonxtion à moitié continue partout

rivas a écrit:

Si on prend:
f(x)=x pour x irrationnel
f(x)=0 pour x rationnel, on a bien une telle fonction.

Une telle fonction ne me semble continue qu'en 0 smile

Vasimolo

 #22 - 05-09-2011 14:42:02

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Une fonction à mitié continue partout

[latex]f/_{\mathbb{Q}}[/latex] est continue.
[latex]f/_{\mathbb{R}-\mathbb{Q}}[/latex] est continue.

Mais [latex]f/_{\mathbb{R}}[/latex] n'est pas continue.
C'était ça mon point smile

 #23 - 05-09-2011 17:48:29

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

une donction à moitié continue partout

J'aurais voulu répondre plus tôt mais mon pare-feu s'est amusé à bloquer mon accès à prise2tete yikes


La première fonction (proposition 1) est décrite plus en détail dans ma nouvelle énigme. Pour une description formelle :
Définition :
Si on écrit [latex] x=\sum_{j=-\infty}^{+\infty}{x_j10^j}[/latex]

alors [latex]f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty}{x_{2i+1}10^{2i}+x_{2i}10^{2i+1}}[/latex]

Voilà pour la définition rigoureuse. Je n'irais pas plus loin pour cette fonction,  je ne veut ne pas spoiler ma nouvelle énigme.




Je vais étudier la fonction de la proposition 3 :

Appelons g cette fonction,
Définition :
Si [latex] x=\sum_{j=a}^{b}{x_j10^j}[/latex] où [latex]x_a \neq 0 et x_b \neq 0[/latex]
Alors
1) si [latex]a=-\infty[/latex] (nombre non décimal) g(x)=x
2) sinon si [latex]x_a \neq x_{a-1}[/latex] alors [latex]g(x) = x + x_a10^{a-1}[/latex]
3) sinon [latex]x_a = x_{a-1}[/latex] alors [latex]g(x) = x - x_a10^a[/latex]



g n'est pas bijective je me suis trompé big_smile (mais f est bien bijective)
En effet g(1)=g(1,11)=1,1



Bon, comme c'est sur la continuité que cette fonction est intéressante, concentrons nous dessus :



1) Soit [latex]x[/latex]un nombre décimal :
[TeX] x=\sum_{j=a}^{b}{x_j10^j}[/TeX]
Considérons la suite [latex]u_i=x-10^a+\sum_{j=a-i}^{a-1}{9*10^j}[/latex]
Ecrit en écriture décimal [latex]u_i = x_bx_{b-1}...x_{a+2}x_{a+1}(x_a-1)99...999[/latex] (avec i fois le chiffre 9 à la fin)
[TeX]g(u_i)=u_{i-1}[/latex] car g enlève le dernier chiffre quand il se répète.
Or [latex]lim\ u_i = x[/latex] donc [latex]lim\ g(u_i)= lim\ u_{i-1} = x[/TeX]
mais [latex]g(x) \neq x[/latex] donc g n'est pas continue en x


2) Soit [latex]x[/latex]un nombre NON décimal :

lemme : Pour tout réel  [latex]x'[/latex],    [latex]|g(x)-x|\ <\ 10^{n+2} [/latex] si [latex]x_n \neq 0[/latex] (reprendre l'expression formelle de la fonction, majorer [latex]x_a[/latex] par 10)
fin du lemme


Soit [latex]\epsilon >0[/latex]
Soit maintenant [latex]m[/latex] tel que  [latex]\epsilon >10^m[/latex] et tel que [latex]x_{m-3} \neq 0[/latex] <- c'est là que ça diffère des décimaux
alors quel que soit [latex]x' \in ]x-10^{m-3},\ x+10^{m-3}[[/latex] 
on a [latex]|g(x')-x'|<10^{m-1}[/latex] (lemme)
d'où [latex]|g(x')-x| \ < \ |g(x')-x'|+|x' - x| \ <\ 10^{m-1}+10^{m-3}\ <\ 10^m[/latex]
or g(x) = x
finalement [latex]|g(x')-g(x)| \ < \ \epsilon[/latex]
donc g est continue en x

Pffiu ! Voilà c'est fini.
Je préfère être vague quand même ça prend moins de temps lol

SVP répondez moi si vous avez compris, j'aimerais avoir des retours.

 #24 - 05-09-2011 23:16:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

une fonction à moitié xontinue partout

Je n'ai pas trop regardé pour les propositions 2 et 3 mais pour la 1ère ça fonctionne à merveille et c'est assez bluffant .

Très joli problème smile

La discontinuité change quand même de côté en passant par 0 ce qui fait qu'un décimal échappe à la règle lol

Vasimolo

 #25 - 06-09-2011 18:28:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

ne fonction à moitié continue partout

Un exemple encore plus simple de bijection [latex]f[/latex] continue sur [latex]\mathbb{R}-\mathbb{D}[/latex] et discontinue sur [latex]\mathbb{D}[/latex] .

On écrit chaque nombre réel avec une infinité de chiffres après la virgule ( des 0 à la fin pour les décimaux ) et on considère la fonction [latex]f[/latex] qui après la virgule change tous les 0 en 9 et tous les 9 en 0 .

Mais [latex]f[/latex] n'est pas involutive ( [latex]f\circ f \neq Id[/latex] ) .

Vasimolo

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Si il y a 63 pommes et que vous en prenez 23, combien en avez-vous ?

Sujets similaires

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete