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 #1 - 03-03-2012 00:28:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

On penche àà droite ?

Rien à voir avec la politique smile

Différents objets sont posés sur le deux plateaux d'une balance qui penche manifestement à gauche . Chaque objet a une ou plusieurs couleurs et une masse positive . 

http://img16.imageshack.us/img16/5157/inversera.jpg

On choisit une couleur et on change de plateau tous les objets arborant cette couleur . En renouvelant l'opération autant de fois que l'on veut est-on sûr de pouvoir faire balancer l’ensemble vers la droite  ?

Personnellement je ne souhaite pas mais quel est votre avis ?

Vasimolo



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 #2 - 03-03-2012 01:43:18

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

on oenche à droite ?

Ne suffit-il pas de changer de plateau les objets contenant du bleu ? Il y aurait 2g à gauche, et 3g à droite !

 #3 - 03-03-2012 10:47:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

On penhce à droite ?

L'exemple proposé est volontairement très simple smile

Le problème est de trouver un exemple ou le basculement est impossible ou d'expliquer pourquoi le basculement est toujours possible .

Vasimolo

 #4 - 03-03-2012 11:31:49

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

On penche à driote ?

Il faudrait peut-être préciser si la balance est juste, fidèle et précise hmm .

Si il y a par exemple une cale qui l’empêche de bouger, on pourra mettre tout ce que l'on veut sur le plateau de droite sans qu’elle penche de ce coté (à moins d'atteindre la rupture) lol !

 #5 - 03-03-2012 11:54:50

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

pn penche à droite ?

Bon, sur l'exemple choisi, on inverse les objets qui ont du bleu, et ça passe.

La question est donc : peut-on toujours le faire ? (Si non, trouver un contre-exemple.)

Ouhhhh, ma tête hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 03-03-2012 12:41:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

On penche à drote ?

Il n'y a pas de piège , la balance penche du côté où la masse est la plus importante et les plateaux ne sont pas bloqués lol

Mathias , le mal de tête c'est un peu la marque de fabrique de ce site , là où on met la prise ça fait toujours un peu mal lol

Amusez-vous bien quand même smile

Vasimolo

 #7 - 04-03-2012 09:48:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

On penche à droie ?

On substitue aux poids totaux de chaque couleur de part et d'autre de la balance la différence de poids, positive ou négative. On pose que la situation de départ est + à gauche, puisque le poids est plus lourd à gauche.
Chaque couleur est représentée par une lettre A,B,C...et les objets à plusieurs couleurs par ces couleurs: AB, ABD, ...
On écrit ensuite dans un tableau toutes les possibilités de substitution. Il est assez évident que pour un plateau à n couleurs, il y a 2^n configurations possibles.

On suppose que toutes les config donnent une somme totale positive (supposition de l'énoncé)

1 couleur A:
A>0 (ce qui signifie que la différence de poids est favorable à gauche)
Si inversion:
-A>0 donc A<0 contraire à l'énoncé de départ.

2 couleurs A et B
A B AB
+ + + (1)
+  -  - (2)
-  + -  (3)
-  -  + (4)

(1) +(2) ---->A>0
(3) + (4) ----->A<0
Contradiction

3 couleurs
A B C AB AC BC ABC
+ + + +   +   +    +
+ + -  +   -    -     -
+ -  +  -   +   -     -
+ -  -   -   -    +    +
-  + + -   -    +     -
-  +  - -   +    -     +
-  -  -  +   +   +    -
-  -  + +  -    -      +
   
(1)+..(4)------->A>0
(5)+...(8)------->A<0
Contradiction

Il en sera de même pour n couleurs.

ça pourra toujours pencher à droite car il faudra bien au moins une config <0.

 #8 - 04-03-2012 12:10:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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on oenche à droite ?

@Nodgim , nos approches sont apparemment très voisines mais je ne comprends pas trop ce que tu mets en début de ligne dans tes tableaux et comment tu peux ensuite généraliser avec n couleurs .

Vasimolo

 #9 - 04-03-2012 13:02:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
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On penche à dorite ?

La généralisation se fait très facilement par récurrence.
Ce que je mets en haut de ligne ce sont les couleurs, simples (A, B, C..) ou composées (AB, AC, ..)
Toutes les combinaisons possibles sont définies par les couleurs simples (car on inverse par couleur). Les autres colonnes, celles des couleurs composées, sont le résultat de la combinaison des couleurs simples. Il y a + dans les colonnes à couleurs composées lorsque il y a un nombre pair de "-" (double inversion) dans la ligne parmi les couleurs simples choisies.

 #10 - 04-03-2012 15:20:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

pn penche à droite ?

J'avais bien compris tout ça et ce n'est pas ma question smile

Tes lignes sont rangées dans un ordre correspondant à certaines inversions , comment est défini cet ordre . Sinon je vois mal comment fonctionne ta récurrence .

Vasimolo

 #11 - 04-03-2012 17:01:21

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

On penche à roite ?

L'ordre des combinaisons peut être (c'est le plus simple) tout simplement celui des entiers naturels écrits en base 2 (ici, le + est 0 et le - à 1).
Pour la récurrence:
Soit ajouter D aux couleurs A B C: On ajoute D dans toutes les  colonnes existantes. A devient AD, B BD,.... ABC devient ABCD. Les colonnes simples (A, B,C sont ajoutées et sont bien sûr inchangées) Pour tout D +, aucun changement dans la somme des colonnes, le + conserve le signe. Ensuite on duplique en ajoutant autant de lignes que l'existant, mais cette fois D est -: toutes les valeurs composées sont alors inversées, mais la somme reste nulle.

 #12 - 04-03-2012 19:48:12

Vasimolo
Le pâtissier
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on penche à droitr ?

La somme nulle sur chaque colonne est assez facile à établir , ça ne suffit pas pour conclure directement ?

Vasimolo

 #13 - 04-03-2012 20:04:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
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On pecnhe à droite ?

Tu m'as demandé comment établir la récurrence, je l'ai fait.
Peut être y a t il plus simple.

 #14 - 04-03-2012 20:09:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

On pencche à droite ?

Je veux dire que la somme nulle sur chaque colonne ne veut pas dire forcément que tu peux arranger les lignes comme tu le dis . Par contre ça permet de résoudre le problème aisément smile

Vasimolo

 #15 - 05-03-2012 18:18:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

On peche à droite ?

D'accord. Je crois qu'on s'est compris.

 #16 - 06-03-2012 11:21:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

on penche à sroite ?

Une solution détaillée car le problème n’est pas si simple .

Je reprends les notations de Nodgim c'est à dire que les couleurs sont notées [latex]A[/latex] , [latex]B[/latex] , [latex]C[/latex] ,... et les différentes masses [latex]A[/latex] , [latex]AB[/latex] , [latex]ABC[/latex] , ... En tolérant les masses négatives on peut tout regrouper sur le plateau de gauche avec une seule masse pour chaque ensemble de couleurs .

En n’écrivant que les termes non nuls , l'exemple proposé dans le message initial se traduit par :

[latex]BR+V+VR>0[/latex] avec [latex]BR=1[/latex] , [latex]V=1[/latex] et [latex]VR=-1[/latex] .

Quelques remarques préliminaires :

Déplacer une couleur c'est changer le signe de toutes les masses qui ont cette couleur .  Le choix de plusieurs couleurs peut donc être assimilé à celui d’une partie de l'ensemble des couleurs . Si on note [latex]M[/latex] les couleurs d'une masse donnée et [latex]C[/latex] et l'ensemble des couleurs choisies pour les déplacements alors le signe attribué à la masse [latex]M[/latex] change si et seulement si  [latex]|M\cap C|[/latex] est impair .

Par exemple avec une masse [latex]ABC[/latex] initialement à gauche :

les choix de couleurs : [latex]D[/latex] , [latex]ACD[/latex] , [latex]BCD[/latex] , ... laissent la masse en place .
les choix de couleurs : [latex]AD[/latex] , [latex]ABC[/latex] , [latex]BD[/latex] , ... changent la masse de plateau .

Tout cela a été plutôt bien expliqué par Nodgim .

Maintenant si on note [latex]E=\{1,2,3,\ldots,n\}[/latex] l'ensemble des couleurs , les masses sont les parties [latex]A[/latex] non vides de [latex]E[/latex] auxquelles on attribue un nombre . Si on applique l'ensemble des mouvements possibles à une masse donnée [latex]A[/latex] il est clair que celle-ci va passer la moitié de son temps à gauche et l'autre à droite ( on peut le démontrer proprement en calculant [latex]\sum_{B\subset E}(-1)^{|A\cap B|}=0[/latex] ) . Alors en ajoutant ces [latex]2^n[/latex] balances on obtient un total nul . Comme la position initiale est strictement positive il existe une position strictement négative qui correspond à une balance penchant à droite .

J’espère que ces quelques précisions , ajoutées aux commentaires de Nodgim , permettrons à ceux qui ont cherché sans trouver de comprendre la solution .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

 

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