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 #1 - 16-05-2012 20:11:36

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3320

Intégration et fonctions réciprroques

Bonjour à tous, je me suis rendu compte qu'il était très difficile d'obtenir la fonction réciproque d'une fonction quelconque. Notamment pour les polynômes.

Aussi ai-je réfléchis à une méthode en travaillant sur les calculs d'aires entre la courbe et l'axe Ox et entre la courbe et l'axe Oy.

En prenant f(x)=x je vous rassure le résultat était trivial.
Je me suis alors empressé d'essayer avec f(x)=x^2 (mon but était d'arriver à x^(1/2) )

Voici d'abord mon raisonnement dans le cas général :
http://img4.hostingpics.net/pics/674552exemple.png
En rouge :  [latex]A=\int_0^a f(x) dx[/latex]
En vert : [latex]B=\int_0^{f(a)} f^{-1}(x) dx[/latex] (la fonction réciproque)

De plus [latex]A+B=a*f(a)[/latex]

On peut donc écrire trivialement : [latex]\int_0^{f(a)} f^{-1}(x) dx=a*f(a)-\int_0^a f(x) dx[/latex]

Pour trouver [latex]f^{-1}(x)[/latex] il suffira de dériver la primitive.


Premier problème :
Je n'arrive pas à définir toutes les variables et constante pour que mon résultat soit bien une primitive et non pas une simple constante.

Deuxième en essayant avec x² :
J'obtiens : [latex]\int_0^{f(a)} f^{-1}(x) dx=\frac{2a^3}{3}[/latex]

En posant maintenant "a" est une variable comment retrouver la fonction réciproque de x² ? Car f(a)=a^2 et comme on cherche la fonction réciproque x² on ne peut pas en revenir à [latex]\int_0^{a} f^{-1}(x) dx=\frac{2a^{3/2}}{3}[/latex] qui est bien une primitive de la fonction racine carré.

Merci d'avance pour vos réponses smile
Shadock



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"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 17-05-2012 11:20:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3022

Intégrtion et fonctions réciproques

Pour une fonction réciproque, le plus simple que j'ai trouvé est de tourner le graphique de sa courbe représentative de 90 degrés...Méthode que j'emploie aussi volontiers pour trouver le devenir de la suite correspondante...

 #3 - 17-05-2012 11:56:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3320

Intégration et fonnctions réciproques

Je sais qu'on peut le faire selon la droite d'équation y=x

Mais moi je ne cherche pas à savoir à quoi elle ressemble mais quelle est son équation. Si je cherche la fonction réciproque de [latex]\sum_{i=1}^5 a_i*sin(x-\frac{\pi}{3})^{2i+3}[/latex] je fais quoi? ^^

Au départ je pensais que ma méthode serait très pratique sauf que quand on essaye... donc si il y avait un courageux capable de m'aider je lui en serait très reconnaissant big_smile

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 17-05-2012 12:05:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3022

Intégration et fonctions réciproqques

Je n'ai pas de réponse mais ta méthode est pleine d'astuce. Maintenant, la résolution des primitives n'est pas toujours aisée, loin s'en faut...

 #5 - 17-05-2012 13:01:06

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Intégration et fonctions récpiroques

@Shadock

Quelle est la dérivée de [latex]g(x)=\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt[/latex] ?

Vasimolo

 #6 - 17-05-2012 15:29:03

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3320

Intégration et foncctions réciproques

[TeX]\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=F^{-1}(f(x))-F^{-1}(0)[/TeX]
En réalité je n'en sais rien j'ai regardé la formule pour calculer la dérivé d'un fonction réciproque. Mais là avec la primitive tout ça...

Surtout que ma fonction de départ s'annule sur son ensemble de définition. Alors je ne sais pas comment faire yikes

Je pense que je complique les choses mais d'après cette méthode Bijection réciproque :
[TeX]g'(x)=\frac{1}{F'(x)\circ F^{-1}(x)}\circ f(x)-f(0)[/TeX]


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 17-05-2012 16:27:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

intégration et fonctions récipriques

Le problème est que la borne supérieure de l'intégrale dépend de [latex]x[/latex] mais n'est pas [latex]x[/latex] smile

Si tu notes [latex]h(x)=\int_0^xf^{-1}(t)dt[/latex] alors on a bien  [latex]h'(x)=f^{-1}(x)[/latex] .

Si [latex]g(x)=\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=h\circ f(x)[/latex] alors [latex]g'(x)=h'\circ f(x).f'(x)=x.f'(x)[/latex]

Si tu prends [latex]f(x)=x[/latex] , pas de problème [latex]g'(x)=x.1=x[/latex] mais pour [latex]f(x)=x^2[/latex] , [latex]g'(x)=2x^2\neq x.[/latex]

Vasimolo

 #8 - 17-05-2012 18:27:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3320

intégration et fpnctions réciproques

Donc je ne peux pas utiliser cette méthode c'est ça ?

Je n'ai pas trop compris ton dernier exemple le fait que ça soit différent de x qu'est-ce que ça prouve ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #9 - 17-05-2012 23:42:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Intégation et fonctions réciproques

En fait je ne vois pas trop où tu veux en venir et il me semble qu'il y a des problèmes dans tes formules :

[latex]\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=F^{-1}(f(x))-F^{-1}(0)[/latex]

Si [latex]F^{-1}[/latex] désigne une primitive de [latex]f^{-1}[/latex] , c'est faux !

Si [latex]F[/latex] est la primitive de [latex]f[/latex] qui s'annule en [latex]0[/latex] , il me semble que :
[TeX]\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=xf(x)-F(x)[/TeX]
Ce qui ne permet pas d'obtenir une primitive de [latex]f^{-1}[/latex] mais je ne suis pas sûr d'avoir vraiment compris ce que tu cherches  smile

Vasimolo

 #10 - 18-05-2012 00:02:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3320

Intégration et fonctons réciproques

Alors en prenant mon cours :
[TeX]\int_a^b f(x) dx= F(b)-F(a)[/TeX]
Donc si je pose [latex]f(x)=g^{-1}(x)[/latex] alors [latex]\int_a^b f(x) dx=G^{-1}(b)-G^{-1}(a)[/latex]

Ce que je cherche c'est l'équation de la fonction réciproque de la fonction que je connais. Tout est écrit dans mon premier post smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 18-05-2012 00:16:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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intégration rt fonctions réciproques

Le problème est qu'une des bornes dépend de [latex]f[/latex] qui figure aussi dans l'intégrale , il y a donc une fonction composée qui traîne quelque part .

C'est ce que j'ai voulu dire dans mes précédentes interventions smile

Vasimolo

 #12 - 18-05-2012 09:06:50

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3320

Intégration et fonctions rciproques

Donc il faut que je trouve une autre méthode pour arriver à bout de cette technique ?
Je vais en discuter avec mon prof et je te tiens au courant. smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 19-05-2012 11:19:45

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3320

Intégratin et fonctions réciproques

Mon prof m'a dit que c'était une très bonne idée mais inutilisable. Le mieux c'est les séries...donc j'abandonne cette petite recherche parce que les séries comment dire...tongue


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 19-05-2012 12:17:22

Klimrod
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Intégration et foncctions réciproques

Bah... Une intégrale n'est-elle pas la limite d'une série ? N'est-ce pas ce que disait Riemann ?


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #15 - 20-05-2012 00:48:15

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Intégration et fonctions rcéiproques

Oui mais bon d'abord je suis en Terminale OK! tongue et deuxièmement les maths ne font pas partis de mon onanisme intellectuel. Donc même si je m'interesse à çà je ne suis pas prêt de devenir quelqu'un qui de la finesse je suis beaucoup trop bourrin pour ce genre de chose.

Quoiqu'il en soit j'aimerai bien arrivé au bout de ma recherche donc je prends tout ce que l'on me dit c'est tout benef pour moi big_smile

Shadock  smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #16 - 20-05-2012 10:49:16

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 723
Lieu: 37

Intégration e tfonctions réciproques

shadock a écrit:

Donc il faut que je trouve une autre méthode pour arriver à bout de cette technique ?
Je vais en discuter avec mon prof et je te tiens au courant. smile

shadock a écrit:

Mon prof m'a dit que c'était une très bonne idée mais inutilisable. Le mieux c'est les séries...donc j'abandonne cette petite recherche parce que les séries comment dire...tongue

Quel beau métier professeur !  Spoiler : [Afficher le message] c'est une contrepétrie


When i was a child i was a jedi

 #17 - 20-05-2012 13:17:48

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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intégrztion et fonctions réciproques

Une très bonne, d'ailleurs !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #18 - 20-05-2012 16:55:36

langelotdulac
Ange de Prise2Tete
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Lieu: Paradis

Intégrtaion et fonctions réciproques

Un peu éculée .... Spoiler : [Afficher le message] moins fine, mais faite maison tongue (ceci expliquant cela ^^'  Encore une ! lol))


Tu es largement assez dingo pour qu'un Minito te semble cohérent \o/ !

 #19 - 21-05-2012 15:37:44

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

intégtation et fonctions réciproques

[TeX]F^{-1}[/latex] n'est PAS une primitive de [latex]f^{-1}[/latex] (dans le cas général) lorsque F est une primitve de f.
La formule générale est:
[latex](f^{-1})'=\dfrac1{f'of^{-1}}[/TeX]
Ton égalité tourne en rond. En effet, en posant G une primitive de [latex]f^{-1}[/latex] et F une primitive de f, en en supposant que toutes les égalités ci-dessous sont valides et ont un sens, ton égalité:
[TeX]\int_{0}^{f(a)}f^{-1}(t)dt=a.f(a)-\int_0^af(t)dt[/TeX]
s'écrit:
G(f(a))-G(0)=a.f(a)-(F(a)-F(0))

En la dérivant par rapport à 'a' (et encore une fois en supposant que tout a un sens mathématiquement parlant), on obtient:
[TeX]G'(f(a)).f'(a)=f(a)+a.f'(a)-F'(a)[/TeX]
Puisque [latex]G'=f^{-1}[/latex] et [latex]F'=f[/latex], on a:
[TeX]f^{-1}(f(a)).f'(a)=f(a)+a.f'(a)-f(a)[/TeX]
Soit: [latex][f^{-1}(f(a))-a].f'(a)=0[/latex]

Et toujours si c'est valide (f'(a) différent de 0):

[latex]f^{-1}(f(a))=a[/latex].

Magnifique non? smile

Je ne vois pas tellement de façon d'exprimer la réciproque d'une fonction en passant par son intégrale de façon générale...

 #20 - 22-05-2012 19:39:03

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3320

Intégration et fonctions récproques

Ok bon et bien c'était une Fausse Bonne Idée ^^


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