Récapitulatif des fonctions remarquables @ Prise2Tete

shadock · #1

Je crée juste ce topic pour faire un récapitulatif des fonctions croisées ou non sur ce site et qui sont remarquables.

1)

f(x)=(1+x)/(1-x) et f°f°f°f(x)=x et f(i)=i

2)

Sur R la seule application indéfiniment dérivable dont toutes les dérivées (et elle-même) sont comprises entre -1 et 1, et telle que f'(0)=1 est sin(x)

Démonstration

3)

Fonction intégrable sur [-1;1] mais pas sur [0;1]

Démonstration

4) Soit [latex]D=\{(x;y)|x^2+y^2 \le 1\}[/latex] d'un disque du plan, et [latex]C=\{|u| \le 1 \text{ et } |v| \le 1\}[/latex] un carré.

Soi f définit par [latex]f(0,0)=0[/latex] et [latex]\forall (x;y) \in (\mathbb{R}-\{0}\})^2 \text{, } f(x;y)=\left(\frac{x\sqrt{x^2+y^2}}{max(|x|;|y|};\frac{y\sqrt{x^2+y^2}}{max(|x|;|y|}\right)[/latex] alors [latex]f[/latex] est un homéomorphisme de [latex]D[/latex] sur [latex]C[/latex].

Autrement dit, [latex]f(disque)=carré[/latex]

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Clydevil · #2

Ba moi je les aime bien tes fonctions!
Surtout la propriété de sinus que je trouve magnifique.

Je suis en train de chercher une famille de fonctions facilement expressibles tel que
fof n fois soit l’identité, continue et définie partout.

shadock · #3

Il va me falloir minimum un an de prépa pour en comprendre les démonstrations.

Pour ta famille de fonction, rapidement on peut considérer f(x)=1/u et f(1/u)=1, ou u est une fonction.
Ca marche pour u=x
Et ca marche pour u=n*x

Preuve par récurrence :
Soit p(n)="fof(1/(n*x))=x est vraie"

Initialisation :
Pour u=1*x on a f(x)=1/x et f(u)=x

Généralisation, soit n en entier naturel fixé, on supoose p(n) vraie.

u=1/((n+1)*x)
f(x)=1/((n+1)*x)
Donc fof(x)=1/[(n+1)*1/((n+1)*x)]=x

P(n+1) et P(1) sont vraies, par récurrence, P(n) est vraie pour tout n!

Shadock

PS : Bonne chance pour ta recherche, j'ai fait ce qui était facile pour moi ^^
NB : Bien que je ne puisse le montrer, mon résultat marche pour tout n réel !

Clydevil · #4

Il manque le "continue" dans ton prolongement de 1/x qui n'est pas continue en 0

RQ: La fonction identité marche toujours mais n'est pas pertinente dans la mesure ou on aimerait qu'avant le n-ieme itéré on trouve autre chose que l'identité.

shadock · #5

Je n'avais pas vu le continue.

Au pire tu fais 1/x si x dif de 0 et f(0)=0
Non j'ai rien dit je sors...

Shadock

gwen27 · #6

f(x)=-x ? OK ---->

Franky1103 · #7

@Clydevil
J'ai trouvé quelques fonctions tel que fofo...of = Id, mais pas continues et définies sur tout R (et je crois que c'est toute la difficulté).

gwen27 · #8

Plus sérieusement, toutes les fonctions de type f(x) = k-x semblent se prêter à l'exercice.

fof(x) = k - (k-x) =x

Clydevil · #9

Oui mais la difficulté commence après.
pour f -> x convient.
pour fof -> -x convient.
pour fofof -> je n'ai pas d'exemple.
etc...

Évidemment comme je l'ai dit il s'agit de trouver des fonctions continues, définies partout sur R et pertinentes.
Elles sont considérées comme pertinentes lorsque leur itéré ne donne pas l’identité avant le n-ieme qu'on vise.

Par exemple x -> -x est pertinente pour fof mais pas pour fofofof.

rivas · #10

Clydevil a écrit:
Ba moi je les aime bien tes fonctions!
Surtout la propriété de sinus que je trouve magnifique.

Je suis en train de chercher une famille de fonctions facilement expressibles tel que
fof n fois soit l’identité, continue et définie partout.

Tu n'as pas dit de R dans R.
Je propose donc: [latex]f(z)=e^{\dfrac{2i\pi}n}.z[/latex].

Toujours pas de latex, je vois. Donc f(z)=exp(2ipi/n).z.

Si tu veux revenir dans R, tu peux sans doute garder l'idée en travaillant sur les parties réelles de compositions de rotations? A voir. Peux-être avec 2 fonctions (une pour la partie réelle et une pour la partie imaginaire)?

shadock · #11

Ajout d'une fonction rigolotte qui transforme un disque en carré!

Shadock

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#1 - 15-06-2012 15:06:22

récapitulatif des fonctions temarquables

#0 Pub

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#3 - 26-06-2012 19:33:46

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#10 - 27-06-2012 13:41:19

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Clydevil a écrit:

#11 - 08-11-2012 01:17:57

Récapitulatif des fonctions remarquales

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