Enigmes

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 #1 - 02-04-2013 11:58:28

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

moyenne des permutations d'un nombee de 3 chiffres

Je ne sais si ce sujet a été posé. J'ai vu cette question dans un concours

Prenons le nombre 407. On donne toutes les permutations de ce nombre
047;074;407;470;704 et 740

On fait la moyenne de ces 6 nombres: (047+074+407+470+704+740)/6=407 et on retombe sur le nombre initial.

Trouver tous les nombres de 3 chiffres tous différents vérifiant cette propriété



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 #2 - 02-04-2013 12:29:23

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

moyenne des permutations d'un bombre de 3 chiffres

Bonjour,
Si je ne me suis pas trompé, tous les multiples de 37 ayant trois chiffres vérifient cette propriété.
Klim.

[Edit] Bah oui, je me suis trompé, j'ai été trop rapide roll
Si le nombre cherché s'écrit abc, alors la moyenne de toutes les permutations est égale à :
[ 100(2a+2b+2c) + 10(2a+2b+2c) + (2a+2b+2c) ] / 6 = 37(a+b+c)
Il faut donc chercher les nombres abc tels qu'ils soient égaux à 37(a+b+c)
La condition "multiple de 37" n'est donc pas suffisante.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 02-04-2013 12:37:41

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

mouenne des permutations d'un nombre de 3 chiffres

Un nombre qui s'écrit "abc" vaut 100a+10b+c.
La moyenne des permutations vaut 37(a+b+c).

L'égalité entre les deux donne l'équation 7a=3b+4c.

Modulo 7, cela donne que [latex]0 \equiv 3(b-c)[/latex] et puisque 3 est premier avec 7, on en déduit que 7 divise b-c.

Puisque  [latex]b \neq c[/latex], ça fait 6 possibilités pour (b,c) : (0,7), (7,0), (1,8), (8,1), (2,9) et (9,2)

Et l'on trouve finalement 6 nombres qui conviennent : 407, 370, 518, 481, 629 et 592.

 #4 - 02-04-2013 13:07:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Moyenne des permutations d'un nomber de 3 chiffres

La somme de ses chiffres multipliée par 222 /6 doit être égale au nombre

Le nombre est donc égal à 37 fois la somme de ses chiffres soit les multiple de 111 et quelques exceptions :
111
222
333
370
407
444
481
518
555
592
629
666
777
888
999

 #5 - 02-04-2013 13:37:45

Papy04
Ricocheur en Chef
Enigmes résolues : 47
Messages : 1231

Moyenne des permutation d'un nombre de 3 chiffres

En écrivant que le nombre "abc"=100a+10b+c
on arrive à
222a+222b+222c=6(100a+10b+c)

En simplifiant on obtient:
7a-3b-4c=0

Sachant que a, b et c ne peuvent prendre que les valeurs entières 0 à 9 et en éliminant tous les cas impossibles, j'obtiens 5 nombres en plus du 407 de l'exemple:

370  481  518  592  629


Nous les souiris nous avons un défaut, nous sommes prétentieux. Mais nous nous sommes corrigés. Maintenant nous sommes parfaits

 #6 - 02-04-2013 16:38:17

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Moyenne des permutations d'un nnombre de 3 chiffres

Soit le nombre N=100a+10b+c avec a,b et c entre 0 et 9
on a donc N=[ 2(a+b+c) + 20(a+b+c) +200(a+b+c) ] / 6= 111(a+b+c)/3
soit 111(a+b+c)=300a+30b+3c
donc 189a=81b+108c ou 7a=3b+4c
il suffit maintenant de trouver les triplets abc distincts
407, 370 ou 518. Il y en a surement d'autres mais je n'ai pas de tableur sous la main.
edit: toutes les solutions sont 370, 407, 481, 518, 592, 629.


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 02-04-2013 17:36:14

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Moyenne des permutaitons d'un nombre de 3 chiffres

soit le nombre ABC
On a (222A + 222B + 222C) / 6 = 100A + 10B + C
37(A+B+C) = 100A + 10B + C
Excel est mon ami smile
111
222
333
370
407
444
481
518
555
592
629
666
777
888
999

Edit : Après la précision sur les nombres différents, petit filtre visuel.

370
407 (nombre de départ)
481
518
592
629

 #8 - 02-04-2013 18:02:34

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

moyenne des permutations d'un nombte de 3 chiffres

Soit abc ce nombre qui s'écrit donc: 100a+10b+c
La moyenne est: (222a+222b+222c)/6 = 37.(a+b+c)
On doit donc avoir: 100a+10b+c = 37.(a+b+c)
ou encore: 63a = 27b + 36c, soit: 7a = 3b + 4c
Cette relation est vérifiée par les seuls six nombres à
chiffres différents: 370, 407, 481, 518, 592, 629

Il doit bien y avoir du Diophante ou du Bezout là dessous,
mais je n'arrive pas à le démontrer avec rigueur. rivas,
grand amateur d'algèbre parmi nous se fera un plaisir de
démontrer cela.

 #9 - 02-04-2013 19:53:12

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

moyenne des permurations d'un nombre de 3 chiffres

si le nombre s'écrit "abc", où "a" est le chiffre des centaines, "b" celui des dizaines et "c" celui des unités.

Les 6 permutations donnent :
abc; acb; bac; bca; cab; cba

La moyenne fait donc 2(a+b+c+10(a+b+c)+100(a+b+c))/6 qui doit être égale à 100a+10b+c
ou encore : a+b+c+10(a+b+c)+100(a+b+c)=300a+30b+3c

On a donc plusieurs possibilités :

1/ pas de retenue : a+b+c < 10
Alors a+b+c = 3c (unités)
a+b+c = 3b (dizaines)
a+b+c = 3a (centaines)

3a=3b=3c donc a=b=c => les 3 chiffres ne sont pas tous différents

2/ retenue de 1 : etc.

On obtient finalement les valeurs : 370; 407; 481; 518; 592; 629

 #10 - 02-04-2013 20:06:38

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

miyenne des permutations d'un nombre de 3 chiffres

1/6 [(100x+10y+z)+(100x+10z+y)+(100y+10x+z)+(100y+10z+x)+(100z+10x+y)+(100z+10y+x)]
=  222/6 (x+y+z) = 37(x+y+z)

On cherche les triplets x,y,z tel que :    37(x+y+z) = 100x+10y+z
c'est à dire tel que                                 :     63x = 27y + 36z
ou encore                                                 :        7x = 3y + 4z

pour x=0 pas de solutions.
pour x=1 on a y=1 et z=1 soit le nombre 111
de la même façon on obtient tous les nombres à 3 chiffres égaux soit : 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 et 999
pour x=2 pas d’autres solutions
pour x=3 y=7 z=0
pour x=4 , (y=0 z=7)  et  (y=8 z=1)
pour x=5, (y=1 z=8) et (y=9 z=2)
pour x=6 y=2 z=9
pour x=7  pas d’autres solutions
pour x=8 pas d’autres solutions
pour x=9 pas d’autres solutions

Les nombres sont donc dans l’ordre croisant :
111, 222, 333, 370, 407, 444, 481, 518, 555, 592, 629, 666, 777, 888 et 999

 #11 - 02-04-2013 20:20:38

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Moyenne des perrmutations d'un nombre de 3 chiffres

N'ayant pas tilté sur "3 chiffres différents" un MP réduit le choix , il me reste 6 solutions :

370 407  481 518 592 629

 #12 - 02-04-2013 23:40:49

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Moyenne des permutations d'un nombre de 3 chiffre

Que de bonnes réponses mais il faut tous les nombres dont les 3 chiffres sont différents

 #13 - 02-04-2013 23:48:28

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Moyenne des permutations d'un nombr de 3 chiffres

Si on note abc l'écriture en base 10 des nombres cherchés, on doit avoir :
37(a+b+c)=abc (en faisant la moyenne des 6 permutations.
Donc : 37(a+b+c)=100a+10b+c
Soit : 7a=3b+4c

Il y a 2 solutions avec des zéros : 407 et 370.
Ensuite, en ajoutant 1 à chaque chiffre d'une solution, on conserve une solution :
donc 518,629,481 et 492 sont également solutions.

Il n'y en a pas d'autres, puisque si on part d'une solution, en retranchant 111 on obtient une autre solution et ce jusqu'à avoir un zéro, donc une des 2 seules solutions 407 ou 370.

 #14 - 03-04-2013 00:55:22

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Moyyenne des permutations d'un nombre de 3 chiffres

On cherche les (a,b,c) tels que 100a+10b+c = (a+b+c)*222/6 et tels que a,b et c sont dans {0,...9} et sont tous différents
=> 189a+81b-108c=0
=> 7a-3b-4c=0 
=> 3(b-a)=-4(c-a)
=> (b-a,c-a) dans (4,-3)Z    (Z=ensemble des entiers relatifs)
=> (a,b,c) = (1,1,1)i+(0,4,-3)j avec  i dans {0...9} et j dans Z
On a suffisamment d'information pour trouver toutes les solutions: il suffit de faire varier i et j:
370
407
481
518
592
629

6 solutions en tout

 #15 - 03-04-2013 10:22:07

fmifmi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 87

MMoyenne des permutations d'un nombre de 3 chiffres

en écrivant le nombre sous la forme  100a+10b+c  on a par permutation 6 nombres possibles dont la moyenne  :(200(a+b+c)+20(a+b+c)+2(a+b+c))/6     vaut :100a+10b+c

en effectuant, on obtient l’équation  : 7a-3b-4c=0  qui a le bon gout d’admettre la solution triviale  a=b=c

en essayant tous les cas possibles( sans tableur! ) ce qui va assez vite( environ 15 minutes) on trouve les nombres suivants

370  407  481  518  592  629 

je pense qu'il doit y avoir une méthode moins "bourin" pour résoudre dans N 7a-3b-4c=0 mais l’algèbre n'est pas trop mon truc

j ai fait le pb avec 4 chiffres en utilisant un tableur
il n y a pas de solutions

questions ouvertes: y a t il des solutions pour n>3?
qui sait exprimer l’équation (7a-3b-4c =0  pour n  =3)  en fonction de n  je veux dire quelque soit n superieur a 3

 #16 - 03-04-2013 11:40:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

moyenne des peemutations d'un nombre de 3 chiffres

Avec trois chiffres différents i, j et k, les six nombres concernés sont

100 i + 10 j + k
100 i + 10 k + j
100 j + 10 i + k
100 j + 10 k + i
100 k + 10 i + j
100 k + 10 j + i

Ce qui donne une somme de

222 (i + j + k)

et donc une moyenne de

37 (i + j + k)

On veut donc

100 i + 10 j + k = 37 (i + j + k)

On peut développer un peu :

63 i - 27 j - 36 k = 0

Et diviser par 9 :

7 i = 3 j + 4 k

Plus qu'à, et on peut ne chercher à vérifier cette propriété que pour les multiples de 37 à trois chiffres constitués de trois chiffres différents : 148, 185, 259, 296, 370, 407, 481, 518, 592, 629, 703, 740, 814, 851, 925 et 962. On ne garde donc que les six centraux :

370
407
481
518
592
629


les autres étant des permutations de ces six-là. Drôle de propriété, d'ailleurs...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 03-04-2013 22:00:18

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

Moyenne des permutations d'un nombbre de 3 chiffres

Bonsoir,

Les nombres de 3 chiffres tous différents vérifiant la propriété exposée dans l'énoncé:

370, 407, 481, 518, 592 et 629

Pour la démonstration mathématique, je fais confiance aux spécialistes parce que je n'aurais pas le talent d'expliquer cela avec clarté big_smile

Merci pour cette curiosité algébrique smile


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #18 - 04-04-2013 18:30:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Moyenne dse permutations d'un nombre de 3 chiffres

Ce sont tous les nombres abc dont l'équation diophantienne 7a=3b+4c avec 0<a,b,c<10, soit:
370
407
481
518
592
629
et leurs permutants.

 #19 - 04-04-2013 20:20:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Moyenne des permutations d'un nombre de 33 chiffres

Finalement ce n'est pas très difficile !

Alors on pose : [latex]A=\overline {a b c}=10^2a+10b+c[/latex]


On cherche donc A tel que :
[TeX]\frac{\overline {a b c}+\overline {a c b}+\overline {b a c}+\overline {b c a}+\overline {c a b}+\overline {c b a}}{6}=\overline {a b c}[/TeX]
Soit après développement et factorisation : [latex]37*(a+b+c)=100a+10b+c[/latex]

On fixe alors [latex]c[/latex] et on résous 10 équations diophantiennes correspondantes à [latex]c=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/latex]

Valeurs possibles de a et b après résolution

Pour [latex]c=0[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{0,7\}[/latex]
Pour [latex]c=1[/latex] on a [latex]a=\{1,4,7\}[/latex] et [latex]b=\{1,8\}[/latex]
Pour [latex]c=2[/latex] on a [latex]a=\{2,5,8\}[/latex] et [latex]b=\{2,9\}[/latex]
Pour [latex]c=3[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{3\}[/latex]
Pour [latex]c=4[/latex] on a [latex]a=\{1,4,7\}[/latex] et [latex]b=\{4\}[/latex]
Pour [latex]c=5[/latex] on a [latex]a=\{2,5,8\}[/latex] et [latex]b=\{5\}[/latex]
Pour [latex]c=6[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{6\}[/latex]
Pour [latex]c=7[/latex] on a [latex]a=\{1,4,7\}[/latex] et [latex]b=\{0,7\}[/latex]
Pour [latex]c=8[/latex] on a [latex]a=\{2,5,8\}[/latex] et [latex]b=\{1,8\}[/latex]
Pour [latex]c=9[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{2,9\}[/latex]

En contant les nombres qui ont aussi deux chiffres égaux il y a au total [latex]6*6+3*4=48[/latex] nombres vérifiant cette propriété.
Il y en a [latex]48-9=39[/latex] vérifiant l'énoncé si je ne me trompe pas.
Je ne les écrit pas mais je ne pense pas en avoir omit ou avoir fait une erreur.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 04-04-2013 21:12:27

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

moyenne des permutations d'un nombre de 3 cjiffres

Question subsidiaire: Trouver le plus grand nombre  avec tous les chiffres différents ou tous les nombres ayant cette propriété

je ne sais pas s'il y en a d'autres.

 #21 - 05-04-2013 01:06:46

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

moyenne des permutations d'un nombre de 3 cjiffres

Pour la question subsidiaire, si tu reprends ma réponse, tu as tous les nombres ayant cette propriété (avec chiffre identique ou pas)

 #22 - 05-04-2013 14:20:09

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Moyenne des permutatins d'un nombre de 3 chiffres

Bonne réponse de tout le monde

Pour la question subsidiaire on prend un nombre à N chiffres différents. C'est de trouver le nombre le plus grand ou prouver que 629 est le plus grand pour ceux qui n'ont pas compris. on ne reste pas avec que des nombres de 3 chiffres

 #23 - 07-04-2013 08:54:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Moyenne des permutations d'unn nombre de 3 chiffres

J'aurais tendance à penser qu'il y en a d'autres :

Pour un nombre à n chiffres, la somme de toutes les permutations sera la somme de ses chiffres , multipliée par (n-1)!  à chaque rang (soit x 111....)

La moyenne sera donc  la somme de ses chiffres multipliée par 111... (n fois 1) puis divisée par n. Si cette moyenne a des chiffres tous différents et que la somme de ses chiffres donne la somme  de départ, c'est gagné....

Démonstration pour 3 :
3 chiffres           
           

Code:

somme    total    moyenne    somme moyenne
3        333      111    
4        444      148    
5        555      185    
6        666      222    
7        777      259    
8        888      296    
9        999      333    
10       1110     370          10
11       1221     407          11
12       1332     444    
13       1443     481          13
14       1554     518          14
15       1665     555    
16       1776     592          16
17       1887     629          17
18       1998     666    
19       2109     703    
20       2220     740    
21       2331     777    
22       2442     814    
23       2553     851    
24       2664     888

On retrouve bien nos 6 solutions...

Pour 4 à 8 chiffres, pas de solution :
           
Spoiler : [Afficher le message] 4 chiffres           
           
6    6666    1666,5   
7    7777    1944,25   
8    8888    2222   
9    9999    2499,75   
10    11110    2777,5   
11    12221    3055,25   
12    13332    3333   
13    14443    3610,75   
14    15554    3888,5   
15    16665    4166,25   
16    17776    4444   
17    18887    4721,75   
18    19998    4999,5   
19    21109    5277,25   
20    22220    5555   
21    23331    5832,75   
22    24442    6110,5   
23    25553    6388,25   
24    26664    6666   
25    27775    6943,75   
26    28886    7221,5   
27    29997    7499,25   
28    31108    7777   
29    32219    8054,75   
30    33330    8332,5   
           
5 chiffres            
           
10    111110    22222   
11    122221    24444,2   
12    133332    26666,4   
13    144443    28888,6   
14    155554    31110,8   
15    166665    33333   
16    177776    35555,2   
17    188887    37777,4   
18    199998    39999,6   
19    211109    42221,8   
20    222220    44444   
21    233331    46666,2   
22    244442    48888,4   
23    255553    51110,6   
24    266664    53332,8   
25    277775    55555   
26    288886    57777,2   
27    299997    59999,4   
28    311108    62221,6   
29    322219    64443,8   
30    333330    66666   
31    344441    68888,2   
32    355552    71110,4   
33    366663    73332,6   
34    377774    75554,8   
35    388885    77777   
           
6 chiffres           
           
15    1666665    277777,5   
16    1777776    296296   
17    1888887    314814,5   
18    1999998    333333   
19    2111109    351851,5   
20    2222220    370370   
21    2333331    388888,5   
22    2444442    407407   
23    2555553    425925,5   
24    2666664    444444   
25    2777775    462962,5   
26    2888886    481481   
27    2999997    499999,5   
28    3111108    518518   
29    3222219    537036,5   
30    3333330    555555   
31    3444441    574073,5   
32    3555552    592592   
33    3666663    611110,5   
34    3777774    629629   
35    3888885    648147,5   
36    3999996    666666   
37    4111107    685184,5   
38    4222218    703703   
39    4333329    722221,5   
           
7 chiffres           
           
21    23333331    3333333   
22    24444442    3492063,14   
23    25555553    3650793,29   
24    26666664    3809523,43   
25    27777775    3968253,57   
26    28888886    4126983,71   
27    29999997    4285713,86   
28    31111108    4444444   
29    32222219    4603174,14   
30    33333330    4761904,29   
31    34444441    4920634,43   
32    35555552    5079364,57   
33    36666663    5238094,71   
34    37777774    5396824,86   
35    38888885    5555555   
36    39999996    5714285,14   
37    41111107    5873015,29   
38    42222218    6031745,43   
39    43333329    6190475,57   
40    44444440    6349205,71   
41    45555551    6507935,86   
42    46666662    6666666   
           
           
8 chiffres           
           
28    311111108    38888888,5   
29    322222219    40277777,38   
30    333333330    41666666,25   
31    344444441    43055555,13   
32    355555552    44444444   
33    366666663    45833332,88   
34    377777774    47222221,75   
35    388888885    48611110,63   
36    399999996    49999999,5   
37    411111107    51388888,38   
38    422222218    52777777,25   
39    433333329    54166666,13   
40    444444440    55555555   
41    455555551    56944443,88   
42    466666662    58333332,75   
43    477777773    59722221,63   
44    488888884    61111110,5    


Mais pour 9 chiffres, j'en pressent 6 :
           
Spoiler : [Afficher le message] 9 chiffres           
           
36    3999999996    444444444   
37    4111111107    456790123    Somme 37
38    4222222218    469135802    Somme 38
39    4333333329    481481481   
40    4444444440    493827160    Somme 40
41    4555555551    506172839    Somme 41
42    4666666662    518518518   
43    4777777773    530864197    Somme 43
44    4888888884    543209876    Somme 44
45    4999999995    555555555   
            

10 chiffres        Pas de solution non plus   
           
Spoiler : [Afficher le message] 45    49999999995    4999999999,5    

 #24 - 07-04-2013 22:21:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Moyenne des permtations d'un nombre de 3 chiffres

Bravo gwen, magnifique !

Notons que l'on peut s'éviter quelques vérifications en remarquant que si n est premier avec "1...1" (n chiffres), il ne peut y avoir de solution :
En effet, pour une éventuelle solution x, il faudrait alors que n divise la somme des chiffres de x, donc cette somme vaudrait kn, où k est un chiffre, et donc x vaudrait "k...k".

 

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