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#1 - 02-04-2013 11:58:28
- gabrielduflot
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Moyenne des permutatioons d'un nombre de 3 chiffres
Je ne sais si ce sujet a été posé. J'ai vu cette question dans un concours
Prenons le nombre 407. On donne toutes les permutations de ce nombre 047;074;407;470;704 et 740
On fait la moyenne de ces 6 nombres: (047+074+407+470+704+740)/6=407 et on retombe sur le nombre initial.
Trouver tous les nombres de 3 chiffres tous différents vérifiant cette propriété
#2 - 02-04-2013 12:29:23
- Klimrod
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Moyenne des permutations d'un nombre de 3chiffres
Bonjour, Si je ne me suis pas trompé, tous les multiples de 37 ayant trois chiffres vérifient cette propriété. Klim.
[Edit] Bah oui, je me suis trompé, j'ai été trop rapide Si le nombre cherché s'écrit abc, alors la moyenne de toutes les permutations est égale à : [ 100(2a+2b+2c) + 10(2a+2b+2c) + (2a+2b+2c) ] / 6 = 37(a+b+c) Il faut donc chercher les nombres abc tels qu'ils soient égaux à 37(a+b+c) La condition "multiple de 37" n'est donc pas suffisante.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#3 - 02-04-2013 12:37:41
- titoufred
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moyenne des permutations d'un nomvre de 3 chiffres
Un nombre qui s'écrit "abc" vaut 100a+10b+c. La moyenne des permutations vaut 37(a+b+c).
L'égalité entre les deux donne l'équation 7a=3b+4c.
Modulo 7, cela donne que [latex]0 \equiv 3(b-c)[/latex] et puisque 3 est premier avec 7, on en déduit que 7 divise b-c.
Puisque [latex]b \neq c[/latex], ça fait 6 possibilités pour (b,c) : (0,7), (7,0), (1,8), (8,1), (2,9) et (9,2)
Et l'on trouve finalement 6 nombres qui conviennent : 407, 370, 518, 481, 629 et 592.
#4 - 02-04-2013 13:07:44
- gwen27
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Moyenne des permutaitons d'un nombre de 3 chiffres
La somme de ses chiffres multipliée par 222 /6 doit être égale au nombre
Le nombre est donc égal à 37 fois la somme de ses chiffres soit les multiple de 111 et quelques exceptions : 111 222 333 370 407 444 481 518 555 592 629 666 777 888 999
#5 - 02-04-2013 13:37:45
- Papy04
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moyenne des permutations d'un nombre de 3 chiffrrs
En écrivant que le nombre "abc"=100a+10b+c on arrive à 222a+222b+222c=6(100a+10b+c)
En simplifiant on obtient: 7a-3b-4c=0
Sachant que a, b et c ne peuvent prendre que les valeurs entières 0 à 9 et en éliminant tous les cas impossibles, j'obtiens 5 nombres en plus du 407 de l'exemple:
370 481 518 592 629
Les gens n'acceptent jamais leurs défauts. Moi je le ferais si j'en avais!
#6 - 02-04-2013 16:38:17
- franck9525
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moyebne des permutations d'un nombre de 3 chiffres
Soit le nombre N=100a+10b+c avec a,b et c entre 0 et 9 on a donc N=[ 2(a+b+c) + 20(a+b+c) +200(a+b+c) ] / 6= 111(a+b+c)/3 soit 111(a+b+c)=300a+30b+3c donc 189a=81b+108c ou 7a=3b+4c il suffit maintenant de trouver les triplets abc distincts 407, 370 ou 518. Il y en a surement d'autres mais je n'ai pas de tableur sous la main. edit: toutes les solutions sont 370, 407, 481, 518, 592, 629.
The proof of the pudding is in the eating.
#7 - 02-04-2013 17:36:14
- godisdead
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Moyenne des permutations d'un noombre de 3 chiffres
soit le nombre ABC On a (222A + 222B + 222C) / 6 = 100A + 10B + C 37(A+B+C) = 100A + 10B + C Excel est mon ami 111 222 333 370 407 444 481 518 555 592 629 666 777 888 999
Edit : Après la précision sur les nombres différents, petit filtre visuel.
370 407 (nombre de départ) 481 518 592 629
#8 - 02-04-2013 18:02:34
- Franky1103
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moyenne des permutations d'un nombre de 3 vhiffres
Soit abc ce nombre qui s'écrit donc: 100a+10b+c La moyenne est: (222a+222b+222c)/6 = 37.(a+b+c) On doit donc avoir: 100a+10b+c = 37.(a+b+c) ou encore: 63a = 27b + 36c, soit: 7a = 3b + 4c Cette relation est vérifiée par les seuls six nombres à chiffres différents: 370, 407, 481, 518, 592, 629
Il doit bien y avoir du Diophante ou du Bezout là dessous, mais je n'arrive pas à le démontrer avec rigueur. rivas, grand amateur d'algèbre parmi nous se fera un plaisir de démontrer cela.
#9 - 02-04-2013 19:53:12
- golgot59
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mouenne des permutations d'un nombre de 3 chiffres
si le nombre s'écrit "abc", où "a" est le chiffre des centaines, "b" celui des dizaines et "c" celui des unités.
Les 6 permutations donnent : abc; acb; bac; bca; cab; cba
La moyenne fait donc 2(a+b+c+10(a+b+c)+100(a+b+c))/6 qui doit être égale à 100a+10b+c ou encore : a+b+c+10(a+b+c)+100(a+b+c)=300a+30b+3c
On a donc plusieurs possibilités :
1/ pas de retenue : a+b+c < 10 Alors a+b+c = 3c (unités) a+b+c = 3b (dizaines) a+b+c = 3a (centaines)
3a=3b=3c donc a=b=c => les 3 chiffres ne sont pas tous différents
2/ retenue de 1 : etc.
On obtient finalement les valeurs : 370; 407; 481; 518; 592; 629
#10 - 02-04-2013 20:06:38
- gilles355
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Moyenne des permutations d'un nombre dee 3 chiffres
1/6 [(100x+10y+z)+(100x+10z+y)+(100y+10x+z)+(100y+10z+x)+(100z+10x+y)+(100z+10y+x)] = 222/6 (x+y+z) = 37(x+y+z)
On cherche les triplets x,y,z tel que : 37(x+y+z) = 100x+10y+z c'est à dire tel que : 63x = 27y + 36z ou encore : 7x = 3y + 4z
pour x=0 pas de solutions. pour x=1 on a y=1 et z=1 soit le nombre 111 de la même façon on obtient tous les nombres à 3 chiffres égaux soit : 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 et 999 pour x=2 pas d’autres solutions pour x=3 y=7 z=0 pour x=4 , (y=0 z=7) et (y=8 z=1) pour x=5, (y=1 z=8) et (y=9 z=2) pour x=6 y=2 z=9 pour x=7 pas d’autres solutions pour x=8 pas d’autres solutions pour x=9 pas d’autres solutions
Les nombres sont donc dans l’ordre croisant : 111, 222, 333, 370, 407, 444, 481, 518, 555, 592, 629, 666, 777, 888 et 999
#11 - 02-04-2013 20:20:38
- gwen27
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Moyenne des permutations d'un nombre de 3 chhiffres
N'ayant pas tilté sur "3 chiffres différents" un MP réduit le choix , il me reste 6 solutions :
370 407 481 518 592 629
#12 - 02-04-2013 23:40:49
- gabrielduflot
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moyenne des permutations d'un nombre de 3 xhiffres
Que de bonnes réponses mais il faut tous les nombres dont les 3 chiffres sont différents
#13 - 02-04-2013 23:48:28
- dylasse
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Moenne des permutations d'un nombre de 3 chiffres
Si on note abc l'écriture en base 10 des nombres cherchés, on doit avoir : 37(a+b+c)=abc (en faisant la moyenne des 6 permutations. Donc : 37(a+b+c)=100a+10b+c Soit : 7a=3b+4c
Il y a 2 solutions avec des zéros : 407 et 370. Ensuite, en ajoutant 1 à chaque chiffre d'une solution, on conserve une solution : donc 518,629,481 et 492 sont également solutions.
Il n'y en a pas d'autres, puisque si on part d'une solution, en retranchant 111 on obtient une autre solution et ce jusqu'à avoir un zéro, donc une des 2 seules solutions 407 ou 370.
#14 - 03-04-2013 00:55:22
- w9Lyl6n
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Moyenne des permutaitons d'un nombre de 3 chiffres
On cherche les (a,b,c) tels que 100a+10b+c = (a+b+c)*222/6 et tels que a,b et c sont dans {0,...9} et sont tous différents => 189a+81b-108c=0 => 7a-3b-4c=0 => 3(b-a)=-4(c-a) => (b-a,c-a) dans (4,-3)Z (Z=ensemble des entiers relatifs) => (a,b,c) = (1,1,1)i+(0,4,-3)j avec i dans {0...9} et j dans Z On a suffisamment d'information pour trouver toutes les solutions: il suffit de faire varier i et j: 370 407 481 518 592 629
6 solutions en tout
#15 - 03-04-2013 10:22:07
- fmifmi
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moyenne des permutations d'un nombrr de 3 chiffres
en écrivant le nombre sous la forme 100a+10b+c on a par permutation 6 nombres possibles dont la moyenne :(200(a+b+c)+20(a+b+c)+2(a+b+c))/6 vaut :100a+10b+c
en effectuant, on obtient l’équation : 7a-3b-4c=0 qui a le bon gout d’admettre la solution triviale a=b=c
en essayant tous les cas possibles( sans tableur! ) ce qui va assez vite( environ 15 minutes) on trouve les nombres suivants
370 407 481 518 592 629
je pense qu'il doit y avoir une méthode moins "bourin" pour résoudre dans N 7a-3b-4c=0 mais l’algèbre n'est pas trop mon truc
j ai fait le pb avec 4 chiffres en utilisant un tableur il n y a pas de solutions
questions ouvertes: y a t il des solutions pour n>3? qui sait exprimer l’équation (7a-3b-4c =0 pour n =3) en fonction de n je veux dire quelque soit n superieur a 3
#16 - 03-04-2013 11:40:24
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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- Lieu: Rouen
moyenne des permutations d'un nombre se 3 chiffres
Avec trois chiffres différents i, j et k, les six nombres concernés sont
100 i + 10 j + k 100 i + 10 k + j 100 j + 10 i + k 100 j + 10 k + i 100 k + 10 i + j 100 k + 10 j + i
Ce qui donne une somme de
222 (i + j + k)
et donc une moyenne de
37 (i + j + k)
On veut donc
100 i + 10 j + k = 37 (i + j + k)
On peut développer un peu :
63 i - 27 j - 36 k = 0
Et diviser par 9 :
7 i = 3 j + 4 k
Plus qu'à, et on peut ne chercher à vérifier cette propriété que pour les multiples de 37 à trois chiffres constitués de trois chiffres différents : 148, 185, 259, 296, 370, 407, 481, 518, 592, 629, 703, 740, 814, 851, 925 et 962. On ne garde donc que les six centraux :
370 407 481 518 592 629
les autres étant des permutations de ces six-là. Drôle de propriété, d'ailleurs...
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#17 - 03-04-2013 22:00:18
- elpafio
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Moyenne des permutations d'un nombre de 3 chiffre
Bonsoir,
Les nombres de 3 chiffres tous différents vérifiant la propriété exposée dans l'énoncé:
370, 407, 481, 518, 592 et 629
Pour la démonstration mathématique, je fais confiance aux spécialistes parce que je n'aurais pas le talent d'expliquer cela avec clarté
Merci pour cette curiosité algébrique
#18 - 04-04-2013 18:30:05
- nodgim
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Moyenne des permutatinos d'un nombre de 3 chiffres
Ce sont tous les nombres abc dont l'équation diophantienne 7a=3b+4c avec 0<a,b,c<10, soit: 370 407 481 518 592 629 et leurs permutants.
#19 - 04-04-2013 20:20:58
- shadock
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Moyenne des permutationss d'un nombre de 3 chiffres
Finalement ce n'est pas très difficile !
Alors on pose : [latex]A=\overline {a b c}=10^2a+10b+c[/latex]
On cherche donc A tel que : [TeX]\frac{\overline {a b c}+\overline {a c b}+\overline {b a c}+\overline {b c a}+\overline {c a b}+\overline {c b a}}{6}=\overline {a b c}[/TeX] Soit après développement et factorisation : [latex]37*(a+b+c)=100a+10b+c[/latex]
On fixe alors [latex]c[/latex] et on résous 10 équations diophantiennes correspondantes à [latex]c=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/latex]
Valeurs possibles de a et b après résolution
Pour [latex]c=0[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{0,7\}[/latex] Pour [latex]c=1[/latex] on a [latex]a=\{1,4,7\}[/latex] et [latex]b=\{1,8\}[/latex] Pour [latex]c=2[/latex] on a [latex]a=\{2,5,8\}[/latex] et [latex]b=\{2,9\}[/latex] Pour [latex]c=3[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{3\}[/latex] Pour [latex]c=4[/latex] on a [latex]a=\{1,4,7\}[/latex] et [latex]b=\{4\}[/latex] Pour [latex]c=5[/latex] on a [latex]a=\{2,5,8\}[/latex] et [latex]b=\{5\}[/latex] Pour [latex]c=6[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{6\}[/latex] Pour [latex]c=7[/latex] on a [latex]a=\{1,4,7\}[/latex] et [latex]b=\{0,7\}[/latex] Pour [latex]c=8[/latex] on a [latex]a=\{2,5,8\}[/latex] et [latex]b=\{1,8\}[/latex] Pour [latex]c=9[/latex] on a [latex]a=\{3,6,9\}[/latex] et [latex]b=\{2,9\}[/latex]
En contant les nombres qui ont aussi deux chiffres égaux il y a au total [latex]6*6+3*4=48[/latex] nombres vérifiant cette propriété. Il y en a [latex]48-9=39[/latex] vérifiant l'énoncé si je ne me trompe pas. Je ne les écrit pas mais je ne pense pas en avoir omit ou avoir fait une erreur.
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#20 - 04-04-2013 21:12:27
- gabrielduflot
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Moyenne des permutations d'un nombre de 3 chifres
Question subsidiaire: Trouver le plus grand nombre avec tous les chiffres différents ou tous les nombres ayant cette propriété
je ne sais pas s'il y en a d'autres.
#21 - 05-04-2013 01:06:46
- godisdead
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Moyenne des permutaitons d'un nombre de 3 chiffres
Pour la question subsidiaire, si tu reprends ma réponse, tu as tous les nombres ayant cette propriété (avec chiffre identique ou pas)
#22 - 05-04-2013 14:20:09
- gabrielduflot
- Expert de Prise2Tete
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moyenne des permutations d'ub nombre de 3 chiffres
Bonne réponse de tout le monde
Pour la question subsidiaire on prend un nombre à N chiffres différents. C'est de trouver le nombre le plus grand ou prouver que 629 est le plus grand pour ceux qui n'ont pas compris. on ne reste pas avec que des nombres de 3 chiffres
#23 - 07-04-2013 08:54:30
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
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Moyenne des permuutations d'un nombre de 3 chiffres
J'aurais tendance à penser qu'il y en a d'autres :
Pour un nombre à n chiffres, la somme de toutes les permutations sera la somme de ses chiffres , multipliée par (n-1)! à chaque rang (soit x 111....)
La moyenne sera donc la somme de ses chiffres multipliée par 111... (n fois 1) puis divisée par n. Si cette moyenne a des chiffres tous différents et que la somme de ses chiffres donne la somme de départ, c'est gagné....
Démonstration pour 3 : 3 chiffres
On retrouve bien nos 6 solutions...
Pour 4 à 8 chiffres, pas de solution : Spoiler : [Afficher le message] 4 chiffres 6 6666 1666,5 7 7777 1944,25 8 8888 2222 9 9999 2499,75 10 11110 2777,5 11 12221 3055,25 12 13332 3333 13 14443 3610,75 14 15554 3888,5 15 16665 4166,25 16 17776 4444 17 18887 4721,75 18 19998 4999,5 19 21109 5277,25 20 22220 5555 21 23331 5832,75 22 24442 6110,5 23 25553 6388,25 24 26664 6666 25 27775 6943,75 26 28886 7221,5 27 29997 7499,25 28 31108 7777 29 32219 8054,75 30 33330 8332,5 5 chiffres 10 111110 22222 11 122221 24444,2 12 133332 26666,4 13 144443 28888,6 14 155554 31110,8 15 166665 33333 16 177776 35555,2 17 188887 37777,4 18 199998 39999,6 19 211109 42221,8 20 222220 44444 21 233331 46666,2 22 244442 48888,4 23 255553 51110,6 24 266664 53332,8 25 277775 55555 26 288886 57777,2 27 299997 59999,4 28 311108 62221,6 29 322219 64443,8 30 333330 66666 31 344441 68888,2 32 355552 71110,4 33 366663 73332,6 34 377774 75554,8 35 388885 77777 6 chiffres 15 1666665 277777,5 16 1777776 296296 17 1888887 314814,5 18 1999998 333333 19 2111109 351851,5 20 2222220 370370 21 2333331 388888,5 22 2444442 407407 23 2555553 425925,5 24 2666664 444444 25 2777775 462962,5 26 2888886 481481 27 2999997 499999,5 28 3111108 518518 29 3222219 537036,5 30 3333330 555555 31 3444441 574073,5 32 3555552 592592 33 3666663 611110,5 34 3777774 629629 35 3888885 648147,5 36 3999996 666666 37 4111107 685184,5 38 4222218 703703 39 4333329 722221,5 7 chiffres 21 23333331 3333333 22 24444442 3492063,14 23 25555553 3650793,29 24 26666664 3809523,43 25 27777775 3968253,57 26 28888886 4126983,71 27 29999997 4285713,86 28 31111108 4444444 29 32222219 4603174,14 30 33333330 4761904,29 31 34444441 4920634,43 32 35555552 5079364,57 33 36666663 5238094,71 34 37777774 5396824,86 35 38888885 5555555 36 39999996 5714285,14 37 41111107 5873015,29 38 42222218 6031745,43 39 43333329 6190475,57 40 44444440 6349205,71 41 45555551 6507935,86 42 46666662 6666666 8 chiffres 28 311111108 38888888,5 29 322222219 40277777,38 30 333333330 41666666,25 31 344444441 43055555,13 32 355555552 44444444 33 366666663 45833332,88 34 377777774 47222221,75 35 388888885 48611110,63 36 399999996 49999999,5 37 411111107 51388888,38 38 422222218 52777777,25 39 433333329 54166666,13 40 444444440 55555555 41 455555551 56944443,88 42 466666662 58333332,75 43 477777773 59722221,63 44 488888884 61111110,5
Mais pour 9 chiffres, j'en pressent 6 : Spoiler : [Afficher le message] 9 chiffres 36 3999999996 444444444 37 4111111107 456790123 Somme 37 38 4222222218 469135802 Somme 38 39 4333333329 481481481 40 4444444440 493827160 Somme 40 41 4555555551 506172839 Somme 41 42 4666666662 518518518 43 4777777773 530864197 Somme 43 44 4888888884 543209876 Somme 44 45 4999999995 555555555 10 chiffres Pas de solution non plus Spoiler : [Afficher le message] 45 49999999995 4999999999,5
#24 - 07-04-2013 22:21:27
- titoufred
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Moyenne des permutations d'un nombr ede 3 chiffres
Bravo gwen, magnifique !
Notons que l'on peut s'éviter quelques vérifications en remarquant que si n est premier avec "1...1" (n chiffres), il ne peut y avoir de solution : En effet, pour une éventuelle solution x, il faudrait alors que n divise la somme des chiffres de x, donc cette somme vaudrait kn, où k est un chiffre, et donc x vaudrait "k...k".
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