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 #26 - 23-06-2013 23:13:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

La suite des rracines carrées

Alex smile

Tu auras autant de diversité de réponses avec un problème ouvert sinon plus . Le défaut majeur ( rédhibitoire ) du problème caché , est qu'il est difficile d'entrer dans le jeu après coup .

Vasimolo

#0 Pub

 #27 - 23-06-2013 23:22:39

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

La suite dess racines carrées

Je garde ça en mémoire pour mes futurs posts wink Là, j'étais sûr qu'il y ait une solution ! Je ferai gaffe la prochaine fois !

 #28 - 24-06-2013 07:02:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

lz suite des racines carrées

Je donne ma réponse, peut être un peu tardive, mais non écrite encore, il me semble.
Arrêtons la suite à rac(n²+1), par exemple rac10
9+rac10<9+4<13, rac16 étant le carré immédiatement rac9.
remontons:
8+rac13<12
7+rac12<11
6+rac11<10
5+rac10<9
rac9<3

Et on remonte comme ça jusqu'à 2.

Si on arrête la suite à n'importe quelle rac(n²+1), elle est majorée par la suite qui s'arrête à n²-n-1 (arrêter la suite à 25+rac26, c'est la majorer au rang 25-6=19, avec 19+6=25=5². Or 19 n'atteint pas le majorant précédent 16+rac17<16+5.
Ajouter à la suite tronquée à rac(n²+1) les valeurs jusqu'au carré suivant ne change pas le majorant.

La suite est convergente.

 #29 - 24-06-2013 17:26:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

La suite des racnes carrées

Vasimolo a écrit:

Tu proposes un classique , je te donne "la" solution classique mais il y en a beaucoup d'autres smile

Ce qu'on attend de toi à un oral c'est que tu mettes en œuvre tes connaissances avec originalité . Par expérience il me semble qu'il vaut mieux tomber sur un problème parfaitement inconnu car on ne peut pas être tenté de recracher l'archi-connu qui va lasser le jury .

Vasimolo

C'est vrai, mais bon, le jour d'un oral, la solution "classique" est parfois utile pour faire un exercice plus compliqué ensuite. J'entends par là qu'il est inutile de vouloir absolument chercher une solution originale si on est sûr d'avoir juste en quelques lignes de manière classique.
Et sur un problème comme celui là, difficile d'être très créatif je trouve, il faut être un peu fou pour se dire par exemple si je le faisais avec des dl... ^^
Si tu as une méthode de ton cru ou moins classique je suis preneur parce que j'adore ce genre d'exo big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #30 - 24-06-2013 19:04:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

La suite des raines carrées

Il y a des généralisations pour certaines suites du genre :
[TeX]u_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\ldots+\sqrt{a_n}}}[/TeX]
Par exemple si on définit :
[TeX]v_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\ldots+\sqrt{ka_n}}}[/TeX]
avec [latex]k[/latex] une constante supérieure à [latex]1[/latex] telle que [latex]ka_{n+1}\leq (k-1)^2a_n^2[/latex]

alors [latex](v_n)[/latex] converge et donc [latex](u_n)[/latex] aussi .

Vasimolo

 #31 - 24-06-2013 21:05:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

La usite des racines carrées

Ah ouai trop cool big_smile
Mais par contre il faut avoir une bonne mémoire... neutral


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #32 - 25-06-2013 13:12:46

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

L suite des racines carrées

nodgim : Ce me semble convenir !

shadock : Je suis d'accord avec toi ^^

Vasimolo : En effet, en effet ! Bon, je verrai si je tombe sur ce genre de suites big_smile

Merci beaucoup à tous d'avoir participé !

 #33 - 25-06-2013 13:57:11

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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la suite deq racines carrées

shadock a écrit:

Montrons que Un est majorée par 2 :

On considère d'abord pour commencer la suite suivante :
[TeX]u_1=\sqrt{n}[/TeX]
[latex]u_{n+1}=\sqrt{n+u_{n}[/latex]

C'est quoi Un ? C'est censé être [latex]x_n[/latex] ? Que signifie [latex]u_1=\sqrt{n}[/latex] ?

 #34 - 25-06-2013 18:03:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

la suite dzs racines carrées

[TeX]u_n[/latex] ou [latex]x_n[/latex] qu'importe c'est juste une notation non?
Pour le reste oui je me suis trompé, [latex]u_1=\sqrt{m}[/latex] avec [latex]m \in \mathbb{N}[/TeX]


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #35 - 25-06-2013 18:47:33

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

la suite des racibes carrées

Combien vaut ce m ?

Est-ce que cette suite est égale à la suite [latex](x_n)[/latex] donnée par Alexein ?

Si oui pourquoi ?

D'où sortent les encadrements que tu donnes ensuite ?

 #36 - 25-06-2013 18:57:39

shadock
Elite de Prise2Tete
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La suitte des racines carrées

La suite c'est ma suite que je définie pour avoir déjà une minoration de la sienne en définissant :
[TeX]u_n=\sqrt{m+\sqrt{m+\text{...}+\sqrt{m}}}[/latex] avec n fois la racine de m dans la racine...
Qui converge vers la valeur [latex]\frac{1+\sqrt{4m+1}}{2}[/latex] que l'on trouve facilement en cherchant le point fixe de la fonction [latex]f(x)=\sqrt{m+x}[/TeX]
wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #37 - 25-06-2013 19:30:00

titoufred
Elite de Prise2Tete
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La suite des racines acrrées

Grâce à ta suite [latex](u_n)[/latex], tu obtiens une minoration de [latex](x_n)[/latex], c'est bien ça ?

Et quelle est cette minoration ? Quelle en est la preuve ?

Et tu obtiens aussi une majoration ? Quelle est-elle ?  Quelle en est la preuve ?

 #38 - 25-06-2013 20:17:17

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

la suite des racines carréed

Ca fait un peu comme si tu me prenais de haut là...ce que j'apprécie fort peu, mais bon bref passons, je suis légèrement irritable en ce moment, alors,

[latex]x_n[/latex] est minorée par [latex]u_n(1)=\sqrt{1+\sqrt{1+\text{..}+\sqrt{1}}}[/latex] qui est strictement croissante et qui est bornée par le nombre d'or, en effet à cette suite on peut associer la fonction [latex]f(x)=\sqrt{1+x}[/latex] on cherche son point fixe c'est à dire que l'on résous [latex]f(x)=x[/latex] et on prend sa racine positive qui est le nombre d'or.

Elle est bornée donc elle converge vers un réel [latex]l[/latex] que l'on trouve en résolvant [latex]u_{n+1}^2=1+u_n[/latex] soit [latex]l^2=1+l[/latex] on prend la racine positive sinon ça ne va pas et on a [latex]l=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/latex] qui est le nombre d'or.

Comme dans [latex]x_n[/latex] chaque terme que l'on rajoute est strictement plus grand que 1, forcément [latex]u_n(m)[/latex] appliquée pour m=1 montre que la suite [latex]x_n[/latex] qui est strictement croissante est minorée.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #39 - 25-06-2013 21:29:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
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LLa suite des racines carrées

Pourquoi est-ce que tu dis que je te prends de haut ? Je te pose juste des questions parce que je ne comprends pas ton raisonnement.

Si je comprends bien, tu montres que [latex]x_n \geq u_n(1)[/latex], jusque là d'accord. Or [latex]u_n(1)[/latex] tend vers [latex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/latex]

Après, tu en conclues que la suite [latex](x_n)[/latex] est minorée par le nombre d'or [latex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/latex], c'est bien ça ?

Là, je ne suis plus d'accord. Disons plutôt que si [latex](x_n)[/latex] converge, alors sa limite est minorée par le nombre d'or.

Finalement, ta conclusion est : la suite [latex]x_n[/latex] est strictement croissante est minorée. Est-ce bien ça ?

Oui, toute suite croissante est minorée. A quoi ça sert de montrer ça ?

 #40 - 25-06-2013 21:47:19

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

La suiet des racines carrées

Que proposes-tu de démontrer dans le message que je cite en dessous ?

shadock a écrit:

Montrons que Un est majorée par 2 :

Quand tu parles de [latex]Un[/latex], c'est ta suite à toi définie en dessous ou la suite [latex](x_n)[/latex] d'Alexein ?

shadock a écrit:

On considère d'abord pour commencer la suite suivante :
[TeX]u_1=\sqrt{m}[/latex] où [latex]m[/latex] est un entier fixé.
[latex]u_{n+1}=\sqrt{m+u_{n}[/TeX]
Alors cette suite est minorée par [latex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/latex] et majorée par [latex]\frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}[/latex]

(j'ai corrigé selon ce que tu m'as dit dans les messages précédents)

Quand tu dis "cette suite" tu parles bien de ta suite [latex](u_n)[/latex] je présume ? Où se sert-on de ce résultat plus tard ?

shadock a écrit:

En réalité un peu de culture mathématiques permet de savoir que cette suite est majorée strictement par 2, tout simplement. En effet, d'après Ramanujan, on a
[TeX]n+2=\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)(n+4)}}[/TeX]
[TeX]=\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)(n+5)}}}[/TeX]
Et caetera et donc en prenant n=0 on a,

[latex]v_n=\sqrt{1+\sqrt{1+2*\sqrt{1+3*\sqrt{1+\text{...}+n*\sqrt{\text{...}}}}}}[/latex]

Qu'y a-t-il à la place des pointillés finaux ?

shadock a écrit:

Donc [latex]lim_{n \to \infty} u_n<lim_{n \to \infty} v_n=2[/latex]

Et maintenant, tu parles toujours de ta suite [latex](u_n)[/latex] ou de la suite [latex](x_n)[/latex] d'Alexein ? Pourquoi est-ce que [latex]u_n<v_n[/latex] ?

shadock a écrit:

D'où le résultat, [latex](u_n)[/latex] est une suite convergente.
Reste plus qu'à trouver sa limite.
Shadock smile

Et maintenant, tu parles toujours de ta suite [latex](u_n)[/latex] ou de la suite [latex](x_n)[/latex] d'Alexein ?

 #41 - 26-06-2013 00:01:50

titoufred
Elite de Prise2Tete
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La suuite des racines carrées

Qu'est-ce que ça veut dire "contraire à la doxa" ?

Donc en fait toute la première partie avec ta suite [latex](u_n)[/latex], tu ne l'utilises pas après c'est ça ?

Peux-tu expliquer tout le reste s'il te plait ? (voir mon message 40). Merci.


EDIT : NB : shadock ayant effacé quelques uns de ces messages, le dialogue devient incompréhensible.

 #42 - 26-06-2013 00:36:43

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3313

La suite des rcaines carrées

En fait j'ai du mal à croire que tu réussisses de manière assez brillante à montrer la majoration par 2 et que tu ne sois pas capable de comprendre tout ce que j'ai fais...

J'ai pourtant bien définie ma suite [latex]U_n[/latex] ici qui si tu as compris l'énoncé est la même que [latex]x_n[/latex]...

Pour la deuxième oui je parle bien de [latex]u_n[/latex] je m'en sers pour montrer que [latex]x_n[/latex] est minorée par [latex]\phi[/latex].

A la place des pointillés finaux, peut me chaut tant que ce sont des nombres entiers naturel qui croissent un à un...

Pour le reste c'est sans doute des erreurs de notations je suis fatigué là, [latex](x_n)<(v_n)[/latex]

Je parle de [latex]x_n[/latex].

Bref je me suis emmêlé les pinceaux.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #43 - 26-06-2013 01:26:56

titoufred
Elite de Prise2Tete
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la suote des racines carrées

Ok. Je comprends mieux maintenant.

Alors, pourrais-tu expliquer s'il te plait pourquoi [latex]x_n < v_n[/latex] ?

 #44 - 05-10-2013 23:57:32

shadock
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La suite des rcines carrées

J'ai trouvé une meilleure majoration de la suite à savoir [latex]x_n \le \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}[/latex]


En remarquant que [latex]\forall n \in \mathbb{N} \text{, }x_{n+1}^2 \le 1+\sqrt{2}x_n[/latex]

On a le résultat avec [latex]Q(x)=x^2-\sqrt{2}x-1[/latex] qui vérifie [latex]Q(x_n) \le 0[/latex], ainsi [latex]x_n[/latex] est entre les racines du polynôme d'où le résultat.

Shadock cool


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