Alex

Tu auras autant de diversité de réponses avec un problème ouvert sinon plus . Le défaut majeur ( rédhibitoire ) du problème caché , est qu'il est difficile d'entrer dans le jeu après coup .

Vasimolo

Je donne ma réponse, peut être un peu tardive, mais non écrite encore, il me semble.
Arrêtons la suite à rac(n²+1), par exemple rac10
9+rac10<9+4<13, rac16 étant le carré immédiatement rac9.
remontons:
8+rac13<12
7+rac12<11
6+rac11<10
5+rac10<9
rac9<3

Et on remonte comme ça jusqu'à 2.

Si on arrête la suite à n'importe quelle rac(n²+1), elle est majorée par la suite qui s'arrête à n²-n-1 (arrêter la suite à 25+rac26, c'est la majorer au rang 25-6=19, avec 19+6=25=5². Or 19 n'atteint pas le majorant précédent 16+rac17<16+5.
Ajouter à la suite tronquée à rac(n²+1) les valeurs jusqu'au carré suivant ne change pas le majorant.

La suite est convergente.

Il y a des généralisations pour certaines suites du genre :
$$u_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\ldots+\sqrt{a_n}}}$$
Par exemple si on définit :
$$v_n=\sqrt{a_1+\sqrt{a_2+\ldots+\sqrt{ka_n}}}$$
avec $k$ une constante supérieure à $1$ telle que $ka_{n+1}\leq (k-1)^2a_n^2$

alors $(v_n)$ converge et donc $(u_n)$ aussi .

Vasimolo

nodgim : Ce me semble convenir !

shadock : Je suis d'accord avec toi ^^

Vasimolo : En effet, en effet ! Bon, je verrai si je tombe sur ce genre de suites

Merci beaucoup à tous d'avoir participé !

$$u_n[/latex] ou [latex]x_n[/latex] qu'importe c'est juste une notation non? Pour le reste oui je me suis trompé, [latex]u_1=\sqrt{m}[/latex] avec [latex]m \in \mathbb{N}$$

La suite c'est ma suite que je définie pour avoir déjà une minoration de la sienne en définissant :
$$u_n=\sqrt{m+\sqrt{m+\text{...}+\sqrt{m}}}[/latex] avec n fois la racine de m dans la racine... Qui converge vers la valeur [latex]\frac{1+\sqrt{4m+1}}{2}[/latex] que l'on trouve facilement en cherchant le point fixe de la fonction [latex]f(x)=\sqrt{m+x}$$

Ca fait un peu comme si tu me prenais de haut là...ce que j'apprécie fort peu, mais bon bref passons, je suis légèrement irritable en ce moment, alors,

$x_n$ est minorée par $u_n(1)=\sqrt{1+\sqrt{1+\text{..}+\sqrt{1}}}$ qui est strictement croissante et qui est bornée par le nombre d'or, en effet à cette suite on peut associer la fonction $f(x)=\sqrt{1+x}$ on cherche son point fixe c'est à dire que l'on résous $f(x)=x$ et on prend sa racine positive qui est le nombre d'or.

Elle est bornée donc elle converge vers un réel $l$ que l'on trouve en résolvant $u_{n+1}^2=1+u_n$ soit $l^2=1+l$ on prend la racine positive sinon ça ne va pas et on a $l=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ qui est le nombre d'or.

Comme dans $x_n$ chaque terme que l'on rajoute est strictement plus grand que 1, forcément $u_n(m)$ appliquée pour m=1 montre que la suite $x_n$ qui est strictement croissante est minorée.

Que proposes-tu de démontrer dans le message que je cite en dessous ?

shadock a écrit:

Montrons que Un est majorée par 2 :

Quand tu parles de $Un$, c'est ta suite à toi définie en dessous ou la suite $(x_n)$ d'Alexein ?

shadock a écrit:

On considère d'abord pour commencer la suite suivante :
$$u_1=\sqrt{m}[/latex] où [latex]m[/latex] est un entier fixé. [latex]u_{n+1}=\sqrt{m+u_{n}$$
Alors cette suite est minorée par $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et majorée par $\frac{1+\sqrt{1+4m}}{2}$

(j'ai corrigé selon ce que tu m'as dit dans les messages précédents)

Quand tu dis "cette suite" tu parles bien de ta suite $(u_n)$ je présume ? Où se sert-on de ce résultat plus tard ?

shadock a écrit:

En réalité un peu de culture mathématiques permet de savoir que cette suite est majorée strictement par 2, tout simplement. En effet, d'après Ramanujan, on a
$$n+2=\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)(n+4)}}$$
$$=\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)(n+5)}}}$$
Et caetera et donc en prenant n=0 on a,

$v_n=\sqrt{1+\sqrt{1+2*\sqrt{1+3*\sqrt{1+\text{...}+n*\sqrt{\text{...}}}}}}$

Qu'y a-t-il à la place des pointillés finaux ?

shadock a écrit:

Donc $lim_{n \to \infty} u_n<lim_{n \to \infty} v_n=2$

Et maintenant, tu parles toujours de ta suite $(u_n)$ ou de la suite $(x_n)$ d'Alexein ? Pourquoi est-ce que $u_n<v_n$ ?

shadock a écrit:

D'où le résultat, $(u_n)$ est une suite convergente.
Reste plus qu'à trouver sa limite.
Shadock

Et maintenant, tu parles toujours de ta suite $(u_n)$ ou de la suite $(x_n)$ d'Alexein ?

En fait j'ai du mal à croire que tu réussisses de manière assez brillante à montrer la majoration par 2 et que tu ne sois pas capable de comprendre tout ce que j'ai fais...

J'ai pourtant bien définie ma suite $U_n$ ici qui si tu as compris l'énoncé est la même que $x_n$...

Pour la deuxième oui je parle bien de $u_n$ je m'en sers pour montrer que $x_n$ est minorée par $\phi$.

A la place des pointillés finaux, peut me chaut tant que ce sont des nombres entiers naturel qui croissent un à un...

Pour le reste c'est sans doute des erreurs de notations je suis fatigué là, $(x_n)<(v_n)$

Je parle de $x_n$.

Bref je me suis emmêlé les pinceaux.

J'ai trouvé une meilleure majoration de la suite à savoir $x_n \le \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$


En remarquant que $\forall n \in \mathbb{N} \text{, }x_{n+1}^2 \le 1+\sqrt{2}x_n$

On a le résultat avec $Q(x)=x^2-\sqrt{2}x-1$ qui vérifie $Q(x_n) \le 0$, ainsi $x_n$ est entre les racines du polynôme d'où le résultat.

Shadock