Enigmes

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 #1 - 14-09-2012 19:39:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite de Syracuse en régime accélér

Bonsoir à tous.
La suite de Syracuse s'obtient en multipliant par 3 (puis en ajoutant 1) les nombres impairs et en divisant par 2 les nombres pairs.
On peut s'arranger pour changer un peu ce mode de calcul de sorte qu'on établit une sous suite 2 à 3 fois plus courte que la suite classique (en ne retenant que les nombres impairs), en ne multipliant jamais par 3.
Comment vous y prendriez vous ?

Bon amusement



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 #2 - 14-09-2012 20:11:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Suite de Syracuse en régime acécléré

Nodgim , ça devient obsessif smile

J'ai un vieux classeur d'une vingtaine de pages avec certains résultats plus ou moins originaux que j'ai trouvé sur Syracuse . Je les garde précieusement pour ma retraite , que c'est loin tout ça ! Fais gaffe ce problème est un gouffre sans fond !!!!

Vasimolo

 #3 - 14-09-2012 20:55:27

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Suite de Syracse en régime accéléré

Avec de l'autorité !!!


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #4 - 15-09-2012 10:08:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite de Syracsue en régime accéléré

A Vasimolo: c'est ma seconde crise Syracusienne. La 1ère a duré quelques années, je suis dans la fin (?) de la seconde. Y en aura t il une 3ème ? Qui sait ?
Si tu as des résultats intéressants sur le sujet je suis preneur. Non pas pour le résultat lui même, mais pour le regard que tu as pu porter sur le sujet.
On pourrait créer une association des angoissés du sujet, il y aurait sûrement beaucoup de monde !

 #5 - 15-09-2012 11:41:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

suite de syracude en régime accéléré

Il doit y avoir plusieurs façons de le faire...

Mon début d'analyse :

1) Si [latex]u_n[/latex] est impair, alors [latex]u_{n+1} = 3 u_n + 1[/latex], qui est forcément pair.
Du coup, [latex]u_{n+2} = \frac{u_{n+1}}{2} = \frac{3 u_n + 1}{2}[/latex].
Pour enlever la multiplication par 3, on peut réécrire :
[TeX]u_{n+2} = u_n + \frac{1}{2} \left( u_n + 1\right)[/TeX]
2) Ce qui me gêne là-dedans, c'est que pour savoir d'avance si [latex]u_{n+2}[/latex] est pair, il faut savoir si [latex]u_n[/latex] est de la forme [latex]4k+1[/latex] ou [latex]4k+3[/latex] :
* si [latex]u_n = 4k+3[/latex], [latex]u_{n+2}[/latex] est impair. Sinon,
* si [latex]u_n = 8k+1[/latex], [latex]u_{n+3}[/latex] sera impair. Sinon,
* si [latex]u_n = 16k+13[/latex], [latex]u_{n+4}[/latex] sera impair. Sinon...
Et ça peut aller loin, parce que la moitié des puissances de 2 peuvent s'écrire sous la forme [latex]u_{n+1} = 3 u_n + 1[/latex] avec [latex]u_n[/latex] impair. Prends [latex]u_0 = 85[/latex], par exemple. Ou 341. Ou 1365. Ou 5461. Ou...

3) Solution de facilité :
A partir d'un [latex]V_n[/latex] impair :
- [latex]V_{n+1} = V_n + \frac{1}{2} \left( V_n + 1\right)[/latex]
- tant que [latex]V_{n+1}[/latex] pair, le diviser par 2.

Doit y avoir mieux...


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 #6 - 15-09-2012 13:55:38

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite de Syracuse ne régime accéléré

Les nombres que tu cites, 85, 341,.. sont ceux pour lesquels il n'y a aucune opération à faire ( à part le test rapide que tu as fait dans ton analyse). C'est l'un des aspects de ma méthode. Le plus plaisant car le plus expéditif. Il reste à trouver 2 autres cas, dont l'un comporte 2 "sous cas".

 #7 - 18-09-2012 14:13:30

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Suite de Syraacuse en régime accéléré

Il y a une énigme qui a surement du t'être posée nodgim.

Comment avec presque 1000 messages tu n'as jamais résolue une seule énigme du site (autres que celles posées sur le forum) ?

 #8 - 18-09-2012 15:28:51

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Suite de Syracuse e régime accéléré

Je pense qu'il n'a tout simplement pas envie, ou pas le temps pour le moment. Ce n'est pas une énigme, plutôt une question légèrement déplacée. Il est libre, non ? smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 18-09-2012 18:30:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite de Syracuse en régime accélééré

gilles355 a écrit:

Il y a une énigme qui a surement du t'être posée nodgim.

Comment avec presque 1000 messages tu n'as jamais résolue une seule énigme du site (autres que celles posées sur le forum) ?

C'est seulement la rubrique "Enigmes mathématiques" qui m'intéresse sur ce site. Les devinettes ne m'attirent pas beaucoup. J'ai déja par exemple donné mon avis sur les cryptages. Et puis, à partir d'un certain âge, on est moins enclin aux compétitions, aux classements, enfin c'est mon cas. On prend plus de recul avec tout ça.
Mes explications te conviennent elles ?

 #10 - 18-09-2012 19:06:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

suute de syracuse en régime accéléré

nodgim a écrit:

Si tu as des résultats intéressants sur le sujet je suis preneur. Non pas pour le résultat lui même, mais pour le regard que tu as pu porter sur le sujet.
On pourrait créer une association des angoissés du sujet, il y aurait sûrement beaucoup de monde !

Je ne vais pas ressortir mes brouillons , c'est trop addictif smile

Mais je peux te donner l'idée que j'avais commencé à exploiter ( je ne sais pas si elle est originale ) .

Chaque entier est caractérisé par une suite infinie de division par 2 , les termes de la suite donnant le nombre de divisions par 2 à chaque étape .

Par exemple : 11

11 : X3+1 = 34 et on divise par 2^1 : premier terme 1
17 : X3+1 = 52 et on divise par 2^2 : deuxième terme 2
13 : X3+1 = 40 et on divise par 2^3 : troisième terme 3
5   : X3+1 = 16 et on divise par 2^4 : quatrième terme 4
1   : X3+1 = 04 et on divise par 2^2 : cinquième terme 2 ...

11 -> 1,2,3,4,2,2,2,2,....

On peut facilement généraliser le procédé à tous les rationnels ( positifs ou négatifs ) dont l'écriture fractionnaire réduite ne comporte pas de facteur 2 ou 3 au numérateur et au dénominateur .

Il est amusant de voir que si on sort du cadre des entiers , on peut faire des boucles de la taille que l'on veut une infinité de fois . On peut aussi faire plein d'autres choses , des extensions , des restrictions , chercher des représentants à une suite donnée ...

Mais tout ça prend beaucoup , beaucoup de temps smile

Vasimolo

 #11 - 18-09-2012 19:30:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

suite de syracuse en régume accéléré

nodgim a écrit:

C'est seulement la rubrique "Enigmes mathématiques" qui m'intéresse sur ce site. Les devinettes ne m'attirent pas beaucoup. J'ai déja par exemple donné mon avis sur les cryptages. Et puis, à partir d'un certain âge, on est moins enclin aux compétitions, aux classements, enfin c'est mon cas. On prend plus de recul avec tout ça.

Je ne peux qu'être d'accord avec toi même si je pense que tu perds quelque chose en te privant des énigmes officielles ( tu peux les chercher hors compétition smile )

Chacun pose un pion à sa manière , j'ai cru comprendre que c'était comme ça que le Ch'Ef voyait les choses smile

Bref tu fais comme tu le sens et c'est au mieux pour tout le monde .

Vasimolo

 #12 - 18-09-2012 19:59:16

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Suite de Syracue en régime accéléré

Just my two cents : aucune énigme officielle n'a quoi que ce soit d'une devinette. La réponse vient toujours logiquement, et on a tous les éléments en main dès le début, il ne tient qu'à nous de bien suivre le chemin indiqué. C'est pour ça qu'à mon sens les énigmes officielles de Prise2Tête sont ce qu'il fait de mieux dans le genre.

Mais si tu n'as pas envie de t'y essayer, ça ne pose de problème à personne smile Et nous sommes ravis de la façon dont tu contribues au forum ! <mode lèche:off>


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 18-09-2012 20:22:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

suite de syracuse en régile accéléré

Vasimolo a écrit:

Je ne vais pas ressortir mes brouillons , c'est trop addictif

Ah oui, c'est sérieux pour toi aussi je vois...
Je préfère détruire pour mieux oublier. C'est sur la vague idée qu'il m'en reste que je repars pour découvrir d'autres choses. Comme dirait n'importe quel informaticien qui s'intéresse par exemple aux grands nombres premiers, il vaut toujours mieux recalculer que mémoriser.

C'est curieux cette approche que tu as eue. Je vais à l'occasion m'y pencher.

Ah oui, je n'ai pas encore donné la solution. Bon je rédigerai ça au plus tôt. Ce n'est pas trop long.

 #14 - 19-09-2012 18:34:54

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Suite de Syracue en régime accéléré

Vasimolo a écrit:

11 -> 1,2,3,4,2,2,2,2,....
Vasimolo

C'est en effet une écriture unique pour chaque entier, même si on arrête à 1.
Inversement, il est possible d'associer à cette suite un nombre donné, ou tout au moins le plus petit. Le retrouver est assez facile. Il est à noter que si on choisit une suite au hasard, il y a très très peu de chances que le nombre correspondant, une fois qu'on l'aura calculé, finisse à 1. Les suites qui se terminent à 1 sont bien particulières.
Malheureusement, on ne peut faire aucune opération sur ces écritures (multiplication ou addition).

 #15 - 19-09-2012 18:56:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Suit ede Syracuse en régime accéléré

Bon je donne la recette pour la suite dite accélérée.
Le nombre impair qu'on va traiter, on va le diviser par 2 autant de fois que nécessaire. On ne conserve que les parties entières des résultats successifs.
(Si on le fait à la calculette, on ne regarde pas les chiffres après la virgule). 

Exemple: 47,23,11,5,2,1,0. Pour cet exemple, si on s'en tient à la parité des nombres successifs, l'écriture devient: I I I I P I P.

Pour le calcul du nombre impair suivant, 3 cas sont alors à considérer:

1) suite alternée I P I P.....: on ne tient pas compte de ces nombres. Ils comptent pour rien.

2) suite de k>= 2 impairs successifs: ....I I....P : si A est le premier nombre pair qui suit, alors le nombre suivant vaut: -1+ (A+1)*3^k auquel on ôte ensuite la parité pour retrouver un impair.

3) suite de 2k>=2 pairs successifs: ....P P P P...I: Si A est le premier impair qui suit, alors le nombre suivant vaut: 1+2*A*3^k qui est impair. 

4) suite de 2k-1>=3 pairs successifs: ....P P P..I: Si A est le premier impair qui suit, alors le nombre suivant vaut: 1+A*3^k auquel on ôtera la parité pour trouver l'impair suivant.

Si on applique ces règles avec le nombre 27 par exemple, on arrive à 1 avec 14 impairs, au lieu des 41 dans la suite normale.

 #16 - 19-09-2012 19:19:17

Vasimolo
Le pâtissier
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Suite de Syracuse en régime accéléé

En fait une suite ne peut représenter qu'un seul rationnel dont le numérateur et le dénominateur ne sont pas divisible par 3 . Par exemple 1,1,1,... représente -1 . On peut assez facilement trouver nombres représentés par des cycles de la taille que l'on veut mais je n'ai pas réussi à prouver que tout rationnel était représenté par une suite formant un cycle à partir d'un certain rang .

Si je ne donne pas plus de détail ce n'est pas pour créer un suspens mais parce que mes notes sont vraiment confuses , j'ai beaucoup oublié et je n'ai pas trop envie m'y remettre smile

Si l'idée t’intéresse j'essaierai de faire un petit résumé .

Vasimolo

 #17 - 19-09-2012 19:31:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
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suote de syracuse en régime accéléré

Je ne vois pas trop ce qu'apporte le dénominateur...
C'est bien le numérateur qui donne la parité, non ?

 #18 - 19-09-2012 19:38:59

Vasimolo
Le pâtissier
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Suite de Syracuse en régime acccéléré

Tu peux par exemple chercher le successeur de [latex]\dfrac53[/latex] smile

Vasimolo

 #19 - 19-09-2012 19:46:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
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suite de syracuse en régimr accéléré

Justement je l'ai fait.
5/3; 1/3; 1/3....?
Ou c'est autre chose ?

 #20 - 19-09-2012 20:26:25

Vasimolo
Le pâtissier
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Suite d Syracuse en régime accéléré

5/3->3 , ce que l'on veut éviter .

Vasimolo

 #21 - 21-09-2012 18:02:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Suite de Syracuse en régime accéléréé

Je n'ai pas encore compris comment tu passais de 5/3 à 3 ni pourquoi il faut l'éviter (là je lévite)

 #22 - 21-09-2012 19:56:08

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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suite de syracusr en régime accéléré

C'est un peu normal smile

J'essaierai de trouver un moment pour t'expliquer comment j'ai pris les choses . Ne soit pas trop impatient smile

Vasimolo

 #23 - 23-09-2012 12:43:29

nodgim
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Site de Syracuse en régime accéléré

Dans S*, tu écris:
a(n+1)=3*an +2 ^a(n+1).
N'y a t il pas une erreur ?
car S* est déclaré être un ensemble d'entiers.

 #24 - 24-09-2012 12:22:11

rivas
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

Suite de Syracuse en rgime accéléré

Je ne comprends rien à la solution.
Je ne vois pas du tout en quoi ce mode de calcul est plus simple par rapport à la suite classique ni en quoi elle permet de faire moins d'opérations.
Il y a aussi une multiplication par une puissance de 3 dans un des cas alors que l'énoncé disait pas de multiplication par 3.

En fait utiliser le truc de n impair -> (3n+1)/2 permet de réduire.

J'ai du louper quelque chose...

 #25 - 24-09-2012 19:05:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

suite de syracuse en régimz accéléré

Salut Rivas.
Bien entendu, il ne fallait pas s'attendre à la résolution de la conjecture.
Il ne s'agit pas non plus de "gagner du temps" pour trouver la fin (1) de la suite, l'informatique se prête tellement bien à l'algorithme qu'il n'y a pas besoin de faire autre chose.
L'énoncé n'a rien dit de plus que ce qu'il indiquait. Ce qu'il a été dit, c'est qu'il existe des raccourcis, c'est à dire une manière de calculer qui évite des étapes intermédaires. C'est juste un exercice de style.

En revanche, il y a quelque chose de beaucoup plus intéressant, c'est que je sais remonter à coup sûr du 1 jusqu'à un nombre impair donné. Mais ça, je le garde pour moi.

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