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 #1 - 31-10-2017 07:56:48

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Suite de multipes

Bonjour @ tous,

Cette suite d'entiers strictement croissante commence à 1 et finit à n et chaque entier de la suite (sauf le 1) est un multiple du précédent.

Combien comptez vous de suites distinctes pour aller de 1 à 360 ?

Comptez bien (ça se fait à la main)

Question subsidiaire (je n'ai pas la réponse) : existe t'il un nombre égal au nombre de ses suites ?



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 #2 - 31-10-2017 10:25:57

Bastidol
Passionné de Prise2Tete
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Suit ede multiples

Bonjour,

La dernière valeur de la suite doit elle être égale à 360 ou  peut elle être inférieure ou égale ?
Dans le dernier cas le multiple est il toujours le même ?

@+

 #3 - 31-10-2017 10:43:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Suite de multpiles

Bon, j'ai trouvé un nombre égal au cardinal de ses suites !

@Batistol: je ne comprends très bien ta question, aussi je donne un exemple:
Pour arriver à 10, on identifie ces suites :
1 10
1 2 10
1 5 10

Soit 3 suites. Qu'on note ou pas le 10 ne change rien, toutefois c'est plus clair en le notant.

J'ai corrigé l'énoncé, c'était peut être le mot " intermédiaire " qui pouvait prêter à confusion.

 #4 - 31-10-2017 12:13:11

masab
Expert de Prise2Tete
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Suite de multipless

Il y a 604 suites de 1 à 360.
Le nombre 48 est égal au nombre de ses suites.

 #5 - 31-10-2017 13:20:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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suitz de multiples

Masab, c'est bien ça, bravo.
Fait à la main ?

 #6 - 31-10-2017 15:12:29

masab
Expert de Prise2Tete
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suite de miltiples

On note ns(n) le nombre de suites associées à l'entier n.
Diviseurs de 360 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
On a
[TeX]ns(n) = 1 + \sum_k ns(k)[/TeX]
la sommation étant pour k diviseur de n différent de 1 et de n.
On a de proche en proche
ns(2) = 1
ns(3) = 1
ns(4) = 2
ns(5) = 1
ns(6) = 3
ns(8) = 4
ns(9) = 2
ns(10) = 3
ns(12) = 8
ns(15) = 3
ns(18) = 8
ns(20) = 8
ns(24) = 20
ns(30) = 13
ns(36) = 26
ns(40) = 20
ns(45) = 8
ns(60) = 44
ns(72) = 76
ns(90) = 44
ns(120) = 132
ns(180) = 176
ns(360) = 604

 #7 - 31-10-2017 16:44:07

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Suite de multiple

Hello

Comme résultat pour 360, j'ai 604.
Un exemple de nombre qui se référence lui-même: 48
(Mais aussi 1280 et quelques autres encore)

En gros, f(n) = sum(f(i), i|n), avec f(n) = f(1) = 1 pour n premier.

Accessoirement
  - f(p^n) = 2^(n-1) pour p premier
  - pour une décomposition en facteurs premiers n = prod(p_i^alpha_i), f ne dépend que des alpha_i (autrement dit, f(6 = 2x3) = f(143 = 13 x 11) = 3; f(48 = 2^4 x 3) = f(6875 = 5^4 x 11) = 48)

 #8 - 31-10-2017 17:59:04

nodgim
Elite de Prise2Tete
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suite fe multiples

C'est OK pour vous deux, Masab et Scarta, bravo à vous.

@ Scarta: bien pour le second nombre "parfait" !

 #9 - 31-10-2017 20:20:25

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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suite de myltiples

Voici comment je vois les choses :

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-tableaux.png

Pour faire le décompte des suites pour un entier n (ici, 360), on détermine le nombre f de facteurs premiers distincts de n (ici, 3), et on fait un tableau à f entrées.

Ici, 360 = 2^3 * 3^2 * 5^1, donc je fais un tableau à triple entrée (en trois dimensions). Pour le remplir, la case (0,0,0) est initialisée à 1, puis pour remplir une case (a,b,c), je fais la somme de tous les nombres dans le pavé dont deux sommets opposés sont (0,0,0) et (a,b,c) (sauf la case (a,b,c) elle-même.

Par exemple, j'obtiens 818 en faisant (1+1+2+1+3+8+2+8+26) + (1+3+8+3+13+44+8+44+176) + (2+8+26+8+44+176+26+176). Ce qui me donne que le nombre de suites pour tout nombre de la forme p1².p2².p3² où p1, p2, p3 sont premiers vaut 818.

Pour la question de départ, je vais chercher dans mon tableau la case de coordonnées (3,2,1) et je trouve 604.

Sinon, pour la question subsidiaire, on peut regarder les cases du tableau et chercher quelles cases contiennent un nombre dont les puissances de la décomposition en facteurs premiers correspond aux coordonnées de la case : c'est le cas de 48 = 2^4 * 3^1 dans la case (4,1), mais aussi de 29808 = 2^4 * 3^4 * 23^1 dans la case (4,4,1).

 #10 - 31-10-2017 20:42:29

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Suite ed multiples

D'ailleurs, dans le même genre que 48, en se concentrant sur les nombres du type p1^k * p2^1, on peut constater que tous les nombres du type 2^(2p-2) * p (avec p premier) répondent à la question subsidiaire.

Par exemple, c'est le cas ensuite de 2^8 * 5 = 1280, 2^12 * 7 = 28672...

 #11 - 31-10-2017 22:44:33

scarta
Elite de Prise2Tete
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suute de multiples

J'en ai d'autres si tu veux (tous ceux =< 10^16 en fait) big_smilebig_smilebig_smile
https://projecteuler.net/problem=548

 #12 - 01-11-2017 08:28:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3468

suite de miltiples

@ Ebichu : OK pour le nombre cherché et OK pour la question subsidiaire. Cependant, ton message 10 n'est pas tout à fait correct, en particulier sur la formulation de l'infinité de ces nombres égaux au cardinal de leurs suites. Tu n'es pas loin, il faut juste ajuster et si possible prouver.

@ Scarta: vu. Sauras tu prouver qu'il existe une infinité de ces nombres "parfaits" (égaux au cardinal de leurs suites) ?

 #13 - 01-11-2017 09:42:14

masab
Expert de Prise2Tete
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suite de miltiples

Nombres parfaits inférieurs à 10 millions :
[TeX]48=2^4\times 3[/TeX]
[TeX]1280=2^8\times 5[/TeX]
[TeX]2496=2^6\times 3\times 13[/TeX]
[TeX]28672=2^{12}\times 7[/TeX]
[TeX]29808=2^4\times 3^4\times 23[/TeX]
[TeX]454656=2^{12}\times 3\times 37[/TeX]
[TeX]2342912=2^{14}\times 11\times 13[/TeX]

 #14 - 01-11-2017 11:11:28

masab
Expert de Prise2Tete
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Messages : 765

Suite de mutiples

Nombres parfaits compris entre 10 millions et 100 millions :
[TeX]11534336 = 2^{20}\times 11[/TeX]
[TeX]57409536 = 2^{18}\times 3\times 73[/TeX]

 #15 - 01-11-2017 11:27:45

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 727

suite dz multiples

Pour la formulation, je ne vois pas de problème, hormis que j'aurais dû préciser "avec p premier >2" ?

La démonstration, ce n'est pas une grosse affaire : il suffit de constater par récurrence que pour un nombre du type [latex]n=p^k[/latex], le nombre de suites est [latex]2^{k-1}[/latex], puis que pour un nombre du type [latex]n=p_1^k.p_2^1[/latex], le nombre de suites est [latex]2^{k-1}.(k+2)[/latex].

Ainsi, pour un nombre du type [latex]n=2^{2p-2}.p[/latex], le nombre de suites est [latex]2^{2p-3}.2p[/latex] soit le même nombre.

 #16 - 01-11-2017 15:20:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
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duite de multiples

C'est tout à fait correct, Ebichu, J'avais fait une mauvaise lecture car j'avais en tête une suite différente qui ressemblait à la tienne. ça en fait 2 maintenant. 

@ Masab: il existe bien d'autres nombres "parfaits" (dans le contexte de ce problème, les nombres parfaits étant autre chose) et même une infinité !

 #17 - 01-11-2017 15:34:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3468

suite de multipleq

@ Ebichu: en fait, on a trouvé le même ensemble, c'est de mon coté qu'une nuance m'avait échappée, c'est corrigé maintenant.
Bravo à toi.

 #18 - 01-11-2017 16:49:17

masab
Expert de Prise2Tete
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Suite dee multiples

Mais existe-t-il d'autres nombres "parfaits" inférieurs à 100 millions ?

 #19 - 01-11-2017 16:54:08

masab
Expert de Prise2Tete
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syite de multiples

La suite des nombres "parfaits" est donnée dans le lien
https://oeis.org/A163272

 #20 - 01-11-2017 18:06:20

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1567

Suite d multiples

Pour un nombre p^n.q, p et q premiers distincts, le résultat est (n+2).2^(n-1)

Pour un premier q impair, on pose n= 2q-2
Et donc 2^n.q sera une valeur "parfaite"

3 donne 48, 5 donne 1280, 7 donne 28672, etc...

A noter que ce ne sont pas les seuls. Mais ça prouve déjà l'infinité

 #21 - 01-11-2017 19:16:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3468

Suite de muultiples

@ Scarta: c'est bien ça, bravo à toi.

@ Masab: Le jeu sur ce site n'est pas d'aller chercher la solution sur internet. A titre d'info, ça ne manque pas d'intérêt, mais ce n'est pas le but principal.

 #22 - 02-11-2017 08:40:52

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 494
Lieu: Ardèche

Site de multiples

plagiat de Diophante.fr

 #23 - 02-11-2017 10:03:52

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 765

suite dz multiples

nodgim : @ Masab: Le jeu sur ce site n'est pas d'aller chercher la solution sur internet.

Je ne suis pas du tout allé chercher la solution sur un autre site !
A l'aide d'un programme informatique de ma conception, j'ai trouvé la suite :
48, 1280, 2496, 28672, 29808, 454656, 2342912, 11534336, 57409536

En mettant cette suite dans google, je me suis aperçu avec étonnement qu'il s'agissait d'une suite connue. C'était juste une remarque ; je n'ai pas vu indiqué sur ce lien que la suite des nombres "parfaits" était infinie.

 #24 - 02-11-2017 11:35:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Suite de multpiles

@ Masab : OK. Tu vois, OEIS ne dit pas tout !

@ Halloduda: Ben, non. J'ai horreur de passer derrière les autres, quel intérêt ?
Je pourrais citer la source d'inspiration, mais elle est assez éloignée de ce problème. Maintenant, il est vrai que ça devient difficile de trouver une énigme qui n'existe pas quelque part sur Internet, et je ne peux pas passer mon temps à vérifier le risque de plagiat involontaire !

 #25 - 02-11-2017 14:55:18

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 765

Sutie de multiples

Pour [latex]p[/latex] nombre premier, on peut démontrer que le nombre de suites associées à [latex]n=p^r[/latex] est [latex]2^{r-1}[/latex] ([latex]r\geq 1[/latex]).

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