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 #1 - 23-06-2013 02:22:30

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

la suire des racines carrées

Bonsoir à tous,

Études obligent, cela faisait longtemps que je n'avais pas pris le temps de poster ! Il y a des noms qui me reviennent et des petits nouveaux, ça fait plaisir ! smile

Mes oraux approchent, et je suis en pleines révisions (même si immédiatement là, ça ne se voit pas). Mon prof de maths a distribué en guise d'entraînement un polycopié avec plus de 300 exercices de niveaux variés. Un problème de l'ENS a particulièrement retenu mon attention, de par son simplisme et sa forme attrayante. Voici l'énoncé :

___________________________________________

Etudier la suite [latex](x_n)[/latex] définie par :

[latex]x_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{ ... + \sqrt{n}}}}[/latex]

___________________________________________


Malgré toute ma bonne volonté, je n'ai pas réussi à trouver la réponse à ce problème. (bon en même temps, ça sort de l'ENS, ils n'ont pas pour réputation de poser des questions évidentes...) Je vous le propose donc ! Admettez, la forme de l'exercice tend quand même vers l'énigme. wink

En tout cas, bonne recherche ! Si vous trouvez la solution (ou même une bribe de solution, du genre démo du sens de variation, de l'existence d'une limite, etc.), croyez-moi, vous pourrez être satisfaits ! (Et puis, si vous pouvez m'expliquer aussi, je dis pas non !)

Alexein41



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 #2 - 23-06-2013 09:22:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

ma suite des racines carrées

Il ne fait aucun doute que ça converge (vers 1.75..) mais vers quelle valeur exactement ?....

 #3 - 23-06-2013 10:04:08

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

La suite des rracines carrées

J'ai passé plus d'une heure dessus, à essayer développer ou prendre le log ou l'exp des premiers termes, mais impossible de trouver. La suite converge, c'est évident après calcul des 5 ou 6 premiers termes sur Excel.

On trouve que lim = 1.757932...

Ce qui rappelle à 2% près racine(pi). Il doit y avoir une astuce à trouver. Soit on la voit, soit on ne la voit pas. C'est hard les oraux ENS.

 #4 - 23-06-2013 11:30:38

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

La suuite des racines carrées

On voit très facilement que la suite est croissante car [latex]n + \sqrt{n+1} \geq n[/latex] et l'on remonte de proche en proche toutes les racines...

 #5 - 23-06-2013 13:05:32

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

La suitte des racines carrées

nodgim : Effectivement la suite semble converger. Bon, normalement, à l'oral, on a pas le droit à la calculatrice. big_smile C'est la démonstration de cette convergence qui semble plus compliquée en effet. Remarque, en maths, on se satisfait souvent de la nature de la suite (convergence, divergence) et un peu moins de la valeur que peut prendre l'éventuelle limite (moi, je trouve ça dommage, c'est ça le plus intéressant !).

Nombrilist : j'ai tâtonné à peu près aux mêmes endroits que toi...

Spoiler : Deux idées que j'ai eues (qui n'aboutissent pas...)
J'avais pensé à exprimer [latex]n[/latex] en fonction de [latex]u_n[/latex], de [latex]1[/latex], de [latex]2[/latex], etc. en mettant plein de carrés partout pour tenter d'aboutir ensuite à une formule de récurrence en posant des suites intermédiaires : rien.

Sinon, écrire [latex]\sqrt{n} \le n[/latex], puis [latex]\sqrt{2n-1} \le 2n-1[/latex], etc., mais alors [latex]u_n[/latex] est majoré par quelque chose de non borné...


titoufred : validé pour la démonstration du sens de variation. L'idéal serait de montrer que la suite est majorée. Au vu de la valeur de la limite de la suite, montrer qu'elle est majorée par 2 ou 3 serait un bon point, mais là, je ne sais pas comment faire... hmm En plus, étant donné l'écriture de la suite, les démonstrations par récurrence s'avèrent difficiles, pour ne pas dire infaisables.

 #6 - 23-06-2013 13:43:33

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

La suite des rcaines carrées

On montre assez facilement par récurrence que la suite est majorée par 2

 #7 - 23-06-2013 14:03:19

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

La suite des racines carrése

titoufred : Bah au temps pour moi dans ce cas. Je vais essayer de chercher le "assez facilement" tongue

Spoiler : Autres idées...
Je lance des idées un peu au hasard au cas où ça ferait "tilt" chez quelqu'un !

Un développement limité peut éventuellement aider. Seulement, il faudrait l'appliquer à quelque chose qui tend vers 0 en factorisant correctement dans les racines (mais je n'arrive pas à montrer que la quantité factorisée tend vers 0).

Je me rappelle aussi que [latex](x_n)[/latex] converge si et seulement si [latex]\sum (x_{n+1} - x_n)[/latex] converge. A partir de là, peut-être faire un développement limité, ou une factorisation adéquate. Mais je ne trouve pas les bons ! mad

 #8 - 23-06-2013 15:13:56

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

La suite de racines carrées

Montrons que Un est majorée par 2 :

On considère d'abord pour commencer la suite suivante :
[TeX]u_1=\sqrt{n}[/TeX]
[TeX]u_{n+1}=\sqrt{n+u_{n}[/TeX]
Alors cette suite est minorée par [latex]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/latex] et majorée par [latex]\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}[/latex]

En réalité un peu de culture mathématiques permet de savoir que cette suite est majorée strictement par 2, tout simplement. En effet, d'après Ramanujan, on a
[TeX]n+2=\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)(n+4)}}[/TeX]
[TeX]=\sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)(n+5)}}}[/TeX]
Et caetera et donc en prenant n=0 on a,
[TeX]v_n=\sqrt{1+\sqrt{1+2*\sqrt{1+3*\sqrt{1+\text{...}+n*\sqrt{\text{...}}}}}}[/TeX]
Donc [latex]lim_{n \to \infty} u_n<lim_{n \to \infty} v_n=2[/latex]

D'où le résultat, [latex](u_n)[/latex] est une suite convergente.
Reste plus qu'à trouver sa limite.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #9 - 23-06-2013 15:17:44

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

La suit edes racines carrées

Il semble qu'on arrive à un nombre limite qui ressemble de plus en plus à ça :
c'est la liste des constantes en mathématique.

Mais bon, je ne comprends pas trop l'anglais qui va avec. big_smile

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-Capture.PNG

Et le lien qui va avec :
http://www.matheboard.de/archive/425256/thread.html

En gros, c'est similaire avec la définition du nombre d'or mais je ne comprends pas plus loin que ça.

Il y a ça aussi pour faire le lien entre les deux :
http://www.hermetic.ch/misc/tau/tau.htm

 #10 - 23-06-2013 15:56:28

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

La suiite des racines carrées

On montre par récurrence que [latex]x_n < 2[/latex]

Initialisation : [latex]x_1 = 1 < 2[/latex]

Hérédité : Soit [latex]n[/latex] tel que [latex]x_n < 2[/latex]. Alors
[TeX]\sqrt{2 + \sqrt{...\sqrt{k+\sqrt{...+\sqrt{n+1}}}}}[/TeX]
[TeX]\leq \sqrt{2 + \sqrt{...\sqrt{2^{2^{k-2}} (k-1)+\sqrt{...+\sqrt{2^{2^{n-1}} n}}}}} = \sqrt{2}x_n < 2\sqrt{2} [/TeX]
donc
[TeX]x_{n+1} < \sqrt{1+2\sqrt{2}} < 2[/TeX]
Ce qui prouve l'hérédité.

La suite est donc majorée par 2. La suite est croissante et majorée donc elle converge.

 #11 - 23-06-2013 16:49:05

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

a suite des racines carrées

shadock : Je ne suis pas sûr de savoir d'où vient l'encadrement de la suite que tu introduis, ni l'inégalité entre deux limites.. hmm Mais peut-être, je ne sais plus ! (En tout cas, je ne connaissais pas Ramanujan ! Je ne crois pas que ce soit au programme, mais peut-être que les propriétés de ce brave homme peuvent s'avérer utiles en effet !)

gwen27 : Le fait que cette constante soit notée ainsi (sans expression explicite du genre pi^(1/2)) indique qu'il ne faut pas chercher la limite de cette suite du coup. Ouf !

titoufred : L'idée est excellente. Un reproche cependant si je puis me permettre : la majoration que tu opères sur chacun des entiers est vraie, mais je ne crois pas qu'elle puisse permettre d'écrire l'égalité posée. Je t'envoie un MP.
Après ton edit, c'est maintenant parfait !

 #12 - 23-06-2013 17:15:15

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

La suite des racins carrées

Il y avait une erreur dans ma formule, qui est maintenant corrigée.

 #13 - 23-06-2013 17:29:55

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

La suite des arcines carrées

J'ai quelque chose d'intéressant là :

On va montrer que
[TeX]U_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\text{...}}}[/TeX]
[TeX]V_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{n-1+\sqrt{2n}}}}[/TeX]
Sont adjacentes :

On a, [latex]n<n+\sqrt{n+1}[/latex] ainsi [latex]U_n<U_{n+1}[/latex] car la fonction racine carrée est strictement croissante sur [latex]\mathbb{R_+}[/latex]

De plus, [latex]n-1+\sqrt{2n}=n-1+\sqrt{n+\sqrt{2(n+1)}} \iff n \ge 3[/latex]
En écrivant [latex]V_{n+1}[/latex] à partir de [latex]V_n[/latex] on s'aperçoit que [latex](V_n)[/latex] est décroissante à partir de [latex]n=3[/latex]

De manière évidente, il est clair que [latex]1 \le U_n \le V_n[/latex] et finalement de manière plus précise on a que,
[TeX]|V_n-U_n| \le \frac{n}{2^n}[/TeX]
Reste à voir ce que l'on peut faire avec smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 23-06-2013 18:04:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

La suite des raacines carrées

Bonsoir smile

Il y a un moyen "classique" de montrer la convergence de la suite . On considère la suite [latex]y_n[/latex] définie comme [latex]x_n[/latex] sauf que l'on remplace le dernier [latex]\sqrt{n}[/latex] par [latex]\sqrt{n-1+\sqrt{2n}[/latex] . Alors [latex]x_n[/latex] est clairement croissante et majorée par [latex]y_n[/latex] , de plus [latex]y_n[/latex] est décroissante à partir d'un certain rang : c'est fini .

Vasimolo

 #15 - 23-06-2013 18:07:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

La suite des raccines carrées

Si, je pense que ce nombre est une limite pour tout k, k étant la puissance à laquelle on élève les termes successifs 1 2 3 4 ....n.

(enfin , c'est ce que je comprends)

Pour k=0 , c'est le nombre d'or, pour k=1 le résultat  s'appelle nested radical constant

1.7579327566180045327088196382181385276531999221468377043
101355003851102326744467575723445540002594529709324718478
269567252864058677411085461154351167459748276498023843694
891204118420378764819958306445703457684673134175415134495
771732737209620221006032275541165980154075522976129445796
99112707719478877860007......

http://en.wikipedia.org/wiki/Tirukkanna … yaraghavan

Qui lui même vient de  :
http://mathworld.wolfram.com/Herschfeld … eorem.html

 #16 - 23-06-2013 18:59:02

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

La suite des racines crarées

titoufred : Eh bien oui, j'ai maintenant bien l'impression que c'est parfait !

shadock : C'est effectivement une possibilité ! Cependant, en lisant ta démonstration, je ne vois pas bien d'où sort la majoration de la valeur absolue de la différence de tes deux suites. Sinon, oui, je pense que l'exercice est terminé !

Vasimolo : A copié sur son voisin du dessus ? tongue C'est effectivement l'une des idées qui se défend !

gwen27 : Ce que je voulais dire, c'est que tout comme la constante d'Euler (par exemple), il est impossible d'exprimer ce 1,7579... en fonction d'autres constantes telles que e, ln(2), ou pi ; à la différence de la somme des inverses des k², qui donne pi²/6. Puisqu'on ne peut pas "l'écrire", il ne doit pas être demandé de trouver la valeur exacte de la limite.

Ce premier tour d'horizon de vos réponses m'indique que j'ai bien fait de ne pas passer les épreuves de l'ENS (big_smile). La méthode la plus naturelle me semble être celle de titoufred. Un oral dure 1h, et je ne sais pas s'il est possible en si peu de temps d'avoir l'idée d'introduire la suite que vous avez proposé, shadock et Vasimolo, pour pouvoir ensuite en déduire directement le résultat (enfin, si vous l'avez fait, vraiment, chapeau).

 #17 - 23-06-2013 19:12:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

la suite des racibes carrées

Tu proposes un classique , je te donne "la" solution classique mais il y en a beaucoup d'autres smile

Ce qu'on attend de toi à un oral c'est que tu mettes en œuvre tes connaissances avec originalité . Par expérience il me semble qu'il vaut mieux tomber sur un problème parfaitement inconnu car on ne peut pas être tenté de recracher l'archi-connu qui va lasser le jury .

Vasimolo

 #18 - 23-06-2013 19:36:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

La suite des racnes carrées

On cherche l'écart entre [latex]U_n[/latex] et [latex]V_n[/latex]
On calcul donc la différence suivante,
[TeX]V_n-U_n=\frac{V_n^2-U_n^2}{V_n+U_n}[/TeX][TeX]=\frac{\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2n}}-\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{n}}}{V_n+U_n}[/TeX][TeX]\le \frac{1}{2}*\left(\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2n}}-\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{n}}\right)[/TeX][TeX]\vdots[/TeX][TeX]\le \frac{1}{2^n}*(2n-n)[/TeX][TeX]\le \frac{n}{2^n}[/TeX]
D'où le résultat en passant à la limite.

Shadock wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 23-06-2013 20:25:51

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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ma suite des racines carrées

Vasimolo : ah ! je ne savais pas que c'était un problème classique... Pour l'originalité, je ferai comme je pourrai hein big_smile

shadock : okay okay, parfait ^^

 #20 - 23-06-2013 20:27:12

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

La suite des racine carrées

J'ai regardé un peu sur internet, il y a même un théorème pour le cas général. Un nom à consonance alsacienne. Mais je n'ai rien compris lol

 #21 - 23-06-2013 21:07:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

la suote des racines carrées

C'est vrai que le problème est un peu classique si je puis dire, nombreux sont les exercices sur les suites du type,

Montrer que [latex]\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2}}[/latex] converge vers une limite l que l'on déterminera. Connaissant cet exercice, on sait déjà que ta suite est convergente. Connaissant les suites de Ramanujan on peut se permettre sans rien démontrer pas mal de choses, et puis en ayant l'idée des suites adjacentes la réponse est quasi triviale.

PS : Il serait peut-être temps en deuxième année de savoir calculer une différence, non? tongue Je taquine smile

PPS : On pourrait poser une question subsidiaire, ou carrément même l'exercice lui même différemment pour corser (en réalité pas du tout) les choses, du genre,
Etudier la suite définie par [latex]U_n=ln(1+ln(2+\text{...}+ln(n)\text{...})[/latex]
La réponse est triviale connaissant le problème avec les racines, mais je te le laisse si tu veux t'amuser 10 minutes pas plus hein !!!

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 23-06-2013 22:02:47

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

la suite deq racines carrées

Nombrilist : content de voir que je ne suis pas le seul à avoir eu du mal avec ce problème ^^

shadock : Ah oui, mais j'ai été blasé quand tu as détaillé la solution... Bon, si je puis me permettre, ce n'est pas que du calcul, il faut trouver l'idée de la majoration, même si là, ça sautait un minimum aux yeux, j'admets ! Je sature d'ingurgiter des quantités depuis 2 ans, vivement la fin des oraux ! smile Je te soumets la réponse à ta question subsidiaire en MP !

 #23 - 23-06-2013 22:37:24

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

la suite des tacines carrées

Je n'admets pas de dire que le résultat est évident smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 23-06-2013 22:47:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

La uite des racines carrées

J'avoue être un peu surpris par l’accueil de ma réponse smile

On propose un problème dont on ne connait pas la réponse en acceptant toute idée de solution puis on fait la fine bouche sur les solutions proposées sad

D'ailleurs pourquoi présenter le problème en aveugle ?

Vasimolo

 #25 - 23-06-2013 23:05:26

Alexein41
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 119

la siite des racines carrées

Vasimolo : Je me suis mal exprimé, ta réponse est tout à fait valide, enfin pour moi, il n'y a rien à redire. Dans ma tête, j'aurais attendu une réponse qui soit trouvable en 1h, d'où les nuances dans mes précédentes réponses qui t'amènent à dire ça. Et pour moi, penser en 1h à poser de telles suites (et surtuot trouver les bonnes !) est un peu loin de mes capacités ! Sinon, j'avais caché les réponses pour que tout le monde puisse réfléchir. Enfin, si on veut réfléchir, on a juste à pas regarder en-dessous, remarque. Bon, je dé-cache !

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