"J'ai au moins 1 garçon" signifie "je n'ai pas 2 filles".

Du coup je dirai à nouveau 1/3 d'avoir 2 garçons...

Sans aucun a priori sur la composition de la famille de Prince (simplement sachant qu'il a deux enfants). La probabilité qu'en prenant un enfant au hasard, il montre un garçon est de $P(m1)=\frac{1}{2}$

C'est simplement la somme des probabilités d'en avoir deux ($\frac{1}{4}$) ou d'en avoir un ($\frac{1}{2}$) et de l'avoir choisi au hasard ($\frac{1}{2}$)

Ensuite, notre copain Bayes nous dit que:
$$P(X=2|m1) = \frac{P(m1|X=2)*P(X=2)}{P(m1)}$$
Avec X le nombre de garçon. La probabilité recherchée est donc de $\frac{1}{2}$

C'est sans doute juste, mais j'ai du mal à ramener le problème à quelque chose d'aussi simple.

Dans le deuxième problème, M. Prince a potentiellement un choix à faire pour répondre. Tandis que dans la première question, ce choix n'existe pas. Tu peux te référer à mon raisonnement mathématique ci-dessus pour t'en convaincre.

Salut
Petit raisonnement par l'absurde:à la question:"Indiquez-moi le genre de l'un de vos enfants".Seul le père de 2 garçons répond toujours:"un garçon".
S'il y a trois cas et comme les cas sont équiprobable il faut que les pères des enfants mixtes répondent toujours:"un garçon" pour avoir 1/3,donc les enfants mixtes sont composés de deux garçons.

Je reviens sur le cas suivant, proposé par Titoufred suite à une énigme de Princeleroi:

"Monsieur Prince a deux enfants.
Quelle est la probabilité que ses deux enfants soient des garçons quand on a:

Cas3 : Au moins un des deux enfants est un garçon qui s'appelle Jean-Luc."

J'ai répondu un peu vite que la particularisation entraînait une probabilité de 1/2 (et apparemment, la communauté mathématique s'accorde sur ce résultat d'après wikipédia). On va rester sur une hypothèse de sex-ratio 50/50.

Supposons qu'à chaque naissance de premier garçon qui ne s'appelle pas Nicolas, les parents lui attribuent le prénom Nicolas avec une probabilité a. En l'absence de toute autre information, cette hypothèse de distribution des prénoms me semble être la plus raisonnable (si vous avez mieux je prends). Il est également raisonnable de penser que deux frères ne peuvent pas avoir le même prénom. En tenant compte de l'ordre des naissances, on a donc les probabilités suivantes (en notant N Nicolas, F Fille, G garçon):
$$P(NF) = \frac12*a*\frac12 = \frac{a}4$$ $$P(FN) = \frac12*\frac12*a = \frac{a}4$$ $$P(NG) = \frac12*a*\frac12 = \frac{a}4$$ $$P(GN) = \frac12*(1-a)*\frac12*a = \frac{a*(1-a)}4$$
On a:
$$P(GG|N) = P(NG|N) + P(GN|N)$$ $$P(NG|N) = \frac{P(N|NG)*P(NG)}{P(N)} = \frac1{4-a}$$ $$P(GN|N) = \frac{P(N|GN)*P(GN)}{P(N)} = \frac{1-a}{4-a}$$
Finalement:
$$P(GG|N) = \frac{2-a}{4-a}$$
Conclusion: si l'on sait que Prince a deux enfants dont au moins un est un garçon dont on connaît le prénom, la probabilité que l'autre enfant soit un garçon est légèrement inférieure à 1/2, mais pas rigoureusement égale à 1/2. Plus le prénom est fréquent dans la population, plus P(GG|N) diminue. Moins, il est fréquent, et plus on se rapproche du 1/2. Si a vaut 1, alors on retrouve bien la probabilité de 1/3 du début (a = 1 revient à ne plus avoir de particularisation du tout).

Qu'en pensez-vous ?

Tu serais bien étonné des prénoms loufoques (pour ne pas dire autre chose) que certains parents donnent à leur enfant...

Y a des types, j'te jure