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 #26 - 01-08-2013 14:01:13

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Suite à carractère Fibonaccien.

La suite est une suite récurrente d'ordre 5.

On sait que [latex]u_n = \sum_{i=1}^5 \alpha_i x_i^n[/latex]
où les [latex]\alpha_i[/latex] sont des constantes et les [latex]x_i[/latex] sont les racines complexes du polynôme [latex]X^5-0,17X^4-0,19X^3-0,23X^2-0,3X-0,11[/latex].

1 est une racine évidente et les 4 autres racines sont complexes de modules strictement inférieurs à 1. Ceci prouve que la suite est convergente.

#0 Pub

 #27 - 01-08-2013 19:07:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Suit eà caractère Fibonaccien.

Tu utilises les mêmes arguments qu'Halloduda:)

Le calcul plutôt malin de Nodgim avec les récipients permet de calculer la limite sans passer par le calcul matriciel mais il ne permet pas de justifier l'existence de cette limite . On sait bien que dans ces suites le plus difficile est de montrer l'existence de la limite .

Vasimolo

 #28 - 01-08-2013 23:58:55

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

suite à caractèee fibonaccien.

Très beau !

J'ai eu quelques difficultés à comprendre le calcul de Q/M. Pour plus de clarté, à mon avis, tu devrais plutôt présenter la suite dans l'ordre des Un croissants :
M
(0.11+0.3+0.23+0.19)M
(0.11+0.3+0.23)M
(0.11+0.3)M
0.11M

Pour ce qui est de la réponse à la formule simplifiée, si je ne me suis pas planté, ça donne plutôt 51/3 = 17 !

Et merci pour cette astucieuse solution !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #29 - 02-08-2013 00:35:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Suiet à caractère Fibonaccien.

J'ai tendance à croire que l'argument "la somme des coefficients tous positifs est égale à un" n'est pas suffisant pour conclure à la convergence de la suite .

Quelqu'un aurait un contre-exemple à proposer ? Ou une idée qui me montre que j'ai tort .

Vasimolo

 #30 - 02-08-2013 01:04:17

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Suite à caarctère Fibonaccien.

Il faut montrer que la suite possède un point fixe attractif, en utilisant le théorème du point fixe, je ne lui connais pas de petit nom, ce n'est pas chose facile, mais c'est une condition nécessaire me semble t-il smile

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #31 - 02-08-2013 02:24:48

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Suiet à caractère Fibonaccien.

Je ne comprends rien aux démonstrations de gwen et nodgim. Notamment sur la preuve de convergence.

Mais pour le calcul de la limite, ça colle bien avec l'exemple simplifié où l'on prouve que ça converge vers 17.

EDIT : Ok, je viens de comprendre le calcul de limite. On montre que la suite définie par
[TeX]v_n = 0,11u_{n-5} + 0,41u_{n-4} + 0,64u_{n-3} + 0,83u_{n-2} + u_{n-1}[/latex] pour [latex]n \geq 6[/TeX]
est constante. Très ingénieux !

 #32 - 02-08-2013 09:27:29

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite à caractère FFibonaccien.

Pour le cas général que j'ai évoqué, je dois préciser que je n'ai envisagé que des coefficients positifs.
Je ne comprends pas bien la réserve sur la preuve de l'unicité de la limite, si tant est qu'il est admis qu'il n'y en a au plus que 2, une limite sup et une limite inf: l'algorithme à 2 limites n'est pas stable lorsque ces limites sont atteintes.

 #33 - 02-08-2013 14:35:32

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

suite à caractère gibonaccien.

Voici une démonstration de la convergence qui peut s'adapter dans le cas général où on a des coeffs > 0 dont la somme est <= à 1. Ce n'est pas hyper détaillé mais je peux éclaircir certains points.
[TeX]u_n=0,17 u_{n-1}+0.19 u_{n-2} + 0,23 u_{n-3} + 0,3 u_{n-4} + 0,11 u_{n-5}[/TeX]
donc
[TeX]u_{n+1}=0,17 (0,17 u_{n-1}+0.19 u_{n-2} + 0,23 u_{n-3} + 0,3 u_{n-4}[/TeX]
[TeX]+ 0,11u_{n-5})+0.19 u_{n-1} + 0,23 u_{n-2} + 0,3 u_{n-3} + 0,11u_{n-4}[/TeX]
donc [latex]u_{n+1}=0,2189 u_{n-1} + 0,2623 u_{n-2} + 0,3391 u_{n-3}[/latex]
[TeX]+ 0,161 u_{n-4} + 0,0187 u_{n-5}[/TeX]
De même, on montre que
[TeX]u_{n+2}=0,299513 u_{n-1} + 0,380691 u_{n-2} + 0,211347 u_{n-3}[/TeX]
[TeX]+ 0,08437 u_{n-4} + 0,024079 u_{n-5}[/TeX]
etc...
[TeX]u_{n+4}=0,3416278657 u_{n-1} + ... + 0,0474769031 u_{n-5}[/TeX]
Ce qui est important, c'est que tous les coeffs sont strictement positifs et leur somme vaut 1. On note [latex]K[/latex] le minimum de ces 25 coeffs qui apparaissent dans les 5 égalités de [latex]u_{n}[/latex] à [latex]u_{n+4}[/latex].

On note [latex]\underline{u_n} = min\{u_k, k\geq n-5\}[/latex], [latex]\overline{u_n} = max\{u_k, k\geq n-5\}[/latex]. Ces suites sont respectivement croissantes et décroissantes et leurs limites vont fournir ce qu'on appelle [latex]\underline{\lim} u_n[/latex] et [latex]\overline{\lim} u_n[/latex]. Le but est de démontrer que ces deux limites sont finies et égales.

Tout d'abord, on montre facilement que [latex]\underline{u_n} = min\{u_{n-1}, ..., u_{n-5}\}[/latex] et [latex]\overline{u_n} = max\{u_{n-1}, ..., u_{n-5}\}[/latex]. (En particulier, cela montre que [latex]\underline{\lim} u_n[/latex] et [latex]\overline{\lim} u_n[/latex] sont finies).

On note [latex]\delta_n = \overline{u_n} -\underline{u_n}[/latex].
[latex](\delta_n)[/latex]  est une suite décroissante, le but est de prouver qu'elle tend vers 0.

Pour [latex]i[/latex] compris dans [latex]\{n, ..., n+4\}[/latex], on a [latex]\underline{u_n} + K \delta_n \leq u_i \leq \overline{u_n} - K \delta_n[/latex].

Ceci implique que [latex]\delta_{n+5} \leq (1-2K)\delta_n[/latex]. On en déduit facilement que la suite [latex](\delta_n)[/latex] tend vers 0.

Par conséquent, [latex]\underline{\lim} u_n[/latex] et [latex]\overline{\lim} u_n[/latex] sont égales. La suite [latex](u_n)[/latex] est donc convergente.

 #34 - 04-08-2013 00:06:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Suite à caractère Fibnoaccien.

En effet Titou , il y a bien convergence et il est clair que prouver l'existence de la limite dépasse le programme des lycées smile

En fait ce problème renvoie aux suites récurrentes linéaires , copieusement étudiées dans la littérature , mais choisir des coefficients positifs de somme 1 simplifie pas mal le problème . En général le domaine de résolution est celui de l'algèbre linéaire même si j'ai pas mal confiance en une interprétation barycentrique comme le signalait Fix33 .

En tout cas la limite est le barycentre des premiers points affectés de coefficients obtenus en sommant les coefficients initiaux . Il reste à expliquer pourquoi ce barycentre est suffisamment attractif .

Vasimolo

 #35 - 04-08-2013 11:59:36

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Suite à caractèree Fibonaccien.

titoufred, merci d'utiliser la fonction de prévisualisation et de couper les formules les plus longues sur deux ou trois lignes pour éviter de "déborder" !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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