Tu utilises les mêmes arguments qu'Halloduda:)

Le calcul plutôt malin de Nodgim avec les récipients permet de calculer la limite sans passer par le calcul matriciel mais il ne permet pas de justifier l'existence de cette limite . On sait bien que dans ces suites le plus difficile est de montrer l'existence de la limite .

Vasimolo

J'ai tendance à croire que l'argument "la somme des coefficients tous positifs est égale à un" n'est pas suffisant pour conclure à la convergence de la suite .

Quelqu'un aurait un contre-exemple à proposer ? Ou une idée qui me montre que j'ai tort .

Vasimolo

Je ne comprends rien aux démonstrations de gwen et nodgim. Notamment sur la preuve de convergence.

Mais pour le calcul de la limite, ça colle bien avec l'exemple simplifié où l'on prouve que ça converge vers 17.

EDIT : Ok, je viens de comprendre le calcul de limite. On montre que la suite définie par
[TeX]v_n = 0,11u_{n-5} + 0,41u_{n-4} + 0,64u_{n-3} + 0,83u_{n-2} + u_{n-1}[/latex] pour [latex]n \geq 6[/TeX]
est constante. Très ingénieux !

Voici une démonstration de la convergence qui peut s'adapter dans le cas général où on a des coeffs > 0 dont la somme est <= à 1. Ce n'est pas hyper détaillé mais je peux éclaircir certains points.
[TeX]u_n=0,17 u_{n-1}+0.19 u_{n-2} + 0,23 u_{n-3} + 0,3 u_{n-4} + 0,11 u_{n-5}[/TeX]
donc
[TeX]u_{n+1}=0,17 (0,17 u_{n-1}+0.19 u_{n-2} + 0,23 u_{n-3} + 0,3 u_{n-4}[/TeX]
[TeX]+ 0,11u_{n-5})+0.19 u_{n-1} + 0,23 u_{n-2} + 0,3 u_{n-3} + 0,11u_{n-4}[/TeX]
donc [latex]u_{n+1}=0,2189 u_{n-1} + 0,2623 u_{n-2} + 0,3391 u_{n-3}[/latex]
[TeX]+ 0,161 u_{n-4} + 0,0187 u_{n-5}[/TeX]
De même, on montre que
[TeX]u_{n+2}=0,299513 u_{n-1} + 0,380691 u_{n-2} + 0,211347 u_{n-3}[/TeX]
[TeX]+ 0,08437 u_{n-4} + 0,024079 u_{n-5}[/TeX]
etc...
[TeX]u_{n+4}=0,3416278657 u_{n-1} + ... + 0,0474769031 u_{n-5}[/TeX]
Ce qui est important, c'est que tous les coeffs sont strictement positifs et leur somme vaut 1. On note [latex]K[/latex] le minimum de ces 25 coeffs qui apparaissent dans les 5 égalités de [latex]u_{n}[/latex] à [latex]u_{n+4}[/latex].

On note [latex]\underline{u_n} = min\{u_k, k\geq n-5\}[/latex], [latex]\overline{u_n} = max\{u_k, k\geq n-5\}[/latex]. Ces suites sont respectivement croissantes et décroissantes et leurs limites vont fournir ce qu'on appelle [latex]\underline{\lim} u_n[/latex] et [latex]\overline{\lim} u_n[/latex]. Le but est de démontrer que ces deux limites sont finies et égales.

Tout d'abord, on montre facilement que [latex]\underline{u_n} = min\{u_{n-1}, ..., u_{n-5}\}[/latex] et [latex]\overline{u_n} = max\{u_{n-1}, ..., u_{n-5}\}[/latex]. (En particulier, cela montre que [latex]\underline{\lim} u_n[/latex] et [latex]\overline{\lim} u_n[/latex] sont finies).

On note [latex]\delta_n = \overline{u_n} -\underline{u_n}[/latex].
[latex](\delta_n)[/latex]  est une suite décroissante, le but est de prouver qu'elle tend vers 0.

Pour [latex]i[/latex] compris dans [latex]\{n, ..., n+4\}[/latex], on a [latex]\underline{u_n} + K \delta_n \leq u_i \leq \overline{u_n} - K \delta_n[/latex].

Ceci implique que [latex]\delta_{n+5} \leq (1-2K)\delta_n[/latex]. On en déduit facilement que la suite [latex](\delta_n)[/latex] tend vers 0.

Par conséquent, [latex]\underline{\lim} u_n[/latex] et [latex]\overline{\lim} u_n[/latex] sont égales. La suite [latex](u_n)[/latex] est donc convergente.

titoufred, merci d'utiliser la fonction de prévisualisation et de couper les formules les plus longues sur deux ou trois lignes pour éviter de "déborder" !