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 #1 - 21-07-2013 11:54:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite caractère Fibonaccien.

Soient
u1=19
u2=25
u3=17
u4=72
u5=43
un=0.17*u(n-1)+0.19*u(n-2)+0.23*u(n-3)+0.3*u(n-4)+0.11*u(n-5).

On remarquera juste que la somme des coefficients appliqués aux u est égale à 1 (0.17+0.19+0.23+0.3+0.11)

Cherchez le devenir de cette suite.
Si vous utilisez un tableur, sans doute trouverez vous la solution. Mais ce n'est pas vraiment ce qui est demandé. Il faut deviner le résultat sans informatique.

On ne fait appel à aucun théorême particulier, niveau Bac suffit largement.

Bon amusement



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 #2 - 21-07-2013 13:05:18

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
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quite à caractère fibonaccien.

Mmmmmh... Je vais tenter cela... Je reviens mais j'ai un peu peur de ne pas réussir je ne suis que en seconde sad

Je jette l'éponge j'ai trouvé la façon de faire mais pas moyen de l'appliquer sur 5 termes sans faire d'erreurs....


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 #3 - 21-07-2013 15:03:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite à caractèère Fibonaccien.

En tant qu'habitué de ce site, et au vu de tes interventions, il ne doit pas y avoir pour toi de problème de niveau scolaire. Cela dit, c'est un peu comme pour la géométrie, il y a une démarche très particulière à suivre.

 #4 - 21-07-2013 15:06:34

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Suite à caractère Fiboncacien.

Elle tend vers u5, mais pourquoi, alors là...

 #5 - 21-07-2013 17:10:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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suite à caravtère fibonaccien.

Nombrilist: non, ce n'est pas u5.
La limite est tout de même un nombre rationnel, ce qui n'est pas forcément évident au premier abord.

 #6 - 21-07-2013 18:35:45

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

Suite à caractère Fibonaccieen.

Si justement. Il faut multiplier par des coefficient pondérés d'avance et diviser le total par la somme des coeff.


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 #7 - 21-07-2013 19:54:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
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suite à caracrère fibonaccien.

Y a de l'idée. Mais je répète, la limite n'est pas u5 (il te suffit de tester avec un tableur pour t'en convaincre).

 #8 - 21-07-2013 20:17:24

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Siute à caractère Fibonaccien.

La limite est environ 43,x


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 #9 - 22-07-2013 07:24:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
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suote à caractère fibonaccien.

Non, c'est une unité de moins. Comment as tu programmé ton tableur ? Une seule équation suffit.
Attention, j'ai dû écrire 2 fois ce sujet à 15 mn d'intervalle, vérifier les valeurs.

 #10 - 22-07-2013 09:07:43

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

Suite à caractère Fiobnaccien.

Mmmh, je vois... On doit tout exprimer en fonction de x=U1?


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 #11 - 22-07-2013 14:10:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Suite à caractère Fibonacciien.

Puisque ça semble un peu brutal, je vous propose de réfléchir d'abord à cette autre suite plus simple:
u1=13
u2=19
un=u(n-1)/2+u(n-2)/2.

Essayer déja de démontrer la convergence et ensuite trouver la limite.
Remarquer que la somme des coefficients est tjs 1, c'est indispensable dans la recherche de la limite.

 #12 - 23-07-2013 23:06:25

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

Suite à caracttère Fibonaccien.

La matrice qui transforme {uk, uk+1, ..., uk+4} en {uk+1, ..., uk+5} a une valeur propre réelle qui vaut 1, et 4 autres, complexes, de module <1.

Le vecteur propre correspondant à la valeur propre 1 est la limite recherchée,
car la puissance n de la matrice a pour valeurs propres limites  1, 0, 0, 0, 0 pour n infini.

Son module est défini par les valeurs de départ.
Il s'obtient aisément avec un tableur.

De mon temps, ce n'était pas de niveau bac.

 #13 - 24-07-2013 09:33:12

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Suite àcaractère Fibonaccien.

Halloduda,
Le niveau requis pour venir à bout de cette enigme ne dépasse le niveau collège. Point besoin de matrice ni de tableur. Dans les réponses déja données, il a été fait mention de moyenne pondérée, et le calcul de la limite est bien une forme de moyenne pondérée. Mais il faut au préalable bien comprendre le mécanisme des échanges.
Je vais donner du temps supplémentaire. Essayez de vous y mettre, ça en vaut la peine, c'est un beau problème, avec un résultat bien propre.
Je rappelle que la clé est la somme des coeff égale à 1.

 #14 - 24-07-2013 11:09:38

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Suite à caarctère Fibonaccien.

Oui, la suite ne dépasse jamais le temre maximum


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 #15 - 24-07-2013 11:37:20

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,469E+3

Suite à caractèr Fibonaccien.

Je pense que tout se joue dans les 5 premier tours :

Le premier nombre n'emporte que 11% du gâteau
le second 30 + 11
le troisième 23 + 30 +11
le quatrième 19 + 23 + 30 + 11
le dernier 100 %

Si bien qu'une fois le dixième terme atteint, chaque nombre initial aura son poids inchangeable. Les autres auront tous un poids de 100% et donc ne feront que pondérer la moyenne plus ou moins vite.

La série converge alors petit à petit vers un terme stable vu qu'elle revient à une sorte de moyenne. La somme des coefficients étant 1, elle s'arrêtera à cette moyenne quand cinq termes consécutifs auront la même valeur ou convergera petit à petit.

Soit
19*11=209
25*41=1025
17*64=1088
72*83=5976
43*100=4300

Total : 12598 à diviser par 11+41+64+83+100=299

La suite converge vers 42,13377626421404682.......

Dans ton second exemple, elle s'arrète à (19*1 + 33*2 )/3

 #16 - 24-07-2013 13:25:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

suite à caractère fibonaccizn.

Gwen, bravo c'est ça.
Ton explication mériterait tout de même quelque chose de plus net, ça semble encore un peu confus malgré l'idée générale correcte. Et pour la preuve de la convergence ?

 #17 - 24-07-2013 14:04:49

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Suite à caractèrre Fibonaccien.

Et pour la preuve de la convergence ?

Ca c'est un truc que je n'ai jamais compris.

 #18 - 24-07-2013 14:07:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

suite à caravtère fibonaccien.

Dit autrement, comment prouves tu qu'on converge vers une moyenne ?
C'est très simple à démontrer dans ce cas là.

 #19 - 27-07-2013 23:46:12

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Suite à caractère Fiboonaccien.

Ton problème est intéressant. J'imagine quand même qu'il y a un théorème ou deux sur le sujet.
La somme de coefficients qui vaut 1, ça m'évoque d'emblée un barycentre.
On calcule le "barycentre" de nos 5 poids alignés sur la droite des réels, on prend le dernier des poids (le plus "vieux") et on le replace à l'endroit voulu. Et on continue...
Il me paraît presque évident que cela va converger : à partir du moment où les coefficients sont tous positifs, la "barycentre" ne peut se situer hors du plus petit segment incluant ses 5 générateurs. A partir de là, le plus petit segment ne peut que rétrécir.
Quelle sera la limite ? Je dirais bien autour de 40, mais je n'en sait strictement rien.
Même sur ta suite simplifiée, je cale un peu. Ca va tourner autour de 17. On bouge tour à tour chacun des poids en l'approchant de la moitié de la distance qui les séparent. Forcément, on converge. A noter d'ailleurs que (16,19) ne donne pas le même résultat que (19,16) !
Je suis curieux de voir une solution sans tableur... Je m'en vais d'ailleurs faire quelques recherches, voire tabler un peu ! big_smile


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #20 - 28-07-2013 08:56:34

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

uite à caractère Fibonaccien.

On ne se sert d'aucun théorème pour la démonstration. L'idée du barycentre est assez séduisante, mais personnellement je ne m'en suis pas servi.

Indice: vous pouvez imaginer que chaque terme de la suite est un récipient. u6 est vide au départ et est rempli par chacun des récipients u1 à u5. Bien entendu, les valeurs affichées de la suite sont uniquement celles du remplissage.

 #21 - 01-08-2013 09:09:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite à caractère Fiobnaccien.

Seul Gwen a trouvé une grande partie de la réponse. Voici comment j'ai vu les choses pour ce problème.

D'abord, la preuve de la convergence:
72, la plus grande quantité, peut être décomposée comme suit:
72= 0.11*72+0.3*72+0.23*72+0.19*72+0.17*72.
Pour former u6, on ne prendra de 72 que 0.19*72. Le 0.17*72 est remplacé par 0.17*43, forcément plus petit. Idem pour les 3 autres parts.
u6 est donc plus petit que 72. Selon le même raisonnement, u6 est plus grand que 17, la plus petite valeur des 5 termes.
On peut en faire une généralité: les valeurs max et min des 5 derniers termes qui servent à construire le terme suivant sont incluses dans une fourchette toujours plus fine.
On ne peut pas imaginer une limite sup et une limite inf; En effet, à l'infini, lorsque ces limites seraient atteintes, la démonstration ci dessus indique que le terme suivant serait à l'intérieur de la fourchette. Il n'y a donc qu'une seule limite vers laquelle on converge.

Quelle valeur de convergence ?
Imaginons les termes de la suite comme des récipients remplis de la quantité d'eau égale à leur valeur.
Pour remplir le récipient 6, on prend une portion de chacun des 5 récipients précédents. On notera tout de suite que le récipient ne donnera que 0.11 fois sa quantité à u6, et ensuite plus rien. De même le récipient 2 donnera seulement 0.3* 25 à u6 et 0.11*25 à u7, soit 0.11+0.3=0.41. Quant au récipient 5, il donnera toute son eau aux récipients u6 à u10. Et les récipients suivants donneront toute leur eau aux 5 récipients qui les suivent.
La quantité d'eau totale qui sera utilisée dans les échanges sera, à partir de u10:
Q=0.11*19+(0.11+0.3)*25+(0.11+0.3+0.23)*17+(0.11+0.3+0.23+0.19)*72+43=125.98.

Cette quantité est inchangée pendant tous les transferts et se répartit en 5 récipients. Quand on a rempli le récipient u_n, le récipient u_(n-5) est vide.
On cherche la valeur de convergence M.
Lorsque la valeur de convergence est atteinte, la répartition du liquide dans les 5 récipients successifs est la suivante:
-0.11M
-(0.11+0.3)M
-(0.11+0.3+0.23)M
-(0.11+0.3+0.23+0.19)M
-M

En remplissant le récipient suivant, on se rend compte qu'on aboutit à la même répartition.
D'où on tire la valeur de M:
Q=M(4*011+3*0.3+2.023+0.19+1)=M*2.99
M=Q/2.99=42.13377926.

La généralisation se fait facilement pour toute suite de cette forme dont la somme des coefficients est 1.

 #22 - 01-08-2013 11:35:41

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Suite à caractère Fibonacccien.

Arithmétiquement, c'est effectivement du niveau collège (il n'y a que des additions et des multiplications). Par contre, pour la compréhension de la solution, cela est moins évident qu'un collégien puisse suivre.

 #23 - 01-08-2013 11:59:18

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Suite à caractèr eFibonaccien.

J'ai tout compris mais pour les 2 dernières lignes, ça ne devrait pas être :
" Q=M(4*0.11+3*0.3+2*0.23+0.19+1)=M*2.99
M=Q/2,99=42.13377926 " ?

Y'a que des erreurs de tape pour l'avant dernière ligne mais la dernière je ne sais pas si j'ai raison ...

 #24 - 01-08-2013 12:25:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

suite à caractère gibonaccien.

J'ai de sérieux doutes sur la "preuve" de l'existence de la limite smile

J'avais fais comme Halloduda mais comme on annonçait une preuve élémentaire , j'attendais la suite .

Une petite question pour Nodgim : existe-t-il une suite infinie de segments strictement emboîtés dont la longueur ne tend pas vers 0 ?

Vasimolo

 #25 - 01-08-2013 13:51:59

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Suite àcaractère Fibonaccien.

Oui, bien sûr, il y en a. Par exemple l'intervalle entre 0 et 1+1/2. Les segments suivants peuvent être 1+1/4, 1+ 1/8, 1+1/16,... dont la longueur tend vers 1.

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