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 #1 - 14-06-2009 00:55:40

salehseghiri
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 40

Un suite 122333444455555...

on a le nombre
a=122333444455555...910101010101010101010111111...
Dans la suite de chiffres 122333444455555..., chaque entier est écrit autant de fois que sa valeur.

Quel est le 20009 ème chiffre?



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 #2 - 14-06-2009 01:32:56

£@rT!(h@uD
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 3

unr suite 122333444455555...

Moi je dis un "8" !

 #3 - 14-06-2009 12:32:33

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Une suite 12233344455555...

pour les nombres de 1 à 9 :il y a 9*10/2=45 chiffres donc il reste 20009-45 chiffres=19964 chiffres
pour les nombres entre 10 et 99: Il y a 2*(100*99/2-45)=9810 il reste 10154
chiffres
pour les nombres entre 100 et 200: Il y a 3*(201*200/2-100*99/2)=45450 chiffres donc c'est entre 100 et 200
pour les nombres entre 100 et 110: Il y a 3*(110*111/2-100*99/2)=2310 donc il reste 7844 chiffres
pour les nombres entre 111  et 120:Il y a 3*(120*121/2-110*111/2)=3465
donc il reste 4379 chiffres
pour les nombres entre 121  et 130: il y a 3*(130*131/2-120*121/2)=3765
donc il reste 614 chiffres
pour le nombre 131 il y a 393 chiffres donc il reste 221 chiffres
donc le chiffre est un des chiffres du nombre 132

puis que le reste de la division euclidienne entre 221 et 3 est 2 alors le chiffre est 3 si je ne me suis pas trompé dans les calculs

 #4 - 14-06-2009 13:52:11

kobalt1954
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 6

Une suite 12233344455555...

deux

 #5 - 14-06-2009 14:33:42

celina58
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 566

Une sutie 122333444455555...

la 109ème fois que le chiffre 200 est inscrit

 #6 - 14-06-2009 17:19:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Une suite 12333444455555...

Ouhlà, on va faire étape par étape pour celle-là...

Les nombres de 1 à 9 occupent les 45 premières places car
[TeX]\sum_{i=1}^{9} i = \frac{9\times(9+1)}{2}=45[/TeX]
Les nombres à deux chiffres (de 10 à 99) occupent
[TeX]2 \times \sum_{i=10}^{99} i = 2 \times (\frac{99*100}{2} - 45) = 2 \times (4950 - 45) = 9810[/TeX]
Nous en sommes déjà à 9855 chiffres.

On rajoute des nombres à trois chiffres : 100 occupera 300 chiffres, 101 en occupera 303, etc. Cherchons le plus petit N tel que :
[TeX]9810 + 3 \sum_{i=100}^{N} i > 20009[/TeX]
On obtient 129. Si on place tous les 128, on obtient un nombre à 19728 chiffres, et les suivants jusqu'au 200009ième (jusqu'au 20115ième, même) sont les chiffres de 129. 20009-19728 = 281, et le 281ième chiffre de la suite 129129129... est un 2 (car 281 est congru à 2 modulo 3, donc on garde le deuxième chiffre).

Encore une fois, aux erreurs de calcul près...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 15-06-2009 09:12:25

zohum
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 881

ine suite 122333444455555...

le 9 de 39

 #8 - 15-06-2009 15:45:11

katsushi
Visiteur

Une suiet 122333444455555...

9

 #9 - 15-06-2009 23:17:20

adn237
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 17

Une suite 122333444455555..

Ben d'abord je me suis intéressé à savoir quel nombre on était en train d'écrire au 20 009 ème chiffre. Donc j'ai calculé le nombre de chiffres qu'il fallait écrire pour arriver à ce fameux N qu'on cherche.

Donc de 1 à 9, on a utilisé 45 chiffres.
Ensuite, de 10 à 99, comme ce sont des nombres à deux chiffres, on a utilisé 2*10 + 2*11 + ... +2*99 chiffres soit 2*(10+11+...+99). Avec la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique, j'ai donc trouvé 9810 chiffres pour les écrire de 10 à 99 (chaque nombre étant toujours écris autant de fois que sa valeur). Donc pour écrire de 1 à 99, j'ai utilisé 9855 chiffres.

On voit donc que c'est inférieur à 20 009, donc notre fameux N sera un nombre à 3 chiffres. Pour les nombres à 3 chiffres, de 100 à N, on a utilisé :
3*100+3*101+...+3*N chiffres, soit 3*(100+101+...+N). Donc si on appelle A cette expression, on a A = 3*(100+101+...+N)= 3*(1+2+...+N) - 3*(1+2+...+99) = (3/2)*(N)(N+1) - 14850 (j'aurais pu le faire directement avec 3*(100+101+...+N) mais c'était + galère pour après)


Donc pour écrire les nombres de 1 à N il faut (3/2)*(N)(N+1) - 14850 + 9855 chiffres. Or nous on veut 20 009 chiffres. On résout donc l'équation :

(3/2)*(N)(N+1) - 4995 = 20 009

C'est une équation du second degré et nous ya que la solution positive qui nous intéresse et on trouve N=128.61....

En appliquant la formule, on trouve que jusqu'au nombre 128, il a fallu écrire 19 773 chiffres. On est donc, au 20 009ème chiffre, en train d'écrire la séquence des 129 !!!

Ensuite, on remarque que 20 009 - 19 773 = 236. et 236/3=78.66666
Donc en écrivant 78 fois les nombre 129 (après avoir écris les 19773 autres chiffres), on a écrit 20 007 chiffres !!! il suffit donc d'entamer l'écriture du 79ème 129 et le 20 009 ème chiffre est donc un 2.

 #10 - 16-06-2009 17:13:36

eglantine52
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 641

une suiye 122333444455555...

Le 20009 chiffre est le chiffre : 9


Chaque coup de colère est un coup de vieux, chaque sourire est un coup de jeune!

 #11 - 16-06-2009 17:24:00

salehseghiri
Habitué de Prise2Tete
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