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 #26 - 01-09-2013 11:51:47

lol37
Passionné de Prise2Tete
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Equations fonctionnnelles

pas n'importe quel courbe bien evidemment, sinon ce ne serait pas toujours le graphe d'une fonction, mais il faut faire en sorte que oui
intuitivement ce serait le cas seulement des fonctions strictement décroissantes.
j'édite donc mon précédent post.

#0 Pub

 #27 - 01-09-2013 14:07:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Equations fonctionnelels

Peut-on tracer n'importe quelle fonction décroissante ?

 #28 - 01-09-2013 14:24:20

lol37
Passionné de Prise2Tete
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Equatoins fonctionnelles

c'est une très bonne question, pour y répondre il faut savoir exactement ce qu'est une fonction décroissante ( ou croissante qu'importe ) sur un intervalle
je vais te répondre par une autre question : une fonction monotone sur un intervalle est elle nécessairement dérivable ?

 #29 - 01-09-2013 15:08:18

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Equatiions fonctionnelles

Evidemment que non !
Il y a des monotones non continues, des monotones continues non dérivables, et des monotones continues dérivables. roll


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #30 - 01-09-2013 15:09:37

lol37
Passionné de Prise2Tete
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equations donctionnelles

Tu as des exemples pour chaque ?

 #31 - 01-09-2013 15:10:17

Klimrod
Elite de Prise2Tete
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Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Equations fonctionenlles

Pffff.... roll
Il faut vraiment que j'aille chercher mes cours ? Ou que je fouille sur Internet ?


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #32 - 01-09-2013 15:11:25

lol37
Passionné de Prise2Tete
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Equtaions fonctionnelles

ouais je te taquine, mais c'est pour répondre à la question de titoufred
pour les monotones continues dérivables je pense qu'on a pas besoin de donner des exemples..

 #33 - 01-09-2013 16:20:26

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Equations fontionnelles

Bien évidemment, la fonction doit être continue comme demandé ça va sans dire (on se fiche de la dérivabilité ici), ce n'était pas le sens de la question.

Ce que je voulais que tu précises, c'est à quelles conditions on obtient une courbe de fonction lorsqu'on fait la symétrie par rapport à la première bissectrice. Il faut non seulement que ce que tu traces à droite représente une fonction strictement décroissante, ça tu l'as bien vu, mais de plus, quelle doit être la limite en [latex]+\infty[/latex] ?

 #34 - 01-09-2013 16:31:09

lol37
Passionné de Prise2Tete
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zquations fonctionnelles

Si elle est finie la fonction ne sera pas définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex] entier.
Il y aura alors une asymptote horizontale, disons dans le premier quadrant ou celui d'en dessous en y = l avec l ta limite, et une asymptote verticale dans un quadrant déterminé en x = l...
ce genre de fonction sera donc définie sur [latex]]l,+\infty[[/latex].
par continuité et monotonéité ( ca se dit ? ) ta fonction dite doit nécessairement avoir une limite ( qu'elle soit finie ou infinie )
mis à part ca effectivement la fonction a seulement besoin d'être continue et strictement décroissante.
Pour la dérivabilité c'est crucial pour pouvoir savoir la tracer, il existe des courbes qui ressemblent à des fractales de manière à ce que la fonction varie infiniment avec une variation aussi petite que l'on veut de la dite variable. ( et donc impossible de tracer leur graphe convenablement ).

 #35 - 01-09-2013 19:21:17

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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Equations onctionnelles

Donc finalement les solutions continues de l'équation fonctionnelle [latex]f(f(x))=x[/latex] sont

1) [latex]f(x) = x[/latex]

2) Les fonctions [latex]f[/latex] définies par
[TeX]f(x) = g(x)[/latex] si [latex]x \in [a;+\infty[[/TeX][TeX]f(x) = g^{-1}(x)[/latex] si [latex]x \in ]-\infty;a][/TeX]
où [latex]a \in \mathbb{R}[/latex] et [latex]g[/latex] est une bijection continue (strictement décroissante) de [latex][a;+\infty[[/latex] dans [latex]]-\infty;a][/latex].

 #36 - 01-09-2013 20:25:57

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Equtaions fonctionnelles

Il y a aussi :
[TeX]f(x) = -x[/latex],
[latex]g(x) = {1\over x}[/latex] si [latex]x\neq 0[/latex] et [latex]0[/latex] sinon
[latex]h(x) = -g(x)[/TeX]


Il y a sûrement plus simple.

 #37 - 01-09-2013 20:48:25

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Euqations fonctionnelles

cogito a écrit:

Il y a aussi :

[latex]f(x) = -x[/latex],
[latex]g(x) = {1\over x}[/latex] si [latex]x\neq 0[/latex] et [latex]0[/latex] sinon
[latex]h(x) = -g(x)[/latex]

f est de la deuxième forme évoquée par titoufred, avec a=0. g et h, non, par contre (ou alors j'ai raté un truc...)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #38 - 02-09-2013 00:16:53

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

equations fonctoonnelles

g et h ne sont pas continues. Donc, elles ne répondent pas à la question de Titoufred.

 #39 - 02-09-2013 09:52:53

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Equations fonctionnells

Est-ce que les fonctions données dans le 2) de la réponse de Titoufred sont forcément continues ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #40 - 02-09-2013 10:42:06

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

eqyations fonctionnelles

Là tu m'en demandes trop lol. Vu le ton de la question, je dirais non ? Ce que je voulais dire - et si je comprends bien le post de Titou - c'est que les fonctions g et h ne sont pas des fonctions continues. Elles ne sont donc pas recherchées par Titoufred. Et donc, il n'est pas nécessaire qu'elles vérifient (2) pour répondre à la question initiale (trouver des f telles que fof=f).

 #41 - 02-09-2013 10:55:27

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

Equations foncctionnelles

Elles sont par contre continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition !
en généralisant toutes les fonctions f définies par [latex]f(x) =\frac{1}{x-a}+a[/latex] ( pour tout x différent de a ) sont des involutions sur chaque intervalle de leur domaine de définition
donc effectivement MthS-MlndN, la fonction ne doit pas être nécessairement continue tout partout, juste que ca soit symétrique par rapport au graphe y = x bref je ne vais pas y revenir la dessus
( de toutes manieres c'est un cas particulier du post de titou )
ne cherchez pas, titou a donné toutes les solutions possibles big_smile bravo

Nombrilist : ce qu'on recherche c'est les f tels que f°f = Id ( l'identité ) et non la fonction elle même

Par contre quelqu'un pour la 2eme équation ?

 #42 - 02-09-2013 15:09:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Equations fonctonnelles

Pas moi. Je veux juste souligner que tu peux m'appeler Mathias big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #43 - 02-09-2013 15:23:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Equtions fonctionnelles

MthS-MlndN a écrit:

Est-ce que les fonctions données dans le 2) de la réponse de Titoufred sont forcément continues ?

Oui.

[latex]g[/latex] est continue donc [latex]g^{-1}[/latex] aussi.

Le fait que [latex]g[/latex] soit une bijection continue de [latex][a;+\infty[[/latex] sur [latex]]-\infty;a][/latex] impose qu'elle soit strictement décroissante et donc [latex]g(a)=a[/latex].

 #44 - 02-09-2013 15:29:28

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

Equations fonctoinnelles

n'est ce pas le théorème du point fixe ?

 #45 - 02-09-2013 15:42:36

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Equtaions fonctionnelles

Non

 #46 - 02-09-2013 15:44:14

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

Eqautions fonctionnelles

mmhh je vois en tout cas ca y ressemble fortement
quelqu'un pour la seconde équation ? elle est sympa

 #47 - 02-09-2013 23:31:53

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

equations fobctionnelles

"Nombrilist : ce qu'on recherche c'est les f tels que f°f = Id ( l'identité ) et non la fonction elle même"

Euh oui, me suis emmêlé les crayons, je voulais bien dire fof = Id

 #48 - 03-09-2013 02:28:52

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Equaations fonctionnelles

Pour [latex]f(x+y)=f(x)f(y)-f(x+a)f(y+a)[/latex], voici ce que j'ai trouvé pour l'instant :

1er cas : [latex]a=0[/latex]
[TeX]f=0[/latex] est la seule solution

2ème cas : [latex]a \neq 0[/TeX]
Si [latex]f(a) \neq 0[/latex] et [latex]f[/latex] est continue alors [latex]f[/latex] est du type [latex]f(x)=\frac{b^x}{1-b^{2a}}[/latex] avec [latex]b>0[/latex].

Si [latex]f(a)=0[/latex] alors je trouve les solutions [latex]f=0[/latex] et [latex]f(x)=\cos\left({\frac{\pi x}{2a}}\right)[/latex]

Mais je ne sais pas si ce sont les seules.

Je détaillerai mes réflexions demain.

 #49 - 03-09-2013 18:43:03

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

equations fonctiobnelles

Voilà, j'ai trouvé le temps de recopier mes notes :

Soit [latex]f[/latex] une solution de l'équation fonctionnelle
[TeX]f(x+y)=f(x)f(y)-f(x+a)f(y+a)[/TeX]
1er cas : [latex]a=0[/latex]

Alors [latex]f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)f(y)=0[/latex] donc [latex]f(x)=0[/latex]

2ème cas : [latex]a \neq 0[/latex]

a) On suppose que [latex]f(a) \neq 0[/latex] :

On supposera de plus que [latex]f[/latex] est continue (en fait des conditions comme continue à droite en 0, ou monotone, ou bornée sur un intervalle suffisent).

L'égalité [latex]f(x+y)=f(x)f(y)-f(x+a)f(y+a)[/latex] devient pour [latex]y=0[/latex] :
[TeX]f(x)=f(x)f(0)-f(a)f(x+a)[/TeX]
donc [latex]f(x+a)=Kf(x)[/latex] avec [latex]K=\frac{f(0)-1}{f(a)}[/latex]

En réinjectant ceci dans l'égalité de départ, on obtient :
[TeX]f(x+y)=f(x)f(y)-Kf(x)Kf(y)= (1-K^2)f(x)f(y)[/TeX]
Posons [latex]k=1-K^2[/latex]  et  [latex]g(x)=kf(x)[/latex]

Alors [latex]f(x+y)=kf(x)f(y)[/latex]

donc [latex]kf(x+y)=kf(x)kf(y)[/latex]

donc [latex]g(x+y)=g(x)g(y)[/latex] et donc [latex]g[/latex] est une fonction exponentielle.

Autrement dit, [latex]g(x)=b^x[/latex]  où  [latex]b>0[/latex]  et donc [latex]f(x)=\frac{b^x}{1-K^2}[/latex]

Maintenant, [latex]K=\frac{f(0)-1}{f(a)}=\frac{\frac{1}{1-K^2}-1}{\frac{b^a}{1-K^2}}=\frac{K^2}{b^a}[/latex]

donc [latex]K=b^a[/latex]

Par conséquent, [latex]f(x)=\frac{b^x}{1-b^{2a}}[/latex]

Inversement, on peut vérifier que de telles fonctions vérifient l'équation de départ.

 #50 - 04-09-2013 20:35:27

lol37
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 68

rquations fonctionnelles

C'est bien smile
Tiens résouds celle la : [latex]f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/latex], [latex]f(x+y)=f(x)+f(y)[/latex] pour tout x et y réels, je veux toutes les fonctions qu'elles soient continues ou pas !

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