Enigme Equations fonctionnelles 2/3 @ Prise2Tete

lol37 · #26

pas n'importe quel courbe bien evidemment, sinon ce ne serait pas toujours le graphe d'une fonction, mais il faut faire en sorte que oui
intuitivement ce serait le cas seulement des fonctions strictement décroissantes.
j'édite donc mon précédent post.

titoufred · #27

Peut-on tracer n'importe quelle fonction décroissante ?

lol37 · #28

c'est une très bonne question, pour y répondre il faut savoir exactement ce qu'est une fonction décroissante ( ou croissante qu'importe ) sur un intervalle
je vais te répondre par une autre question : une fonction monotone sur un intervalle est elle nécessairement dérivable ?

Klimrod · #29

Evidemment que non !
Il y a des monotones non continues, des monotones continues non dérivables, et des monotones continues dérivables.

lol37 · #30

Tu as des exemples pour chaque ?

Klimrod · #31

Pffff....
Il faut vraiment que j'aille chercher mes cours ? Ou que je fouille sur Internet ?

lol37 · #32

ouais je te taquine, mais c'est pour répondre à la question de titoufred
pour les monotones continues dérivables je pense qu'on a pas besoin de donner des exemples..

titoufred · #33

Bien évidemment, la fonction doit être continue comme demandé ça va sans dire (on se fiche de la dérivabilité ici), ce n'était pas le sens de la question.

Ce que je voulais que tu précises, c'est à quelles conditions on obtient une courbe de fonction lorsqu'on fait la symétrie par rapport à la première bissectrice. Il faut non seulement que ce que tu traces à droite représente une fonction strictement décroissante, ça tu l'as bien vu, mais de plus, quelle doit être la limite en $+\infty$ ?

lol37 · #34

Si elle est finie la fonction ne sera pas définie sur $\mathbb{R}$ entier.
Il y aura alors une asymptote horizontale, disons dans le premier quadrant ou celui d'en dessous en y = l avec l ta limite, et une asymptote verticale dans un quadrant déterminé en x = l...
ce genre de fonction sera donc définie sur $]l,+\infty[$ .
par continuité et monotonéité ( ca se dit ? ) ta fonction dite doit nécessairement avoir une limite ( qu'elle soit finie ou infinie )
mis à part ca effectivement la fonction a seulement besoin d'être continue et strictement décroissante.
Pour la dérivabilité c'est crucial pour pouvoir savoir la tracer, il existe des courbes qui ressemblent à des fractales de manière à ce que la fonction varie infiniment avec une variation aussi petite que l'on veut de la dite variable. ( et donc impossible de tracer leur graphe convenablement ).

titoufred · #35

Donc finalement les solutions continues de l'équation fonctionnelle $f(f(x))=x$ sont

1) $f(x) = x$

2) Les fonctions $f$ définies par

$f(x) = g(x)[/latex] si [latex]x \in [a;+\infty[$

$f(x) = g^{-1}(x)[/latex] si [latex]x \in ]-\infty;a]$
où

$a \in \mathbb{R}$ et

$g$ est une bijection continue (strictement décroissante) de

$[a;+\infty[$ dans

$]-\infty;a]$ .

cogito · #36

Il y a aussi :

$f(x) = -x[/latex], [latex]g(x) = {1\over x}[/latex] si [latex]x\neq 0[/latex] et [latex]0[/latex] sinon [latex]h(x) = -g(x)$

MthS-MlndN · #37

cogito a écrit:
Il y a aussi :

$f(x) = -x$ ,
$g(x) = {1\over x}$ si $x\neq 0$ et $0$ sinon
$h(x) = -g(x)$

f est de la deuxième forme évoquée par titoufred, avec a=0. g et h, non, par contre (ou alors j'ai raté un truc...)

Nombrilist · #38

g et h ne sont pas continues. Donc, elles ne répondent pas à la question de Titoufred.

MthS-MlndN · #39

Est-ce que les fonctions données dans le 2) de la réponse de Titoufred sont forcément continues ?

Nombrilist · #40

Là tu m'en demandes trop . Vu le ton de la question, je dirais non ? Ce que je voulais dire - et si je comprends bien le post de Titou - c'est que les fonctions g et h ne sont pas des fonctions continues. Elles ne sont donc pas recherchées par Titoufred. Et donc, il n'est pas nécessaire qu'elles vérifient (2) pour répondre à la question initiale (trouver des f telles que fof=f).

lol37 · #41

Elles sont par contre continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition !
en généralisant toutes les fonctions f définies par $f(x) =\frac{1}{x-a}+a$ ( pour tout x différent de a ) sont des involutions sur chaque intervalle de leur domaine de définition
donc effectivement MthS-MlndN, la fonction ne doit pas être nécessairement continue tout partout, juste que ca soit symétrique par rapport au graphe y = x bref je ne vais pas y revenir la dessus
( de toutes manieres c'est un cas particulier du post de titou )
ne cherchez pas, titou a donné toutes les solutions possibles bravo

Nombrilist : ce qu'on recherche c'est les f tels que f°f = Id ( l'identité ) et non la fonction elle même

Par contre quelqu'un pour la 2eme équation ?

MthS-MlndN · #42

Pas moi. Je veux juste souligner que tu peux m'appeler Mathias

titoufred · #43

MthS-MlndN a écrit:
Est-ce que les fonctions données dans le 2) de la réponse de Titoufred sont forcément continues ?

Oui.

$g$ est continue donc $g^{-1}$ aussi.

Le fait que $g$ soit une bijection continue de $[a;+\infty[$ sur $]-\infty;a]$ impose qu'elle soit strictement décroissante et donc $g(a)=a$ .

lol37 · #44

n'est ce pas le théorème du point fixe ?

titoufred · #45

Non

lol37 · #46

mmhh je vois en tout cas ca y ressemble fortement
quelqu'un pour la seconde équation ? elle est sympa

Nombrilist · #47

"Nombrilist : ce qu'on recherche c'est les f tels que f°f = Id ( l'identité ) et non la fonction elle même"

Euh oui, me suis emmêlé les crayons, je voulais bien dire fof = Id

titoufred · #48

Pour $f(x+y)=f(x)f(y)-f(x+a)f(y+a)$ , voici ce que j'ai trouvé pour l'instant :

: $a=0$
[TeX]f=0[/latex] est la seule solution

: $a \neq 0[/TeX] Si [latex]f(a) \neq 0$ et $f$ est continue alors $f$ est du type $f(x)=\frac{b^x}{1-b^{2a}}$ avec $b>0$ .

Si $f(a)=0$ alors je trouve les solutions $f=0$ et $f(x)=\cos\left({\frac{\pi x}{2a}}\right)$

Mais je ne sais pas si ce sont les seules.

Je détaillerai mes réflexions demain.

titoufred · #49

Voilà, j'ai trouvé le temps de recopier mes notes :

Soit $f$ une solution de l'équation fonctionnelle

$f(x+y)=f(x)f(y)-f(x+a)f(y+a)$
1er cas :

$a=0$

Alors

$f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)f(y)=0$ donc

$f(x)=0$

2ème cas :

$a \neq 0$

a) On suppose que

$f(a) \neq 0$ :

On supposera de plus que

$f$ est continue (en fait des conditions comme continue à droite en 0, ou monotone, ou bornée sur un intervalle suffisent).

L'égalité

$f(x+y)=f(x)f(y)-f(x+a)f(y+a)$ devient pour

$y=0$ :

$f(x)=f(x)f(0)-f(a)f(x+a)$
donc

$f(x+a)=Kf(x)$ avec

$K=\frac{f(0)-1}{f(a)}$

En réinjectant ceci dans l'égalité de départ, on obtient :

$f(x+y)=f(x)f(y)-Kf(x)Kf(y)= (1-K^2)f(x)f(y)$
Posons

$k=1-K^2$ et

$g(x)=kf(x)$

Alors

$f(x+y)=kf(x)f(y)$

donc

$kf(x+y)=kf(x)kf(y)$

donc

$g(x+y)=g(x)g(y)$ et donc

$g$ est une fonction exponentielle.

Autrement dit,

$g(x)=b^x$ où

$b>0$ et donc

$f(x)=\frac{b^x}{1-K^2}$

Maintenant,

$K=\frac{f(0)-1}{f(a)}=\frac{\frac{1}{1-K^2}-1}{\frac{b^a}{1-K^2}}=\frac{K^2}{b^a}$

donc

$K=b^a$

Par conséquent,

$f(x)=\frac{b^x}{1-b^{2a}}$

Inversement, on peut vérifier que de telles fonctions vérifient l'équation de départ.

lol37 · #50

C'est bien
Tiens résouds celle la : $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ , $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tout x et y réels, je veux toutes les fonctions qu'elles soient continues ou pas !

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