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Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 30-08-2013 15:27:58

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

Equationss fonctionnelles

Salut ! voilà des équations fonctionnelles en vrac à résoudre !
déterminer toutes les fonctions de R dans R tels que :
[TeX]f(x+f(y)) = \frac{1}{x+y}[/latex] ( x, y des réels )
[latex]f(x+y)=f(x)f(y)-f(x+a)f(y+a)[/latex] ( a n'importe quel réel )
[latex]f(f(x)) = x[/TeX]



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 #2 - 30-08-2013 18:49:43

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 460

Equations foncionnelles

Bonjour

Vous êtes qui ?
Bienvenue sur le forum. Il s'agit d'un forum de jeux et d'énigmes, pas forcément de sujet de maths pour désœuvrés lol

 #3 - 30-08-2013 20:05:32

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

Equations fonnctionnelles

on peut considérer les maths comme un jeu tu sais smile

 #4 - 30-08-2013 23:56:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Equatiions fonctionnelles

Je suis un peu d'accord avec toi , on a un peu tendance à croire ici qu'une énigme c'est forcément un message abscon à décrypter sad

De là balancer une série d'équations fonctionnelles à résoudre lollollol

Tu en prends une , tu lui mets sa belle tenue des dimanches et on en reparle smile

Vasimolo

 #5 - 31-08-2013 00:14:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

equations foncyionnelles

Je répondrai à la seule et unique condition que tu me trouves toutes les fonctions vérifiant :
[TeX]\frac{dy}{dx}+x(x+y)=x^3(x+y)^3[/TeX]
Shadock lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 31-08-2013 00:29:15

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Equatiosn fonctionnelles

Vasimolo a écrit:

on a un peu tendance à croire ici qu'une énigme c'est forcément un message abscon à décrypter sad
Vasimolo

On ne sera jamais d'accord sur ce point-là... Le site est de P2T est ouvert à tout type de sujets y compris ces équations mais ce ne sont pas des énigmes, ce sont des problémes, sûrement intéressants et qui demandent de la réflexion mais , pour me répéter, ils n'ont rien d'une énigme.

énigme /e.niɡm/ féminin
Jeu d’esprit mettant à l’épreuve la réflexion de l’interlocuteur qui doit répondre à une interrogation dont le sens est caché

problème /pʁɔ.blɛm/ masculin
Question scientifique à résoudre.
Problème de géométrie.
Problème d’algèbre.

Il faudrait voir à arreter de dénigrer bêtement ce qui ne te convient pas, ça devient lassant ce refrain et parfois limite insultant, même à "on" couverts...

des énigmes, des jeux, de la réflexion, pour tous ceux qui aiment se prendre la tête !

Le bandeau d'accueil est plus tolérant, du moment qu'on réfléchit, et je ne trouve pas que les maths aient le drapeau en berne ces temps-ci.

 #7 - 31-08-2013 01:03:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

equations fonctoonnelles

"Il faudrait voir à arrêter de dénigrer bêtement ce qui ne te convient pas, ça devient lassant ce refrain et parfois limite insultant, même à "on" couverts..."

Je ne dénigre personne et j'espère avoir encore le droit de dire simplement ( bêtement si tu veux ) que certaines énigmes ne m’emballent vraiment pas ( quand elles sont cryptées ) .

Il y a tellement a découvrir sans aucun masque big_smile

Mais bon , il en faut pour tout les goûts smile

Vasimolo

 #8 - 31-08-2013 08:52:19

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Euations fonctionnelles

Si je puis me permettre, je rejoins tout à fait l'avis de Gwen :
Ici, il s'agit de purs problèmes scolaires. Tant qu'on y est, on pourrait poser aussi des problèmes de physique, de chimie, ... et puis allons-y jusqu'au bout, des problèmes de philosophie...
Et puis je pourrais aussi vous poser mes problèmes de boulot. Ca m'éviterait d'avoir à les résoudre ! big_smile

Et j'aime bien la phrase de Vasimolo :

Vasimolo a écrit:

Tu en prends une , tu lui mets sa belle tenue des dimanches et on en reparle smile

Si j'interprète correctement, c'est une façon d'habiller un problème en énigme wink.

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #9 - 31-08-2013 11:16:42

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

equatiobs fonctionnelles

Je ne comprends pas pourquoi vous vous emballez tellement, sur ce coup-là smile

Si des gens s'amusent à résoudre des problèmes de maths (et, dans une certaine mesure, j'en suis), je ne vois pas pourquoi des problèmes de maths "pures" n'auraient pas leur place ici ; d'ailleurs, celle de Cogito, qui est en cours actuellement, est un exercice de géométrie, "rien de plus", et je n'ai rien contre. Il donne quand même matière à réflexion pour les gens que ça intéresse, et c'est une forme de jeu de logique (organisation de démo, recherche d'angle d'attaque, tout ça tout ça).

Si Vasimolo n'aime pas la crypto, tant mieux (ou tant pis ?) pour lui. Il a juste donné son avis, sur un ton relativement humoristique (arf, faut le connaitre, quand même big_smile), mais je ne pense pas que le but était d'offenser qui que ce soit ou de placer les Saintes Mathématiques contre la vilenie du cryptage.

Cependant, la remarque de Vasimolo est pertinente : poster des équations fonctionnelles par trois ou quatre, ça casse le côté "amusant" de la chose, qui vient aussi du fait qu'on le fait une fois de temps à autre comme un passe-temps, et non à la chaîne comme une vulgaire interro. Et il y a la présentation d'un problème, qui peut en faire quelque chose de plus intéressant... Une mise en contexte, par exemple. Enfin, n'importe quelle "tenue des dimanches".

(M*rde, je crois que je commence à parler le Vasimolo. C'est grave, docteur ? lol)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 31-08-2013 12:17:02

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

equations fonctiobnelles

mes problèmes sont tout à fait accessible du moment que vous savez ce qu'est une fonction ! ( et bien sur il faut de la logique ! )
j'ai tenu part de vos remarque et j'en ai laissé qu'une !

 #11 - 31-08-2013 12:49:38

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

Equations fonctionnnelles

shadock a écrit:

Je répondrai à la seule et unique condition que tu me trouves toutes les fonctions vérifiant :
[TeX]\frac{dy}{dx}+x(x+y)=x^3(x+y)^3[/TeX]
Shadock lol

d'un coup d'oeil je peux dire que les solutions n'ont pas d'expression en terme de combinaisons de fonctions élémentaires ( je dis ca mais jdis rien ! )
cela dit je trouve ton post ironique, répondre à un problème par un autre pourrait dire que tu trouves mon problème tres "technique" ^^

 #12 - 31-08-2013 13:34:39

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

equarions fonctionnelles

Pour la troisième n'importe quelle fonction involutive conviens, donc il doit surement manquer certaines conditons.

Pour la première si on remplace pour [latex]y=0[/latex] on obtient
[TeX]f(x+f(0))={1\over x}[/latex] ce qui est équivalent à [latex]f(x) = {1\over{x-f(0)}}[/TeX]
En particulier cela donne [latex]f(0)={-1\over{f(0)}}[/latex] autrement dit  [latex]f(0) = \pm i[/latex].

Donc il n'existe pas de fonction de R dans R vérifiant la première équation.

Pour la deuxième avec la même méthode, on obtient [latex]f(x) = -f(x+a)f(a)[/latex] ce qui donne  [latex]f(a) = -f(2a)f(a)[/latex], la fonction constante égal à zéro ou la fonction constante égal à -1 font très bien l'affaire.

EDIT: Arff deux ont disparues. tant pis.

@lol37 : je pense que shadock plaisantait, l'expression [latex]{dx\over dy} + x(x+y) = x^3(x+y)^3[/latex] n'a pas de sens ( à part peut-être pour un physicien lol)


Il y a sûrement plus simple.

 #13 - 31-08-2013 14:51:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Equatinos fonctionnelles

Soit y un réel fixé. On pose [latex]X = x+f(y)[/latex]

L'équation fonctionnelle s'écrit [latex]f(X)=\frac{1}{X+y-f(y)}[/latex] pour [latex]X \neq f(y)-y[/latex]

Supposons maintenant que [latex]f(y) \neq 2y[/latex], c'est-à-dire [latex]y \neq f(y)-y[/latex].

Alors pour [latex]X=y[/latex] on obtient [latex]f(y)=\frac{1}{2y-f(y)}[/latex], c'est-à-dire [latex]-f(y)^2+2yf(y)-1=0[/latex]

Cette équation du second degré en [latex]f(y)[/latex] a pour discriminant [latex]4y^2-4[/latex] et n'a donc pas de solution pour [latex]y \in ]-1;1[[/latex]

On en déduit donc que [latex]f(y)=2y[/latex] pour [latex]y \in ]-1;1[[/latex].

Pour [latex]x=0[/latex] et [latex]y=0,25[/latex], on trouve alors que [latex]f(x+f(y))=f(0,5)=1[/latex], mais [latex]\frac{1}{x+y}=\frac{1}{0,25}=4[/latex]

On aboutit à une contradiction.

Cette équation n'a donc pas de solution.

 #14 - 31-08-2013 14:58:07

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Equations fonctionnnelles

cogito, il y a une erreur dans ton raisonnement.

En effet,  [latex]f(x+f(y))=\frac{1}{x+y}[/latex] seulement si [latex]x+y \neq 0[/latex]

donc
[TeX]f(0) = -\frac{1}{f(0)}[/latex] seulement si [latex]f(0) \neq 0[/TeX]
Tu peux donc juste en déduire que [latex]f(0)=0[/latex]

 #15 - 31-08-2013 14:58:20

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

Equtions fonctionnelles

Bien titou c'est une démo claire !
les 2 autres équations étaient [latex]f(f(x)) = x[/latex] et [latex]f(x+y) = f(x)f(y)-f(x+a)f(y+a)[/latex] avec x y et a des réels
j'aurais du passer cela en énigme remarquez !

 #16 - 31-08-2013 15:31:39

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Eqations fonctionnelles

Oui, c'est vrai. Alors je complète en disant que si f(0)=0 alors f(x)=1/x et cette fonction ne vérifie pas l'équation big_smile


Il y a sûrement plus simple.

 #17 - 31-08-2013 17:15:22

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

equations fonctionnemles

Ah ben oui. Où est passé l'énoncé du problème initial ?

 #18 - 31-08-2013 20:57:29

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

equatipns fonctionnelles

Pour l'équation [latex]f(f(x))=x[/latex] :

Il y a beaucoup de possibilités :

En effet, il suffit de se donner une partition quelconque [latex]\mathbb{R} = A \sqcup B \sqcup C[/latex], une bijection quelconque [latex]g : A \rightarrow B[/latex] et de définir [latex]f[/latex] par :
[TeX]f(x) = g(x)[/latex]  si  [latex]x \in A[/TeX][TeX]f(x) = g^{-1}(x)[/latex]  si  [latex]x \in B[/TeX][TeX]f(x) = x[/latex]  si  [latex]x \in C[/TeX]
Si on impose en plus [latex]f[/latex] continue, là ça devient assez intéressant. Qui saurait trouver les solutions dans ce cas ?

 #19 - 31-08-2013 21:00:07

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

Equations foncttionnelles

Fallait pas réveiller titou! lol

 #20 - 31-08-2013 21:21:36

lol37
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 68

Equatiosn fonctionnelles

titoufred a écrit:

Pour l'équation [latex]f(f(x))=x[/latex] :

Il y a beaucoup de possibilités :

En effet, il suffit de se donner une partition quelconque [latex]\mathbb{R} = A \sqcup B \sqcup C[/latex], une bijection quelconque [latex]g : A \rightarrow B[/latex] et de définir [latex]f[/latex] par :
[TeX]f(x) = g(x)[/latex]  si  [latex]x \in A[/TeX][TeX]f(x) = g^{-1}(x)[/latex]  si  [latex]x \in B[/TeX][TeX]f(x) = x[/latex]  si  [latex]x \in C[/TeX]
Si on impose en plus [latex]f[/latex] continue, là ça devient assez intéressant. Qui saurait trouver les solutions dans ce cas ?

il y a l'identité et les [latex]f(x) = a-x[/latex] avec a réel, je suis sur qu'il y en a d'autres
Edit : y'en a aussi avec des racines carrés, du style [latex]f(x)=x-2\sqrt{x}+1[/latex]

 #21 - 01-09-2013 01:43:49

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Equations fonctioonnelles

Dans ton dernier exemple [latex]f(x)=x-2\sqrt{x}+1[/latex], on n'a pas [latex]f(f(x))=x[/latex], et de toute façon la fonction n'est pas définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex].

 #22 - 01-09-2013 09:44:21

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

equations fonctiinnelles

il se trouve qu'effectivement que la fonction n'est pas définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex] mais est une involution sur [latex][0,1][/latex] alors bon, ok c'est pas [latex]\mathbb{R}[/latex] entier mais un sous ensemble notable

 #23 - 01-09-2013 11:07:13

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Eqquations fonctionnelles

Et pour les fonctions définies sur [latex]\mathbb{R}[/latex], y a-t-il d'autres solutions que [latex]f(x)=x[/latex] et [latex]f(x)=a-x[/latex] ?

 #24 - 01-09-2013 11:15:24

lol37
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 68

Equations fonctionnelless

il suffit juste de voir que son graphe doit être symétrique par rapport à celui de y = x, je ne pense pas qu'il soit possible de les donner explicitement, ( elles doivent être indénombrables ), mais juste les caractériser
géométriquement tu prends un point de la droite qui découpe le premier quadrant du plan, à "droite" tu traces ce que tu veux du moment que ca "descend" tout le temps et que tu ne laches pas ton stylo, des que t'en as marre tu supposes que ton plan est un papier calque et tu le plies selon la droite pour avoir l'autre bout

Des fois dans ce genre d'équation il faut avoir l'esprit de synthèse et ne pas s'attendre à avoir une expression explicite.
Il reste celle que j'ai donné quelques posts avant, elle est facile si on conçoit que les solutions continues

 #25 - 01-09-2013 11:47:46

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Equations fnctionnelles

Quand tu dis "à droite tu traces ce que tu veux", tu peux être plus précis ?

Je peux tracer un cosinus ? Je peux recouper la 1ère bissectrice ?

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