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 #1 - 19-10-2013 08:54:26

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

Equations du seccond degré

L'énigme m'a été posée par mon prof de maths, il ne s'agit ni d'un dm ni d'un exercice;

Y a t-il plus d'équations du second degré solvables dans R que non solvables dans R? Si non, quelle en est la fréquence?

J'ignore la réponse mais je cherche, la question me paraît suffisamment intéressante pour être soulevée.



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 #2 - 19-10-2013 09:19:02

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Equations du secondd degré

"Y a t-il plus d'équations du second degré solvables dans R que non solvables dans R ?"
pourrait se traduire par:
"Je tire trois nombres A, B et C au hasard dans R et j'écris l'équation Ax²+Bx+c=0, y a t-il plus de chance que B²>4AC que  B²<4AC ?", en remarquant que la probabilité que B²=4AC est nulle.
Je répondrais que c'est équiprobable (mais je peux me tromper).
Il y aurait donc autant d'équations du second degré solvables dans R que non solvables dans R.

 #3 - 19-10-2013 09:33:48

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Equatiosn du second degré

A priori oui, il y en a autant avec un discriminant positif qu'avec un discriminant négatif.

Celles de discriminant nul font pencher la balance (mais bon, il va y avoir des petits malins pour dire que c'est encore un truc du genre infini et infini lollollol )

(bah oui, ça fait quand même un rapport 1/1)

 #4 - 19-10-2013 09:56:32

ThomasLRG
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 31

equztions du second degré

Bonjour,

Déjà c'est rigolo comme question !

je pars du principe qu'on parle des polynômes à coefficients réels. On peut se ramener à l'étude des polynômes unitaires en factorisant par le coefficient dominant.

Un polynôme du second degré unitaire "solvable" dans R s'écrit sous forme factorisée (x-x1)(x-x2). Il est caractérisé par ses 2 racines x1 et x2. On a donc bijection entre l'ensemble des polynômes du second degré unitaires avec l'ensemble des couples de réels (x,y) tels que x<=y (l'ordre empêche la double apparition du couple (x,y) et (y,x) ). Graphiquement cet ensemble est un demi-plan fermé, cet ensemble en bijection avec R² tout entier (je n'ai pas de bijection simple mais seulement par manipulation graphique, reste à en préciser une pour lever toute ambiguïté)

Un polynôme du second degré unitaire non "solvable" dans R est caractérisé par l'une de ses racines complexes puisque l'autre est son conjugué. Donc l'ensemble des polynômes du second degré unitaires non "solvable" dans R est en bijection avec RxR*+ (le premier R pour la partie réelle et R*+ pour la partie imaginaire qui doit être non nulle et positive pour ne pas compter 2 fois un complexe et son conjugué). Or R*+ est en bijection avec R par la fonction ln par exemple. Donc RxR*+ est en bijection avec R².

Finalement, l'ensemble des polynômes du second degré unitaires "solvable" dans R est en bijection avec ceux "non solvables" dans R. Il y en a donc "autant".


(reste a trouver une "bonne" bijection dans le premier cas)
Thomas.

edit : bijection de {(x,y) / x<=y} dans R² :
(x,y) -> (x,y-x) est une bijection de {(x,y) / x<=y} dans RxR+

or R+ est en bijection avec R*+ (on envoie chaque nombre entier sur son successeur) et R*+ est en bijection avec R par ln. D'où la bijection recherchée.

 #5 - 19-10-2013 10:16:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Equations ud second degré

Exactement 50%.
Visualise la parabole montante(coeff de x² positif). le point le plus bas peut se trouver absolument partout dans le plan, moitié au dessus du y=0 (pas de solution) moitié en dessous (solutions).
Pareil par la parabole descendante.

C'est une des réponses. Elle n'est pas la seule, mais sans doute la plus simple.

 #6 - 19-10-2013 11:48:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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equatiobs du second degré

Une équation est résoluble quand on sait la résoudre ( elle peut avoir une , plusieurs ou aucune solution ) donc toute équation du deuxième degré est résoluble dans [latex]\mathbb{R}[/latex] smile

Trop facile la question lollollollol

Vasimolo

 #7 - 19-10-2013 12:19:33

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

equations du second segré

Oui, oui les réponses me sembles bien!
Mais...


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 #8 - 19-10-2013 13:06:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
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equations du sexond degré

Maintenant, si on regarde les variables a,b,c de ax²+bx+c, il faut et il suffit que b²>=4ac pour avoir au moins une solution.
Question signe, si a et c sont de signes opposés, c'est toujours vrai, quel que soit le signe de b. Donc sur les 8 possibilités de signes (bac)=
+++= inconnu
++-=bon
+--=inconnu
+-+=bon
-++=inconnu
-+-=bon
---=inconnu
--+=bon
Donc la moitié au moins des variables admettent une solution.
Reste les cas des inconnues.
Il faut b²>4ac ou b>2rac(ac)
Ce qui laisse donc encore pas mal de solutions possibles. Et qui amène la question de la manière ce choisir dans R+ les nombres abc au hasard. C'est en précisant la loi de ce tirage qu'on peut répondre à la question !

 #9 - 19-10-2013 13:34:54

cogito
Expert de Prise2Tete
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Messages : 593

Equations du second deré

Bonjour smile

Je pense qu'il y en a autant.

Imaginons le plan [latex]\mathbb{R}^2[/latex] coupé par l'axe des abscisses.

Prenons une parabole de la forme ax²+bx+c avec a > 0. Soit [latex]m[/latex] son minimum.

L'axe des abscisses sépare le plan en deux demi plan :
[TeX]{\cal P}_1= \{(x,y) | y > 0\}[/latex] et
[latex]{\cal P}_2=\{(x,y) | y \le 0\}[/TeX]
L'équation ax²+bx+c est solvable ssi [latex]m\in{\cal P}_2[/latex]   et l'équation n'est pas solvable ssi [latex]m\in{\cal P}_1[/latex].

Comme il y a autant de points dans [latex]{\cal P}_1[/latex] que dans [latex]{\cal P}_2[/latex] (même si [latex]{\cal P}_2[/latex] contient l'axe des abscisses en plus) alors il y a autant d'équations du second degré solvables que non solvables.

Note : pour a < 0 on a le même raisonnement avec les complémentaires de [latex]{\cal P}_1[/latex] et [latex]{\cal P}_2[/latex]


Il y a sûrement plus simple.

 #10 - 19-10-2013 16:05:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Euations du second degré

Je pense que 2/3 des équations ont des solutions réelles.

En effet il y a trois cas de figure soit le discriminant des strictement supérieur 0 soit égal à 0 soit strictement inférieur...

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 19-10-2013 18:12:49

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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equations du sevond degré

C'est quoi ce "mais" ?  smile
Peux-tu préciser les "..." ?

 #12 - 19-10-2013 19:22:06

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

Equations du sceond degré

Il y a un mais car une fraction avec l'infini pourrait être faite?


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 #13 - 19-10-2013 21:25:00

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 416

Equatiions du second degré

Résoudre une équation du second degré revient à calculer le delta.

Si delta est strictement positif 2 solutions
si delta est strictement négatif 0 solution.

Jusqu'ici étant donné qu'il y a autant de réels strictement positifs que de réels strictement négatifs on pourrait dire qu'il y'en a autant sauf que :

si delta est égal à 0 il y a une solution.

Je dirais donc que ça fait pencher la balance sur le fait qu'il y a plus d'équations du second degré solvable que non solvable dans R.

 #14 - 19-10-2013 21:49:56

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

Equations du second deré

Hello

Le déterminant d'une équation du second degré ax²+bx+c=0 est b²-4ac et la/les solution(s) sont réelles si b²-4ac >= 0

Si on trace dans l'espace les points tels que z²>4xy on obtient un "cone elliptique infini"

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-infinteellipticcone.jpg

Cette infinitude me ferait dire qu'il y a "autant" d'équations à racine(s) réelles que complexes ...

A suivre ...

Bon WE
smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #15 - 19-10-2013 22:37:43

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Equations du second ddegré

Avec 2 "infinis" équivalents , oui, je pense... il y a autant de nombres entiers impairs que de nombres entiers pairs strictement positifs.  Et pourtant on a un pair de plus : zéro.

Je sens que je vais adorer le moment de discussion qui va suivre ce fil. smile

 #16 - 20-10-2013 05:10:18

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

equations du second defré

On va prendre l'écriture réduite de l'équation : x²+2b+c=0
Le discriminant est D = b²-c

La question revient donc à se demander s'il y a plus de couple (b,c) tel que D est >=0 ou D<0.

Une représentation dans le plan nous permet de visualiser que les 2 zones correspondantes sont toutes les 2 infinies. Donc la réponse est que les 2 zones sont aussi grandes l'une que l'autre (c'est-à-dire qu'il existera une bijection de l'une vers l'autre).

Visuellement, il semble que D>=0 est plus grand que D<0 (on a plus qu'un demi-plan limité par la droite c=0), mais sur des ensembles infini ça ne veut rien dire.

Et même si une des zones était de surface finie, cela ne voudrait pas dire que une zone contient plus d'éléments que l'autre. Par exemple : est-ce qu'il y a plus de points tels que x²+y²<1 (disque de rayon 1) que de points tels que x²+y²>1 ?
Visuellement, on serait tenté de dire qu'il y en a plus à l'extérieur du cercle qu'à l'intérieur. Pourtant, il est facile d'associer à tout point du disque, repéré par (r,t) ces coordonnées polaires, son image  (1/r,t). On s'aperçoit que c'est une bijection du disque vers l'extérieur du disque.
Enfin presque puisque le centre du disque n'a pas d'image : il y a un point de plus dans le disque qu'à l'extérieur wink

 #17 - 20-10-2013 10:45:53

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

eqiations du second degré

Masab: Ou sont les preuves?
Gilles: Moui mais de quoi dépend delta?
Les autres: Je pense aussi mais... Y a t il une démo concrète?


Un promath- actif dans un forum actif

 #18 - 22-10-2013 13:46:50

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Equatiosn du second degré

La démonstration concrète demande là à ton prof roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 22-10-2013 15:25:29

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Messages : 562

rquations du second degré

Question probabiliste: comment faîtes-vous pour faire un tirage aléatoire suivant une loi uniforme sur un domaine sans borne ?

 #20 - 22-10-2013 16:17:21

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Eqquations du second degré

On le fait sur un intervalle borné de [latex]\mathbb{R}[/latex] ça suffit non?
Par exemple sur [latex][0,1][/latex]

PS : Je n'ai plus fais de proba depuis la terminale alors je ne suis pas sûr de ce que j'avance.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #21 - 22-10-2013 22:55:48

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Equations du escond degré

Nombrilist a écrit:

Question probabiliste: comment faîtes-vous pour faire un tirage aléatoire suivant une loi uniforme sur un domaine sans borne ?

Pour moi, c'est totalement impossible, vu que par définition, la loi uniforme est définie sur un intervalle de R.
Autre argument : par définition, la densité de probabilité vaut 0 partout si une des bornes du domaine est un infini. Donc ce n'est plus une densité de probabilité, vu que son intégrale sur R vaut 0...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 22-10-2013 23:52:45

gwen27
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Equations du scond degré

J'ai envie de m'amuser...

Le discriminant est b^2-4ac.

ac est équiprobablement positif ou négatif (ou nul, on s'en fiche)
b^2 est toujours positif.

b^2-4ac est donc infiniment plus souvent positif ou nul que négatif.  big_smile

 #23 - 23-10-2013 08:21:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

equations du second drgré

Marrant : j'étais parti sur cette énigme en récupérant le même cône infini que NickoGecko, et j'en avais déduit qu'il y avait clairement moins d'équations du second degré insolubles dans R (à l'intérieur du cône) que de solubles dans R (à l'extérieur du cône). J'attends donc qu'on m'explique pourquoi l'intérieur et l'extérieur ont le même cardinal big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 23-10-2013 18:03:14

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 301
Lieu: Montargis

Equaions du second degré

Proposition:

Soit l'équation: [latex]ax^2+bx+c=0 (1)[/latex];
[TeX]\delta=b^2-4ac[/TeX]
(1) est solvable dans [latex]R[/latex] si [latex]\delta\geq0[/latex]. Soit M(x,y,z) un point de l'espace, [latex]\delta[/latex] décrit l'ensemble des points de l'espace tel que [latex]z^2\geq4xy[/latex] (2) soit un double cône symétrique par leur sommet commun (voir la photo de NickoGecko)

Je vais considérer un cube de l'espace et déterminer les fractions de volume de ce cube qui respectent (2) ou non.

Coté du cube: 2L (L un réel positif).
Ce cube sera centré à l'origine de l'espace donc x, y et z appartiennent à [-L;L]

Prenons le cas de l'égalité à partir de (2):
[latex]z^2=4xy[/latex] soit [latex]y=\frac{z^2}{4x}[/latex] (3) pour x non nul.

A partir de (3), on détermine rapidement les caractéristiques géométriques des cônes:
[latex]h=\frac{\sqrt{2}}{2}|z|[/latex]  (hauteur des cônes en fonction de z)

[latex]D=2|z|[/latex] (diamètre de la base des cones en fonction de z)
[latex]\alpha=109.47[/latex]° (angle au sommet des cônes donné titre informatif)

Aux limites du cube considéré; |z|=L

[latex]V_{cones}=\frac{2\pi\sqrt{2}}{3}L^3[/latex] (volume des 2 cônes)

[latex]V_{cube}=8L^3[/latex] (volume du cube)

Tout point pris dans le cube mais à l'extérieur des 2 cônes respectent (2) donc la proportion des équations de 2nd degré solvables dans [latex]R[/latex] est [latex]\frac{V_{cube}-V_{cones}}{V_{cube}}=1-\frac{2\pi\sqrt{2}}{24}\approx0.63[/latex]  (cette proportion est indépendante de L)

Les équations de 2nd degré solvables dans [latex]R[/latex] sont donc plus nombreuses que celles non solvables dans [latex]R[/latex].

Par ailleurs, un petit algorithme de tirage d'un milliard de triplets (a, b, c) m'a donné les proportions suivantes:
[latex]\delta<0: 37.2[/latex]%
[latex]\delta\geq0: 62.8[/latex]%

Ce sont les résultats de cet algo qui m'ont d'ailleurs poussé à poster cette solution que je gardais dans mes brouillons:)

L’algorithme en question ici pour les curieux:
Spoiler : [Afficher le message] http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Algo_2ndD.JPG

 #25 - 23-10-2013 18:18:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Equations du second degréé

Bon bah ça va mon raisonnement n'était pas trop loin du résultat trouvé par kossi_tg big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

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