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 #1 - 17-12-2013 22:51:39

Neotenien
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 56

Les vaches sont dans el pré

Bonsoir à tous.

Alors puisqu'il y a des énigmes basées sur les systèmes d'équations à 2 inconnues, j'en ropose une tiré d'un des livres d'énigmes que j'ai. Attention, la résolution de cette équation est légèrement plus complexe que la résolution classique (attendez les Spoilers si vous séchez)

L'herbe d'un pré pousse partout avec la même vitesse et densité.

On sait que 70 vaches la mangeraient en 24 jours et 30 vaches en 60 jours.

Combien de vaches mangeraient l'herbe du pré en 96 jours ?

Jusqu'ici, j'ai eu de bonnes réponses. Avec des démonstrations plus ou moins précises ou complètes. J'ajoute un Spoiler pour une vision plus précise.

Spoiler : [Afficher le message] Quelle est la vraie variable entre les 2 cas ?

Question subsidiaire : quel type de fonction avons nous là ? Qu'est ce qui varie entre les 2 cas ? Et (Dylasse a déjà répondu) dans quel cas l'herbe du pré ne sera jamais entièrement consommé ? (on suppose qu'il y a au moins une vache).



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 #2 - 17-12-2013 23:11:52

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Lse vaches sont dans le pré

Si l'herbe ne poussait pas, 30 vaches la mangeraient en: 24 x 70 / 30 = 56 jours.
Elles ont mis plus longtemps (60 jours) car l'herbe a poussé au fur et à mesure.
On remarque cependant que: 96 - 60 = 60 - 24. La quantité (vaches.jours) a donc
dûe augmenter de la même valeur, soit: 30 x 60 - 70 x 24 = 1800 - 1680 = 120,
pour atteindre: 1800 + 120 = 1920.
Donc il faudra: 1920 / 96 = 20 vaches, pour manger l'herbe en 96 jours.

 #3 - 18-12-2013 00:16:52

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Lees vaches sont dans le pré

30*60 - 70*24 = 120
donc en 36 jours, il a poussé une quantité d'herbe de 120 vaches*jours.

(30*60+120)/96 = 20
donc 20 vaches mangeront l'herbe du pré en 96 jours.

 #4 - 18-12-2013 00:29:46

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Les vaches sont dans le prré

Soit q la quantité initiale d'herbe et p la pousse journalière.
Soit x la consommation journalière d'une vache.
Mise en équation :
q + 24p = 24*70x
q + 60p = 60*30x
Il vient par soustraction : 36p = 1800x - 1680x
Alors : q + 96p = 1800x + 120x
D'où le nombre de vaches : 1920 / 96  = 20


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 18-12-2013 07:54:26

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

les vachzs sont dans le pré

On va appeler Q(t) la quantité d'herbe sur le pré au cours du temps,
Q0 la quantité d'herbe initiale,
P la quantité d'herbe qui pousse par jour,
M la quantité d'herbe mangée par une vache en 1 jour,
et n le nombre de vache présentes dans le pré.

Q(t) = Q0 + Pt - nMt

Cette expression suppose que :
+ les vaches ne se gênent pas entre elles (M est une constante indépendante de n)
+ la pousse de l'herbe n'est pas influencée par les coupes précédentes, ni par la présence de vaches qui piétinent ou offrent leur engrais ! (P est également une constante, indépendante de Q(t) et de n).

D'après l'énoncé on sait que :
0=Q0 + 24 P - 70x24 M
0=Q0 + 60 P - 30x60 M


2 équations à 3 inconnues... comment on fait !
En fait, on se fiche de la valeur de Q0, c'est la référence de quantité d'herbe. A un changement d'unité près, on peut décider que Q0=1.
Dit autrement, cela revient à résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues : P/Q0 et M/Q0.

On trouve : M/Q0=1/1600 et P/Q0=1/480.

Ensuite, il faut trouver n tel que 0 = 1 + 96 P/Q0 - n M/Q0 96.
On trouve n=20.

Pour aller plus loin : dans le cas où P-nM est positif, à la fin de la journée, il y a plus d'herbe qu'au début. Cela arrive pour n<=P/M=10/3=3,33.

Donc 4 vaches peuvent finir le pré... il leur faut 240 jours,
mais 3 vaches n'en viendraient jamais à bout et mourraient étouffées par la luxuriance de la végétation sensée les nourrir. Ça fait réfléchir quand même.

 #6 - 18-12-2013 10:18:30

Neotenien
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 56

Les vaches sotn dans le pré

Félicitations à Francky1103 (le premier), Titoufredscrablor et Dylasse qui ont trouvé la bonne réponse.

Quelques remarques sur vos réponses:

Francky1103 : oui l'herbe a poussé entre temps d'une quantité fixe par jour. C'est indiqué dans l'énoncé.

Francky1103 et Titoufred : votre démarche est bonne, mais j'aurais aimé que vous mettiez la valeur de la variable "vache.jour" et utiliser une constante de temps. Le fait que les 2 différences soient identiques n'est que fortuite...

Scrablor : ta démarche est bonne. Cependant, j'aurais aimé que tu indiques ce à quoi correspond chaque variable. Et il manque une étape (enfin 2 plutôt) dans ta démonstration.

Dylasse : tu as un peu complexifié le problème au début... pourqauoi différencies-tu le "nombre de vaches" et "la quantité d'herbe mangée par une vache" dans la problématique ? Tu aurais pu mettre n au lieu de nM. Mais ta démarche est bonne et je te repercie de la précision de fin! Très utile.

J'ajoute une autre question au problème et je mets un ou 2 spoilers pour les autres.

 #7 - 18-12-2013 10:29:29

fmifmi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 87

les vaches sont dans le pté

Le probleme n'a pas de sens:

il restera toujours de l herbe a brouter

imaginez que vous tondiez une immense piste circulaire en herbe  avec une tondeuse ( la tondeuse ayant la largeur de la piste)

quand vous aurez fait un tour complet, l herbe aura repoussé et vous n'aurez jamais fini

 #8 - 18-12-2013 10:53:11

Neotenien
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 56

Les vaches sont dans le pér

fmifmi : oui le problème n'a pas de sens concrètement.

Puique, concrètement, la quantité d'herbe poussée dépend de la quantité d'herbe ayant des graines la veille.

Pour ce qui est de la tondeuse, sa capacité de tonte quotidienne est assez supérieure à la quantité de repousse de l'herbe (on suppose que la capacité de la tondeuse est la même et que la distance à parcourir pour aller de tel endroit à tel endroit du jardin est négligeable).

Mais je pourrais très bien changer le problème initial avec une fonction (ou plutôt une suite récurente) qui dépend de la quantité d'herbe initiale. Est ce que ça intéresserait quelqu'un un tel problème ? (Pour le moment, je n'ai pas réellement vu de problèmes sur les suites récurente, quelques un sur des séries à termes constant mais c'est tout).

 #9 - 18-12-2013 12:35:35

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Les vacehs sont dans le pré

Soit Q la quantité d'herbe initiale, V ce que mange une vache en 1 jour, et P la quantité d'herbe qui pousse en 1 jour.

70*24 V = Q + 24 P
30*60 V = Q + 60 P
N*96  V = Q + 96 P

Une vache mange en un jour : (Q + 24 P) / (70*24)
Une vache mange en 60 jours : 60 (Q + 24 P) / (70*24)

Pour manger Q en 60 jours, il faut (70*24)/(60) vaches soit 28 vaches.

Dans le même temps, ces 28 vaches mangeront (60*24*28) P / (70*24) soit 24 P

Les deux dernières vaches ont donc mangé 36 P en 60 jours. Une vache mange donc 36 P / 120 par jour. On en déduit que Q est égal à ( 70*24*36 P / 120 ) -24 P


La dernière équation devient :
(N*96*36 P) / 120 = ( 70*24*36 P / 120 ) -24 P + 96 P
(N*96*36 )  = ( 70*24*36   ) -120*24  + 120*96
3456 N =  69120

Il faudra donc 20 vaches.

Le pré ne sera jamais consommé s'il n'y a que juste assez de vaches pour manger la repousse quotidienne soit :

N* 36 P /120 = P
N<120/36
Il faut au moins 4 vaches pour venir à bout de ce pré mais ça leur prendra

J* 4 * 36 P / 120 = ( 70*24*36 P / 120 ) -24 P + J * P
J* 4 * 36 / 120 = ( 70*24*36 / 120 ) -24 + J
J * 1,2 = 480 + J


2400 jours !!!

 #10 - 18-12-2013 12:44:50

Corycos
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 25

Les vachess sont dans le pré

Bonjour à tous.

La réponse :Vingt vaches.

Voilà ma solution:
Soit:
P : la quantité d'herbe du pré.(Avant que les vaches commencent  à la manger.)
x : la quantité d'herbe qui pousse chaque jour.
y : la quantité d'herbe mangée par une vache par jour.
z : le nombre des vaches qui mangeraient l'herbe en 96 jours.

P + 24(x-70y)=0
P + 60(x-30y)=0 d'ici
P + 24x-1680y = P + 60x - 1800y
120y = 36x
10y = 3x   y=3      x=10 (Ce sont des valeurs proportionnelles entre x et y)

Alors puisque P + 24(x-70y)=0
P + 24(10-210)=0
P + 240 = 5040
P = 4800 (unités)
4800 + 96(10 - 3z) = 0
4800 + 960 - 288z = 0
5760 = 288z
5760/288 = z
20 =z



PS.Mon français n'est pas bon;je viens de commencer  à l'apprendre,
J'éspère qu'on me pardonne mes fautes.(Si j'en ai commises)

 #11 - 18-12-2013 12:58:14

Neotenien
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 56

leq vaches sont dans le pré

Oui Gwen27. Mais au moins ces vaches là ne subiront pas la crise durant tout ce temps... Et ça montre également que plus on est de monde sur Terre, moins notre durée de survie est longue... hmm

C'est un animal bien sympathique la vache, la France est un pays de vache (à lait et à viande)... Euh n'y voyez pas de la dérision lol...

Pour info, le cheptel français est d'environ 21 millions de bovins.

Pour info également, les français consomment en moyenne 3 fois la quantité de viande conseillée par les médecins, par an (ils conseillent environ 30 kg par an et les français en consomment 89kg par an). Personnellement, je suis végétarien depuis 2007... Alors je fais baisser très légèrement cette moyenne. Mais comme on est, en Europe, avec la Pologne, les 2 très mauvais exemple concernant le végétarisme (http://www.vegactu.com/actualite/carte- … onde-6921/ ) on fait très peu baisser cette moyenne...

Si la proportion de végétarien augmentait en France, l'agriculture française (et l'économie française) ne s'en porterait que mieux et ferait moins appel au PAC.

 #12 - 18-12-2013 18:12:23

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

les vachrs sont dans le pré

Ok Neotenien, je vois ce que tu veux.
Soit Q0 la quantité d’herbe juste avant l’arrivée des vaches.
On peut exprimer Q0 en VJ (vaches.jours), ce qui correspondrait à l’herbe que mangeraient Q0 vaches en 1 jour ou que mangerait 1 vache en Q0 jours.
On va appeler C la vitesse à la quelle l’herbe pousse, qu’on peut exprimer en V (vaches) ou plus exactement en VJ/J, et N la vitesse à laquelle l’herbe est mangée,
qui correspond au nombre de vaches présentes.
Et on va appeler T le temps écoulé, exprimé en J (jours).
On a l’équation: Q(T) = Q0 – N.T + C.T
Les valeurs Q0 et C sont des inconnues qu’on va chercher à déterminer.
70 vaches en 24 jours => Q(24) = 0 = Q0 – 70 x 24 + 24.C
30 vaches en 60 jours => Q(60) = 0 = Q0 – 30 x 60 + 60.C
C’est un système de 2 équations à 2 inconnues que voulait Neotenien.
On trouve: C = (30 x 60 - 70 x 24) / (60 – 24) = 10/3 V, et: Q0 = 1600 VJ
On peut noter que C pourrait représenter le nombre de vaches N0 pour lesquelles
le champs est à l’équilibre. Si N > N0, alors le champs sera consommé un jour; par contre si N < N0, alors les N vaches ne viendront pas à bout du champs.
Notre équation devient: Q(T) = 1600 – N.T + 10.T / 3
On cherche le nombre de vaches N0 pour lesquelles Q(96) = 0
On trouve N0 = 1600 / 96 + 10 / 3, soit: N0 = 20 vaches. Et voilà.

 #13 - 18-12-2013 18:20:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Les vaches sont dans lee pré

20 vaches pile.

 

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