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#1 - 29-12-2014 13:13:39
- Promath-
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les plznètes
Dans un système, il existe 100 planètes sphériques de mêmes tailles, d'aire 1. Je décide de cultiver une plante sur ces planètes. Mais attention! On ne doit pas voir mes cultures d'une autre planète! Si on peut voir un point d'une planète depuis une autre, alors celui-ci n'est pas cultivable.
Quelle surface pourrai-je cultiver, exprimée en unité de surface de planète?
L'énigme n'est absolument pas de moi! Mais je la trouve intéressante. Je citerai sa source plus tard
PS: Image inutile, quoique
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#2 - 29-12-2014 15:47:08
- gwen27
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Les plaanètes
Bah 1 est une réponse évidente si on imagine les planètes alignées.
#3 - 29-12-2014 16:32:12
- Promath-
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es planètes
La réponse est évidente, mais la demonstration est plus importante
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#4 - 29-12-2014 17:24:15
- Vasimolo
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LLes planètes
Il est clair que si la réponse est unique elle ne peut être que 1 . Il suffit d'aligner les planètes sur une droite .
Après bien sûr il faut expliquer pourquoi la réponse est la même pour toute autre disposition .
En fait ça à l'air assez évident par récurrence sur le nombre de planètes .
Vasimolo
#5 - 29-12-2014 17:24:44
- scrablor
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Les planèes
Les zones cultivées sont sur l'enveloppe convexe du système. Par des translations (99 au maximum), on peut reconstruire une planète identique, donc l'aire vaut 1.
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#6 - 29-12-2014 17:28:54
- Promath-
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Les palnètes
C'est cela mais on attend une preuve
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#7 - 29-12-2014 18:03:06
- golgot59
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les planèyes
Si on les aligne toutes, seules les 2 demi-sphères aux extrémités sont cultivables, donc 1.
J'ai fait la moitié du boulot : le cas aligné.
Je laisse les autres faire l'autre moitié, moi je suis fatigué.
#8 - 29-12-2014 18:11:57
- Vasimolo
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Lees planètes
D'après mon dessin qui n'est pas une preuve , on peut translater l'ensemble des parties invisibles sur une seule planète pour la recouvrir complètement sans superposition .
Il y a sûrement un moyen de montrer ça de façon plus évidente
Vasimolo
#9 - 29-12-2014 18:39:20
- Franky1103
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Les planètess
Si j'aligne toutes les planètes, j'aurai: 2 x (1/2) = 1. Si je sors maintenant une planète de cet alignement en la plaçant n'importe où, je vois que la surface non vue de celle-ci augmente de la même valeur que les surfaces non vues des autres planètes diminuent. Je peux reproduire cette action autant de fois que je souhaite. La valeur 1 ne changera donc pas, quelle que soit finalement la position des 100 planètes.
#10 - 29-12-2014 19:14:42
- Promath-
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LLes planètes
golgot: pas mal c'est déjà ça
Vasimolo: oui mais dans l'espace les planètes peuvent se répartir autrement. On attend une preuve rigoureuse
FRanky: troisième ligne: preuve?
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#11 - 29-12-2014 19:37:21
- Vasimolo
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Les plaètes
Il me semble qu'on peut supposer les planètes transparentes sans changer le problème et en le le rendant évident .
Vasimolo
#12 - 29-12-2014 19:47:55
- Promath-
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Less planètes
mais non ce n'est pas trivial du tout
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#13 - 29-12-2014 19:54:38
- nodgim
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lrs planètes
Je demande qq précisions: Dans un système, toutes les planétes tournent autour d'un soleil selon un plan. Les planètes ont une période de révolution, autour de leur soleil, variable selon les lois de Képler (masse et distance du soleil), mais heureusement toutes dans le même sens. De plus, elles tournent souvent sur elles mêmes, avec parfois un axe de pôle décalé du plan d'écliptique. Quid de ton système ?
#14 - 30-12-2014 10:33:42
- unecoudée
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Les planèttes
salut.
je considère la sphère circonscrite aux 4 planètes telles que les 96 autres sont dans la sphère. sur ces 96 planètes , aucune n'est cultivable. les planètes sont toutes de même taille . donc 4pi stéradians resteront invisibles des autres planètes. et cette ouverture angulaire correspond à la surface d'une planète . on peut donc cultiver sur une aire a = 1 je crois.
#15 - 30-12-2014 11:59:27
- Vasimolo
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LLes planètes
Bon je crois avoir l'idée
On repère les points à la surface d'une planète en les identifiant par translation . Il est clair que si le pôle nord d'une planète n'est visible par aucune autre planète alors le centre de chacune des autres planètes se situera sous le plan de son équateur et sera donc visible par la planète . En bref un point de coordonnées données ne peut être invisible que sur une seule planète . Maintenant si on choisit un pôle , on peut trouver un plan passant par ce pôle en laissant toutes les planètes du même côté ( il y a quelques exceptions pour des points sur un nombre fini de cercles mais sans incidence pour l'aire ) : ce point n'est donc visible par personne .
Vasimolo
#16 - 30-12-2014 13:14:03
- Promath-
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Les plantèes
Le système est totalement indépendant, les planètes sont immobiles
Unecoudée: oui mais est-ce valable pour tout système?
Vasimolo:C'est ça! tu as bien prouvé l'unicité et l'existence! Chapeau
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#17 - 30-12-2014 17:57:52
- unecoudée
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les planètzs
salut.
pour un système ou les planètes sont alignées , dans ce cas on cultivera les 2 hémisphères extrêmes . pour un système ou toutes les planètes sont sur un même plan , alors considère les planètes représentant les sommets d'un polygone convexe dont la somme des angles vaut toujours pi.(s-2) s étant le nombre de sommets . Les autres planètes sont à l'intérieur de ce polygone. 2pi pour un cercle correspond à 4pi stéradians pour une sphère . et dans ce cas on ne pourra cultiver que sur une unité d'aire à la surface de ces planètes extérieures.
#18 - 30-12-2014 19:55:23
- Promath-
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es planètes
S'ils ne sont pas sur un même plan?
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#19 - 30-12-2014 23:41:32
- shadock
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Les plnaètes
Doit-on considérer que toutes les planètes ont leur centre sur une sphère imaginaire et tout le plus éloigné possible des autres ? Doit-on considérer qu'elles sont sur un même plan? Qu'elles sont toutes alignées les unes derrière les autres...
J'avoue ne pas voir comment placer les planètes...
Une fois cette question levée j'imagine qu'il faut faire des projections de cercle sur des sphères, un peu chiant mais pas très compliqués je pense.
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#20 - 31-12-2014 10:25:31
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Les plnaètes
Shadock: L'interêt est de montrer dans un cas général. Ne te complique pas avec des projections!
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#21 - 01-01-2015 07:46:02
- nodgim
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les olanètes
1 sphère ! Si on enveloppe le système d'une bâche, toutes les directions de l'espace issues du système sont entièrement données par les sphères, les plans de la bâche entre planètes n'apportant rien de plus qu'aux contours des sphères. Attention cependant: tes légumes ne pousseront pas dans l'obscurité !
#22 - 01-01-2015 11:07:06
- fix33
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les olanètes
Si on suppose les planètes sur une même sphère et infiniment éloignées les une des autres, la moitié de la surface sera hors de vue pour chacune des planètes. Donc 50 !
Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
#23 - 01-01-2015 12:16:08
- Promath-
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Les planète
Nodgim: c'est sur ce principe qu'il faut raisonner. Prouve l'existence et l'unicité de telles directions et ce sera bon.
Fix: non du coup, compte la planete à droite et à gauche d'elle. Ca enleve. Et les dirextions entre spheres restent les memes si le rayon augmente. De plus c'est un système fini, il est possible de me déplacer entre les planètes. S'agirait pas de mettre une infinité de temps à voir mes cultures
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#24 - 01-01-2015 17:51:35
- nodgim
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lzs planètes
L'unicité des directions et sens est évident pour un volume convexe, ce qui est bien le cas de l'enveloppe du système. C'est comme si on avait éclaté la surface d'une sphère en plusieurs morceaux. C'est un problème qui je crois a déja été posé sur ce site mais sous une autre forme, mais je ne sais plus laquelle.
#25 - 01-01-2015 17:55:57
- Vasimolo
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Les planèètes
A mon avis il faut du strictement convexe . L'enveloppe convexe de l'ensemble des planètes contient généralement des polygones plans et là il y a une infinité de points pour une direction donnée .
Vasimolo
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