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 #1 - 07-05-2015 23:49:09

mamouaz
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 25

Résultat commnu

Bonjour à  tous je viens aujourd'hui vers vous avec une enigme mathématique plutot facile quoique compliquée au premier abord.
On a  les deux équations
x²+x+a=0
x²+2ax+1=0
Trouver la valeur de a pour que ces deux équations aient au moins un résultat commun.



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#0 Pub

 #2 - 08-05-2015 08:13:14

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 401

Résultat cmomun

Bonjour,
Les racines sont, pour la 1ère équation
x1 = (-1+sqrt(1-4*a))/2
x2 = (-1-sqrt(1-4*a))/2

et pour la seconde
x3 = -a+sqrt(a*a-1)
x4 = -a-sqrt(a*a-1)


Pour a = -1.0893389065, on a une racine commune x1 = x4 = 0.6572981061.

 #3 - 08-05-2015 15:08:37

mamouaz
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 25

tésultat commun

a*a-4 pour la seconde si je ne me trompe pas? et peux tu donner la réponse en nombre exact avec racine ?

 #4 - 08-05-2015 18:06:39

gaara2a
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 23

Résultat cmmun

Supposons qu'il existe x tel que x²+x+a=0 et x²+2ax+1=0, alors x²+x+x=x²+2ax+1, donc x=(a-1)/(2a-1)
on remplace dans la première équation, et il faut résoudre 4a^3-a²-4a+2=0

Je trouve un a d'à peu près -1.08933890647147178, la réponse exacte est trop compliquée pour être écrite.
Et la solution des 2 équations est x=0.657298

 #5 - 08-05-2015 19:28:25

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 401

eésultat commun

Autre méthode :

En éliminant a entre les 2 équations, on obtient
2*x**3 + x**2 - 1 = 0 dont la solution est la racine commune.


On en déduit, avec p=-1/12 et q=-53/108

x = (-q/2+sqrt(q**2/4+p**3/27))**(1/3) + (-q/2-sqrt(q**2/4+p**3/27))**(1/3) - 1/6 = 0.6572981061383739

a = -x*(x+1) = -1.0893389064714671

Résolution de l'équation du 3ème degré : http://serge.mehl.free.fr/anx/equ_deg3.html

Ajouté :
x = ( 53/216 + sqrt(13/216) )**(1/3) + ( 53/216 - sqrt(13/216) )**(1/3) - 1/6

 #6 - 08-05-2015 21:47:04

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Résultat ocmmun

On remarque que l’éventuelle racine commune est unique. En effet dans le cas
contraire on aurait simultanément: 2a=1 et a=1, ce qui est impossible.
L’éventuelle racine commune unique x0 vérifie: x0²+x0+a=0 et x0²+2ax0+1=0,
soit par différence: x0=(1-a)/(1-2a), qui réinjecté dans les équations donne:
4a³-a²-4a+2=0, résoluble par la méthode de Cardan par exemple.
Je trouve deux racines imaginaires pures et une racine réelle pure proche de: a=-1,08934

 #7 - 08-05-2015 23:37:18

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Résltat commun

Salut !

J'ai fait :
-x²=-x²
(2a-1)x=a-1
x=(a-1)/(2a-1)
Dans (1) : (a-1)²+(a-1)(2a-1)+a(2a-1)²=0
a²-2a+1+2a²-3a+1+4a^3-4a²+a=0
4a^3-a²-4a+2=0

a est la solution de cette équation...

 #8 - 09-05-2015 08:10:18

mamouaz
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 25

Résultat communn

En effet c est ca mais je pensais surtout si une résolution purement graphique serait possible?

 

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