Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 13-09-2016 13:55:46

robert78
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

Entre enigme de lettrs et enigme mathématique

Bonjour à tous

Vous connaissez l'addition des nombres entiers naturels. Imaginons une autre forme d'addition, celle qui donnent le total de caractères des nombres écrits en lettres.

Dans la première addition : 12+7+8=27
Dans la seconde addition : douze+sept+huit=13 (caractères)

Saurez vous donner la liste de tous les cas où les deux additions donnent le même résultat ?
La liste n'est pas vide, mais je n'ai pas le solution complète



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 13-09-2016 14:26:41

caduk
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 67

entee enigme de lettres et enigme mathématique

Bonjour, début de réflexion sur les chiffres de 0 à 9
0 -> 4 (+4)
1 -> 2 (+1)
2 -> 4 (+2)
3 -> 5 (+2)
4 -> 6 (+2)
5 -> 4 (-1)
6 -> 3 (-3)
7 -> 4 (-3)
8 -> 4 (-4)
9 -> 5 (-5)
On peut commencer la liste:
(+1-1):
1+5
(+2-1-1):
(2,3,4)+5+5
(+1+1-1-1): on trouve 1+1+5+5 combinaison de deux fois 1+5(déjà fait car on peut simplifier (+1-1) ...
(+1+2-3):
1+(2,3,4)+(6,7)
(+1+2-1-1-1) combinaison de (+2-1-1) et (+1-1)
(+1+1+1-3)
1+1+1+(6,7)
(+1+1+1-1-1-1) combinaison de 3 fois (+1-1)
(+4-4):
0+8
(+4-1-3):
0+5+(6,7)
(+4-1-1-1-1)
0+5+5+5+5
(+2+2-4):
(2,3,4)x2+8
(+2+2-1-3):
(2,3,4)x2+5+(6,7)
(+1+1+2-4):
1+1+(2,3,4)+8
(+1+1+1+1-4):
1x4 + 8
(+4+1-5):
0+1+9
(beaucoup de possibilités avec un +4+1, mais pas d'autre solution "première" car on ne peut pas avoir de -1 (combinaison avec +1-1) et il n'y a pas de -2
(+1+2+2-5):
0+(2,3,4)x2 + 9
(+4+2-1-5):
0+(2,3,4)+5+9
(+4+2-3-3):
0+(2,3,4)+(6,7)x2
(+4+1+1-3-3):
0+1x2+(6,7)x2
...
et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ne trouve plus de solutions premières...
L'une des dernières doit être quelque chose comme (+4+4+4+4-5-5-5) (mais je ne suis pas sûr)

Tout cela me laisse penser que l'on peut trouver un algorithme assez efficace facilement.

Quelques problèmes à régler:
démontrer que pour un nombre d'entiers donné (ici de 0 à 9), on peut trouver un nombre fini de combinaison (je pense qu'un peu de Bézout fera l'affaire...)
Edit:
Ca va, c'était pas trop dur, comme il y a un nombre fini d'entiers, il y a un nombre fini de différences (les +4+1+2+2+2-1-3-3-4-5 que j'ai relevées sont inférieures à 5).
Si il y a un nombre infini de combinaisons, on peut trouver un nombre tel qu'il apparait autant de fois que l'on souhaite dans la décomposition (En effet, si tout les entiers ne pouvaient pas apparaitre autant de fois que l'on veut, on aurait un nombre fini de combinaison.) En poursuivant le raisonnement, on peut trouver autant de +n et autant de -m que l'on souhaite. Les quantités des n et de m ne pourront pas dépasser leur ppcm (oui oui, j'ai confondu avec Bézout big_smile) On aura donc un nombre fini de combinaisons...

Ça ne m'a pas l'air super clair, si tu veux des explications supplémentaires, demande...

 #3 - 13-09-2016 18:33:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

entre enigme de lettres et rnigme mathématique

Pour compléter ou préciser la réponse de Caduk :

ça semble difficile de donner la liste complète où l'addition des chiffres et l'addition des lettres correspondant à ces chiffres donne le même résultat. En effet, cette liste est infinie.

Avec ces 2 seules additions-solutions :

1+5 = 6 et 3+5+5=13, n'importe quel nombre à partir de 58 (6*13-6-13-1), si je ne m'abuse, est solution, car n'importe quel nombre à partir de 58 peut s'écrire comme expression de 6k+13j (k fois l'écriture de 1+5 et j fois l'écriture de 3+5+5).

 #4 - 13-09-2016 18:40:54

caduk
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 67

Entre enigmme de lettres et enigme mathématique

En effet, on ne peut pas donner la liste complète, mais mon post montre deux choses: d'une part, on peut réduire toutes ces additions à des additions dites "premières" (Un peu comme les nombres premiers, on peut décomposer chaque nombre en produit de facteurs premier, là aussi, on peut décomposer une somme en somme de sommes premières (ça fait beacoup de sommes tout ça hmm), certes pas de manière unique, mais le problème peut se résoudre à seulement chercher ces sommes.
D'autre part, j'ai démontré que si l'on ne considère que les n premiers entiers, il n'existe qu'un nombre fini de sommes premières, on peut donc les lister...
Après, il ne faut pas s'attendre à une formule de derrière les fagots pour trouver ces sommes directement, étant donné qu'il n'y a à priori aucun lien mathématique logique entre un chiffre et le nombre de lettres le composant. C'est pour ça que l'on ne peut qu'au mieux chercher un algorithme le plus efficace possible. (malheureusement, en ce moment, je n'ai pas beaucoup de temps pour coder...)

nodgim tu autorises les soustractions, ça ne nous simplifie pas la tâche tout ça... big_smile

 #5 - 13-09-2016 18:51:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Entre enigme de lettres et enige mathématique

Pourquoi dis tu que j'autorise les soustractions ? Je ne vois pas.

 #6 - 13-09-2016 19:07:46

caduk
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 67

Entre enigme de lettres et enigme mathématiqeu

Ah, à partir de 58, j'ai mal lu, désolé... big_smile

 #7 - 14-09-2016 03:36:13

robert78
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

Entre enigme de lettres et enimge mathématique

Je n'avais pas prévu d'utiliser la soustraction.

La liste est infinie

Dans la numération française aucun nombre n'est égal au nombre de lettres nécessaires pour l'écrire.
Il y a deux catégories de nombres, la catégorie A des nombres qui s'écrivent avec plus de lettres que leur valeur, et la catégorie B de ceux pour qui c'est moins.

La catégorie A contient seulement 0-1-2-3-4. La catégorie B contient tous les autres
Comme le remarque caduk
0 -> 4 (+4)
1 -> 2 (+1)
2 -> 4 (+2)
3 -> 5 (+2)
4 -> 6 (+2)
Cela suffit pour trouver des additions valides pour tous les nombres de la catégorie B.
Exemple cent => l00-lettres(cent)=96
Qn peut construire 96*lettres(un)+lettres(cent)=96*1+100
ou à 24*lettres(quatre)+lettres(cent)=24*4+100
etc.

On peut chercher (aux permutations près) selon le nombre de termes des additions.
Avec deux termes, il y a seulement 2 solutions
        lettres(zero)+lettres(huit)=0+8
        lettres(un)+lettres(cinq)=1+5

Avec trois termes, il y a seulement 18 solutions (si je ne me trompe pas!)
Avec quatre termes, il y a seulement 60 solutions (si je ne me trompe pas!)

 #8 - 14-09-2016 08:49:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Entre enige de lettres et enigme mathématique

On peut lister les nombres qu'on ne peut pas écrire avec cette contrainte :
0 à 5 et 7.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pif, Paf et ?

Sujets similaires

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete