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 #1 - 10-07-2012 09:18:31

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

apéritif mathématisue

Résoudre le système suivant:
x/y = x - z
x/z = x - y
Déterminer les bornes entre lesquelles
sont comprises les solutions.



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 #2 - 10-07-2012 12:13:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

apéritif mathématoque

Bonjour

Sauf erreur [latex]z=y[/latex] et [latex]x=\dfrac{y^2}{y-1}[/latex] donc [latex]y[/latex] et [latex]z[/latex] peuvent prendre toutes les valeurs différentes de [latex]1[/latex] et [latex]x \notin ]0;4[[/latex] .

Vasimolo

 #3 - 10-07-2012 14:56:53

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

apérutif mathématique

Les solutions sont données par
[TeX]y=z\not=0[/TeX]
[TeX]y=z\not=1[/TeX]
[TeX]x=-\frac{y^2}{1-y}[/TeX]
Les bornes sont données par [latex]x<=0[/latex] ou [latex]x>=4[/latex].

 #4 - 10-07-2012 18:15:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

apéritif matjématique

Dans quel ensemble nous trouvons nous ? celui des Réels, des complexes, des entiers ?

 #5 - 11-07-2012 10:01:02

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Appéritif mathématique

y=z

C'est l'équation d'une conique, intersection du plan y=z et du cylindre x=xy-y²

C'est l'hyperbole [latex]z=y=\frac12(x\pm\sqrt{x^2-4x})[/latex]
définie pour [latex]x\le 0\,et \,x\ge4[/latex].

 #6 - 11-07-2012 15:58:36

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Apéritif matéhmatique

@nodgim: on est sur R (les réels)
@vasimolo, masab, halloduda: ok
Trop facile, l'apéritif math lol

 #7 - 12-07-2012 22:16:11

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Apéritif mathématiquue

Salut !

x/y = x - z (1)
x/z = x - y (2)

(1)-(2) : x(z-y)=y-z
Donc  si y=z alors x peut prendre n'importe quelle valeur,
sinon x=-1 et alors :
1/y=1+z
1/z=1+y

1=y+yz (a)
1=z+yz (b)

donc (a-b) : y=z et y²+y-1=0 qui donne y=z=(-1+ou-racine(5))/2

Conclusion : (x;y;z)=[ [(-1-racine(5))/2;-1;(-1+racine(5))/2] ; Quelques soient a et b : (a;b;b) ]

 #8 - 13-07-2012 22:23:36

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Apéritif mathéématique

golgot59 fait une erreur dans (1)-(2) !

 #9 - 13-07-2012 23:55:00

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Aéritif mathématique

Merci à tous pour votre participation et voici, en cas de besoin, la solution détaillée:

Il est clair que y et z sont différents de 0.
x/y = x - z et x/z = x - y donnent: x = xy - yz et x = xz - xy d’où: x(y-z) = 0
On ne peut avoir: x = 0 (on aurait alors: y = 0 et z = 0): on a donc: y = z = k, où k est un réel non nul.
Il s’ensuit que: x = xk - k², soit: x(k - 1) = k²
Si: k est égal à 1, alors les équations initiales n’ont pas de solutions.
Si: k est différent de 1, alors: x = k² / (k - 1)
L’ensemble des solutions du système est l’ensemble des triplets (k² / (k - 1); k; k) où k est un réel différent de 0 et de 1.
Il reste à déterminer les bornes de x.
Soit a un réel; x prend cette valeur si et seulement si: k² / (k - 1) = a, c’est-à-dire si et seulement l’équation: k² - ak + a = 0 admet des solutions réelles.
Le discriminant de l’équation vaut: a(a - 4): il en découle que: x >= 4 ou: x <= 0

 

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