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Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 12-02-2011 17:43:28

Jackv
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Enigmes résolues : 34
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Défi matématique à la logique

Soient 3 points A, B et C non alignés dans un plan muni d'une norme "distance".
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Defi_logique1.jpg

Pourriez-vous définir N points Pi dans ce plan (par exemple N = 10) et une fonction à valeur numérique [latex]F[/latex] tels que :

   [latex]F[/latex](A,Pi,B)   <   [latex]F[/latex](B,Pi,A)  avec  [latex]F[/latex](A,Pi,B) + [latex]F[/latex](B,Pi,A)  [latex]\leq[/latex]  N

   [latex]F[/latex](B,Pi,C)   <   [latex]F[/latex](C,Pi,B)  avec  [latex]F[/latex](B,Pi,C) + [latex]F[/latex](C,Pi,B)  [latex]\leq[/latex]  N

   [latex]F[/latex](C,Pi,A)   <   [latex]F[/latex](A,Pi,C)  avec  [latex]F[/latex](C,Pi,A) + [latex]F[/latex](A,Pi,C)  [latex]\leq[/latex]  N  ?


(Quand j'écris Pi je ne parle pas de la fameuse constante mais de l'ensemble des points P indice i !
Quand je dis "<", cela veut bien dire strictement inférieure.)

Question subsidiaire : quelle est la plus petite valeur de N pour laquelle on peut écrire cette triple inégalité ?

Spoiler : [Afficher le message] Si vous ne trouvez pas, regardez du coté de l'énigme "Choix d'une automobile" ; cela a un certain rapport certain.

Spoiler : [Afficher le message] En plus d'appartenir à l'ensemble des nombres réels, les valeurs des fonctions [latex]F[/latex] appartiennent à l'ensemble des entiers naturels et sont comprises dans l'intervalle [0,N].

Vous pouvez faire un copier-coller de la figure dans votre Paint préféré pour y placer vos N points.

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 #2 - 12-02-2011 18:01:26

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3333

Défi mathématique à la logiquue

Je veux bien essayer, mais d'abord j'aimerai juste savoir si [latex]P(A, P_i) < P(A, P_i)[/latex] c'est vraiment possible ? yikes


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 12-02-2011 20:12:07

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

défi mathématique à la loguque

Tu dis que P est une propriété numérique. Donc P(A,Pi), P(B,Pi), P(C,Pi) sont des nombres réels.
Tu dis aussi que "<" est le strictement inférieur. Mais s'agit-il de la relation d'ordre habituelle sur l'ensemble des nombres réels?
Si c'est le cas on a contradiction, d'où ma question.

Malgré ton explication, ça cloche toujours pour moi. C'est peut-être une question bête de vocabulaire qui fait que je prends pas les choses dans le bon sens.
J'attends de voir ce que tu proposeras...

 #4 - 12-02-2011 22:51:43

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Dféi mathématique à la logique

@ irmo322 : Oui, P(A,Pi), P(B,Pi) et P(C,Pi) appartiennent bien à l'ensemble des nombres réels.
Oui, le "<" est bien à prendre au sens habituel de la comparaison de 2 réels.
Et oui, il y a bien une contradiction apparente ...
La seule chose que je veux bien concéder c'est le terme "propriété" qui n'est peut-être pas (???) employé au sens habituel ... mais je n'en ai pas trouvé de plus approprié.
L'énoncé a été depuis modifié pour en tenir compte.

 #5 - 13-02-2011 10:00:58

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Défi mathématique àà la logique

je ne sais utiliser les logiciels , donc je vais essayer d'être clair

je définis la norme P(A,pi)<P(B,pi) le fait il y plus de points pi éloignés de B que de A (facile à trouver, il suffit de tracer la médiatrice de AB ,tous les points du coté de A par rapport à la médiatrice sont plus éloignés par rapport à B que ceux du coté de A)

je trace les trois médiatrices qui définissent 6 domaines N1,.., N6

le nombre de points par domaine étant       ........ ni

je dois avoir

P( A,pi)  <P(B,pi) ==>n2+n3+n4<n1+n5+n6
P(B,pi)    <P(C,pi)==> n4+n5+n6< n1+n2+n3
P(C,pi)    <P'(A,pi)==>n1+n6+n2<n3+n4+n5

on peut trouver une infinité de solution, le mini étant pour 3 points
n1=3   n2=0  n3=3   n4=0   n5=3    n6=1   soit 10 points

n1=2   n2=1  n3=2   n4=1   n5=2    n6=1   soit 9 points

n1=1   n2= 0   n3=1   n4=0  n5=1  n6=0    soit 3 points

 #6 - 13-02-2011 10:15:30

Jackv
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Dfi mathématique à la logique

Bravo à débutant1 qui a tout compris ! big_smile

 #7 - 13-02-2011 17:06:55

fix33
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défi mathématique à la logiquz

A mon avis aussi il y a un problème : "<" (strictement inférieur à) est une relation transitive, ce qui signifie que ton "inégalité" n'est pas possible.
Ou bien il s'agit d'une autre relation non transitive, ou bien le Pi du début et celui de la fin n'est pas le même...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #8 - 13-02-2011 19:38:03

kosmogol
Banni
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Défi mathématque à la logique

débutant1 quand commences-tu les énigmes officielles du chEf' ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #9 - 13-02-2011 19:43:23

gasole
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Défi mathémaitque à la logique

que signifie Pi dans P(A,Pi) ? Un point en particulier ? L'ensemble des points Pi ?

P ne peut pas être une propriété numérique, une propriété donne "vrai" ou "faux", tu veux dire une fonction ?

de toute façon cette inégalité entraîne P(A,Pi)<P(A,Pi) si P(A,Pi) désigne la même chose dans les deux cas, donc P(A,Pi) ne désigne pas la même chose dans les deux cas. Il y a donc un paramètre implicite, ou ce qui revient au même (paramètre de temps) P est un processus.

 #10 - 13-02-2011 20:19:55

Jackv
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éfi mathématique à la logique

Pour gasole (et les autres) : Je rappelle que Pi représente l'ensemble des points P indice i.
D'autre part, on peut effectivement dire que [latex]F[/latex] est une fonction qui renvoie une valeur entière dépendant principalement d'un sommet du triangle ABC et de l'ensemble des points Pi, mais aussi d'avec quoi on la compare.

 #11 - 13-02-2011 23:06:42

gasole
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défu mathématique à la logique

C'est ce que j'avais entrevu et c'est bien le problème, j'allais te dire : il faut que tu nous aides à savoir ce qu'on cherche, parce que "contexte" c'est large... N'oublie pas ce qu'on t'a déjà dit sur la difficulté des énigmes... c'est facile d'en proposer des insolubles. 

Au cas où je ne sois pas clair, pour l'instant je ne cherche pas vraiment à résoudre ton énigme dans la mesure où le champ de recherche est trop large et devient aussi trop permissif.

C'est facile d'avoir P(A,Pi) < P(A,Pi) si le contexte intervient !! Mais c'est une aberration mathématique dans la mesure où une expression mathématique ne doit justement jamais dépendre du contexte...

Exemple avec Pi quelconque, je pose

   P(X,Pi) = 26 - rang(X dans l'alphabet) - nombre de fois où P(X,Pi) est déjà apparu dans la page

et voilà, j'ai P(A,Pi) < P(B,Pi) < P(C,Pi) < P(A,Pi). Il est où le problème ?

NB : j'ai même pas besoin de points Pi moi wink

 #12 - 14-02-2011 01:08:45

Jackv
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Déif mathématique à la logique

A la demande de gasole, j'ai ré-écrit la formulation de mes inégalités, qui se voulait sans doute trop provoquante, mais qui choquait les puristes de mathématiques, et j'ai rajouté un 3ème indice.

En conséquence, je rajoute aussi 24h de délai pour la résolution.

 #13 - 14-02-2011 13:09:44

gasole
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défi mathélatique à la logique

Écrire x<x est une aberration mathématique... si tu appelles ça être puriste alors je suis puriste, même s'il y avait une légère volonté de mépris dans ton usage de ce mot.   

Tu me dis par MP que ma proposition était tordue... elle n'était pas plus tordue que ton énoncé. Elle t'a pris à contre-pied c'est tout... Qui c'est le puriste qui n'accepte pas les réponses qui sorte du cadre prévu wink

Bon, tu veux du simple ? Soit.

Maintenant que les règles du jeu sont un peu plus claires... pourquoi tu veux qu'on trace 3 droites et 10 points ? c'est facile d'avoir [latex]F(A,B)<F(B,A)<F(B,C)<F(C,B)<F(C,A)<F(A,C)[/latex] (ce qui est encore plus fort que ce que tu demandes et ne nécessite absolument aucun point supplémentaire, tu peux rajouter Pi comme paramètre inutile supplémentaire si tu veux).

Je pose [latex]F : P\times P \mapsto \mathbb{N}[/latex] (où [latex]P[/latex] est le plan) avec [latex]F[/latex] définie par
[TeX]F(A,B)=0
F(B,A)=1
F(B,C)=2
F(C,B)=3
F(C,A)=4
F(A,C)=5[/TeX]
et [latex]F[/latex] quelconque en tout autre couple de points.

Je suppose que ce n'est toujours pas ce que tu attendais, encore un contre-pied, mais tu avoueras qu'on peut difficilement faire plus simple comme fonction... ton énoncé n'est pas assez précis, pour que ça soit TA solution qui émerge, tu confonds détails et indices, et rechigne à fournir les premiers, croyant donner les seconds on dirait big_smile

A force que tu me dises pourquoi mes propositions sont erronées, on arrivera peut être à une formulation correcte de ton énigme.

Sans rancune smile

 #14 - 14-02-2011 19:11:28

Jackv
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défi mathémarique à la logique

@ gasole : tu as parfaitement raison ... ce n'est pas ce que j'attendais !
Mais comme tu as très bien répondu à l'énigme "Choix d'une automobile", je dirais que c'est le principal.

Sans rancune.  big_smile

 #15 - 14-02-2011 20:53:59

gasole
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Défi mathématiue à la logique

Je sais que c'est pas ce que tu attendais, n'empêche que ça répond parfaitement à la question. Donc la question est mal posée. C'est histoire de te rappeler que c'est pas facile de bien doser une énigme : tu as tendance à les sous-spécifier, par crainte qu'on ne trouve trop facilement ? Ne nous surestimes pas, parce que du coup ça gâche notre plaisir de chercher quand on ne sait pas quoi chercher.

C'était "le conseil du jour".

 #16 - 15-02-2011 23:11:23

Jackv
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Défi mathémaatique à la logique

Plus que 24 h.
Je reconnais que j'ai fait la grossière erreur de placer cette énigme dans les énigmes mathématiques. Malgré son coté géométrique, elle fait beaucoup plus appel à la logique et à l'intuition qu'à une démonstration mathématique.

Pour vous aider encore un peu, j'ai modifié la figure

 #17 - 15-02-2011 23:18:44

gasole
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défi mathématique à la logisue

Franchement Jackv, à mon avis, l'énoncé est encore beaucoup trop vague.

 #18 - 16-02-2011 17:27:47

Jackv
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Défi mathémaatique à la logique

Bon, essayons de réfléchir un peu...
Nous avons une figure avec un triangle ABC, muni de de ses 3 médiatrices qui découpent le plan en 6 zône numérotées de I à VI...
Il faut placer N points sur ce plan, de manière à respecter certaines inégalités entre des fonctions relatives à ces N points et à 2 sommets du triangle...
Ces fonctions sont des nombres entiers compris entre 0 et N, elles doivent donc correspondrent à un certain nombre de points qu'il faut associer à 2 sommets du triangle ...
D'autre part, on me parle d'une notion de distance... entre les points et les sommets ???

Oui, je sais, cela n'a rien d'une démonstration mathématique, c'est juste un peu de raisonnement logique, raisonnement qu'a su faire débutant1 (que je salue bien bas) sans avoir tous les indices actuellement disponibles.

 #19 - 16-02-2011 21:34:40

gasole
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Dféi mathématique à la logique

Mais justement, posé comme ça ton problème fait que j'ai une solution en mettant mes points n'importe où ! ... ton problème est donc trop vague. Qu'est-ce qui pourrait obliger à aller là où tu veux aller ? (C'est une question pour toi).

 #20 - 17-02-2011 18:49:57

Jackv
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Déi mathématique à la logique

La fonction  [latex]F(A,Pi,B)[/latex] s'énonce tout simplement :
Nombre de points Pi dont la distance au point A est inférieure à la distance au point B

On peut placer ces points de la manière suivante (ce n'est pas une solution unique) :
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Defi_logique2.jpg
Il y a bien ici par exemple :
6 points plus proches de B contre 4 plus proches de A
6 points plus proches de C contre 4 plus proches de B
6 points plus proches de A contre 4 plus proches de C.

C'est une traduction géométrique du paradoxe de Condorcet (voir ce chapitre sur Wikipédia).

Il suffit de 3 points, placés dans les zônes II, IV et VI pour obtenir le même paradoxe.

Bravo encore à debutant1 pour avoir tout de suite trouvé la bonne explication.

 

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