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 #1 - 21-10-2016 19:39:30

nodgim
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Un rrationnel bien spécial

Bonsoir à tous.

Cette énigme consiste à trouver un irrationnel 1 < x < 10 tel qu'aucun de ses multiples n*x, n entier, n'a pour partie entière une puissance de 10.


Bon amusement



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 #2 - 21-10-2016 20:10:08

dhrm77
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un irrationnel boen spécial

Quand tu dis "multiples", je suppose qu'on est limité a multiplier ce nombre par un entier...


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 #3 - 22-10-2016 06:58:09

enigmatus
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un irratiobnel bien spécial

Bonjour,

nodgim #1 a écrit:

tel qu'aucun de ses multiples n'a pas pour partie entière une puissance de 10

Avec la double négation, ta phrase veut dire :
tel que tous ses multiples ont pour partie entière une puissace de 10

Le nombre choisi ne vérifie déjà pas cette proposition.

Sans doute as-tu voulu dire :
tel qu'aucun de ses multiples n'a pour partie entière une puissance de 10

 #4 - 22-10-2016 07:54:39

nodgim
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Un irrationnel bien spécia

Retouches de l'énoncé suite à remarques de Dhrm et Enigmatus.

 #5 - 22-10-2016 15:17:43

dhrm77
L'exilé
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un irratuonnel bien spécial

S'il s'agissait d'un entier  je dirais simplement 3, 9 ou 11.
S'il s'agissait d'un rationnel, je dirais simplement 9/2,  9/4, 11/2, 11/3, 11/4 ou 11/5,
Mais quand il s'agit d'un irrationnel, je me demande si c'est possible.

également, dans les puissances de 10, est-ce que tu inclus 1 ( = 10^0 ) ?
Ce qui impliquerait que 2 < x < 10 ... correct?


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 #6 - 22-10-2016 17:05:20

nodgim
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Un irrationnle bien spécial

@Dhrm: à toi de voir. Si tu trouves un 1 < x < 2, je le prendrais quand même.

 #7 - 22-10-2016 18:25:14

nodgim
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Un irrationnel bie spécial

Autant dire que je n'en ai pas encore trouvé un. Quoique...celui-ci peut être :

9,999999....8999999999....89999999....8999....?

C'est à dire une infinité de 9 entrecoupés de quelques 8 inégalement répartis.

Qu'en pensez-vous ?

 #8 - 22-10-2016 22:07:23

dhrm77
L'exilé
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Un irrationnel bine spécial

Je pense que ce n'ai pas le cas, Je pense ce nombre a des grandes chances d'avoir un multiple avec la partie entiere etant une puissance de 10. Mais si tu veut etre plus precis en donnant au moins le nombre de 9 avant les 3 premiers 8, on pourra peut etre donner un exemple precis.


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 #9 - 22-10-2016 23:37:48

portugal
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Un irratioonnel bien spécial

J'ai jeté un œil sur cet amusant sujet. Mes petites idées sur la question :

Je suis étonné si cela fonctionne car je n'ai pas l'impression qu'il suffise de se rapprocher de 10 pour que ca marche.

Certes la série des 9,999... "fonctionne" mais ce sont des rationnels (il y a un caractère cyclique des premiers nombre au dessus de 10^n qui apparaît et qui devrait montrer facilement qu'ils vérifient la propriété car le cycle est du style 1000..0000x,yzt... avec x (et y,z,t,.. d'ailleurs mais ce n'est pas important) qui sont des 8 ou des 9

Mais les nombres que tu construis sont très différents et il ne suffit pas de se rapprocher de 10 pour que ca fonctionne. Par exemple :

9,9225998* 10078004 = 100000000,5 qui ne fonctionne pas.
9,9911 * 10008908 = 100000000,7  également...
9,999010009 * 10001 = 100000,0991 ....

Ce n'est évidemment pas une preuve de quoi que ce soit mais une indication de mon doute. Au risque d'être surpris par ce que je lirai.

 #10 - 23-10-2016 08:20:20

nodgim
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Un irrationne lbien spécial

@ Dhrm et Portugal: votre intuition, je la partage. Il faudrait maintenant donner un peu de consistance à cette impression. N'oubliez pas que multiplier, au fond ça n'est qu'additionner plusieurs fois le même nombre.

 #11 - 23-10-2016 10:30:08

portugal
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Un irratinnel bien spécial

A défaut d'être plus rigoureux j'ajoute des éléments de l'intuition :

Pour un nombre "proche de 10" il y a environ 9 chance sur 10 que le premier multiple qui dépasse une puissance de 10 "fonctionne" toutes choses égale par ailleurs

Si le nombre est rationnel (exemple de 9.999..) on a vu qu'il peut y avoir un pattern qui fait que c'est toujours le cas (car ces probabilités ne sont pas indépendantes.
)
Un irrationnel étant en quelques sorte imprévisible dans ses chiffre,  et donc sans pattern, ces probabilités vont être indépendantes ou presque (en tout cas décorrélées pour n suffisamment élevé ce qui suffit au raisonnement )

Les probabilités individuelles étant  strictement inférieures à 1, la probabilité que  tout les cas soient réalisée est nulle. Cela implique qu'aucun irrationnel ne fonctionne.

 #12 - 23-10-2016 11:49:12

nodgim
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Un irrationnel bien spéciial

Peut être, Portugal, mais qu'est ce qui te fait dire que le nombre que j'ai présenté, composé seulement de 9 et de 8, rejoindrait le cas général du "probable " ?
Plus précisément, à partir de quand ce nombre va t'il probablement produire un contre-exemple ?

 #13 - 23-10-2016 14:50:56

portugal
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Un irrationnel bien spécail

J'essaie de reprendre à la base. J'en profite : ce problème délicat pourrait avoir une version junior pour démarrer : les nombre x=9 9,9 9,99... vérifient ils cette propriété ?

Ca se vérifie bien mais encore faut il être propre pour tout montrer rigoureusement.

Pour le problème des irrationnels, en restant brouillon :

on prend un nombre 9,999899999...
on le multiplie par 9 cela fait apparaître un zero 89,9909999.....

Prenons le cas simple 89,0999 (on doit toujours pouvoir revenir a un cas similaire par multiplication)

en multipliant par 10 on obtient 890,99999. Or, en lui ajoutant environ 110 (11* le nombre) on tombe sur 1000,99999 ce qui contredit l'hypothèse et conforte mon intuition.

 #14 - 23-10-2016 15:56:37

nodgim
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un irrationnek bien spécial

Peux tu refaire clairement ton opération, Portugal ? Avec les simplifs en cours de route, je ne sais pas trop si tu as multiplié par 101 ou fais autre chose. Je ne retrouve pas ton résultat. Merci.

 #15 - 23-10-2016 16:17:16

portugal
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un irrationnel bien spévial

Houps..J'avais fait confiance à un arrondi trop violent et au lieu de donner un nombre vers 1000,9 ca donnait en fait 999,9... ca ne marche pas donc....Désolé pour la fausse piste...

 #16 - 23-10-2016 19:48:02

nodgim
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Un irrationnel bien spcéial

OK. De toute façon, tu n'as perdu ton temps avec ce 999,999...car c'est presque 1000. En faisant la même action sur le 8 suivant, tu devrais obtenir la même chose, non ?

 #17 - 24-10-2016 03:42:53

dhrm77
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un irrationnel buen spécial

Je pense que pour etre une solution il faut que le nombre divide un nombre entier de fois des nombres tels que 9, 99, 999, 9999, 99999, 999999, 9999999, etc...
Ce qui marche avec les nombres que j'ai donné plus haut ( 3, 9, 11, 9/2,  9/4, 11/2, 11/3, 11/4 ou 11/5... ) mais egalement pour des nombres comme 3.7 (qui divide 111, donc 999).
Et il n'existe aucun irrationnel qui puisse diviser un nombre entier de fois une puissance de 10 moins 1.
Si on choisi un irrationnel proche d'un des nombres ci-dessus, il aura forcement un multiple qui aura une puissance de 10 comme partie entiere.
Je crois que la seule facon d'avoir un multiple de X qui ne soit pas une puissance de 10 est d'avoir X qui divise une difference entre des puissance de 10 plus ou moins 1 ou 2. Ce qui peut guarantir que quand in multiplie par 10, on reste proche d'une puissance de 10 sans jamais etre 'trop' proche.


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 #18 - 24-10-2016 11:34:25

nodgim
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U irrationnel bien spécial

Oui, Dhrm77.

J'ai été un peu surpris par les rationnels qui tu citent qui ne seront jamais à moins d'une unité au delà d'une puissance de 10, avant de comprendre le truc: ces entiers, et leurs fractions (pas trop petites) se trouvent toujours au voisinage d'une puissance de 10. Tes réponses sont intéressantes, et j'aurais pu poser cette question : Existe t'il une infinité de rationnels, compris entre 1 et 10, qui ne sont jamais à moins d'une unité d'une puissance de 10 ? 

Pour l'irrationnel, c'est un peu plus compliqué....

 #19 - 24-10-2016 11:41:14

portugal
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Un irrationnel bine spécial

Pour les rationnels je pense que la suite des 9  9,9  9,99...fonctionne non ?

L'idée de la démonstration semble simple :

soit un nombre 9,9..9

en le multipliant par des puissances de 10 on trouve directement une valeur juste inférieure aux puissances de 10 jusqu'à 9..9  (strictement inférieures et supérieure ou égales donc à l'unité inférieure)

Pour des puissances supérieure on commence par rajouter le nombre de zeros correspondant (multiplier par une puissance de 10 donc) pour former 9..90..0

si le nombre de zeros est suffisamment faible on peut ajouter l'un des nombre précédent pour obtenir un nombre du style 9..9 suivi éventuellement  de 9 après la virgule.

Si le nombre de zero est trop important, on peut le diminuer en faisant de meme (en ajoutant des zero au nombre le plus grand en stock) et itérer de façon à aboutir à la fin vers un nombre 9..9 suivi de 9 après la virgule.

Ce qui résout le problème.

Mes explications étant peu claires, voici un exemple de construction
pour 9.999 et 1000000000
9.999*1000=9999
9999*100000=999900000
9999*10=99990
999900000+99990=999999990
999999990+9.999=999999999.999

Dans tous le cas on peut donc multiplier le nombre initial par un entier et obtenir
9...9 éventuellement suivi de quelques 9 après la virgule


Je me  sens assez a l'aise avec ces cas rationnels ( a moins d'être démenti). Par contre pour les irrationnels...j'ai besoin d’être coaché...

 #20 - 24-10-2016 18:29:43

nodgim
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nU irrationnel bien spécial

C'est très clair Portugal, bravo! je ne l'avais pas vue celle-là. Il y a donc aussi tous les 1/3 et les 2/3 de ces nombres qui conviennent aussi, je crois.

 #21 - 24-10-2016 19:16:20

portugal
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un irrationnel bien dpécial

pour le tier de ces nombres ca semble assez évident par construction car on peut toujours arriver par un produit d'entier (3 fois supérieur par rapport au cas initial) au nombre strictement précédent un 'passage de puissance et qui est toujours supérieur à 99..98

Donc en ajoutant 3 (ou un peu plus 3.3 , 3.33.... ) le suivant est toujours supérieur à 10..02  (cas atteint dans le cas de l'entier 3.)

Pour les 2/3 ca semble marcher aussi mais ca se conjoncture moins facilement.

PS : ca marche aussi de manière évidente pour les 1/2 et 1/4 de ces nombres. A partie de 1/5 par contre on n'a plus assez de 'place' et ca ne marche plus.

 #22 - 24-10-2016 21:50:33

portugal
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Un irrationnel bien spécail

Petit challenge : le plus petit nombre qui fonctionne que j'ai trouvé est 2.2

Qui trouve plus petit ?

Pour démontrer qu'il fonctionne.

Pour toute puissance de 10 notée 10..00

10..00 / 22 = k  reste 10 ou 12 dans la division euclidienne suivant la parité du nombre de zeros

donc (2.2 * k)  +1 (ou +1.2 )  = 10..0

donc 2.2*(k+1)  - 1 (ou -1.2 ) =10..0   

et par consequent 2.2*n=  10..0 + 1 (ou 1.2 ) pour toutes les puissances de 10
(et bien sur 2.2*(n-1) < 10..0  )

 #23 - 25-10-2016 10:20:40

nodgim
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un irrationnel birn spécial

Plus petit, je voyais bien 11/5, mais c'est plutôt proche de ce que tu as trouvé...

Je donne du temps supplémentaire, et je vous indique que oui, il existe des irrationnels x dont les multiples n*x ne tomberont jamais à moins d'une unité d'une puissance de 10. Il en existe même une infinité....Je ne les avais pas au début du fil, et je pensais même que ça n'existait pas.

 #24 - 25-10-2016 17:59:42

caduk
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Un irrrationnel bien spécial

Bonjour,
Je crois que j'ai abordé sans m'en rendre compte à peu près la  même démarche que Portugal sur les rationnels, mais ça ne permet pas de conclure.
Ma démarche est cependant légèrement différente car j'ai cherché les rationnels dont il existe un multiple a moins d'une unité de 10^n.
En effet, le théorème de Beatty (oui, je l'aime bien celui là...) nous dit que si l'on trouve un irrationnel p supérieur à 1 vérifiant la propriété de l'énoncé, alors les valeurs absolues de n*1/(1-1/p) prendront toutes les valeurs non prises par p, y compris toutes les puissances de 10. On peut donc chercher un irrationnel vérifiant la deuxième propriété. (J'ai cherché cette propriété car elle m'a l'air plus rare, on pouvait donc plus facilement obtenir une éventuelle impossibilité, ou plus de contraintes pour construire les irrationnels.)

J'ai trouvé que certain rationnels passent par toute les puissances de 10, et leur reste est toujours le même, par exemple, 6/5:
8333..3334*6/5 = 1000...000.8
Ce qui se cache derrière est que (10^n + r)*5/6 est toujours entier
On cherche donc les r rationnels tels qu'il existe un rationnel R = P/Q validant la propriété.
soit r = p/q.
10^n + r = (q10^n+p)/q
On peut donc déjà prendre P = q. Il reste à trouver Q tel que P(q10^n+p) soit toujours divisible par Q.
Après réflexion, les seuls facteurs possibles sont 3 et 9, 2, et 5
Q est donc minoré par 9*2*5 = 90.
On ne pourra donc pas trouver une suite de rationnels tendant vers un irrationnel... Mais à l'aide de cette méthode, on peut trouver de rationnels passant par toutes les puissances de 10.

 #25 - 26-10-2016 09:24:07

nodgim
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Un irrationel bien spécial

Pas mal, Caduk.
Il manque juste un petit retournement de pensée pour découvrir le truc.

En fait, irrationnel ou rationnel, ça n'a pas d'importance. Ils sont régis par la même loi.

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