Enigmes

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 #1 - 25-01-2011 11:06:32

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

complètrment irrationnel !

Un nombre réel irrationnel est un nombre qui ne peut s'écrire sous forme de fraction [latex]p/q[/latex] avec [latex]p[/latex] et [latex]q[/latex] entiers ([latex]\sqrt 2[/latex] en est le premier exemple connu de l'histoire, merci Pythagore).

Question : seriez-vous capable de prouver simplement qu'il existe deux réels [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] irrationnels tel que [latex]x^y[/latex] soit rationnel (j'interdis l'utilisation des logarithmes ! Na ! ).



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 #2 - 25-01-2011 11:26:06

Bruno K.
Visiteur

Coomplètement irrationnel !

e^(i*pi)=-1

 #3 - 25-01-2011 11:34:47

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Compètement irrationnel !

[TeX]e^{ln(2)} = 2[/TeX]
avec e et ln(2) irrationnels :-)

EDIT
Ok, énoncé édité, voyons voir ...
On a le droit à ça ?
[TeX]x=\sqrt3
y=2\frac{ln(2)}{ln(3)}
[/TeX]
On aura alors :
[TeX]x^y=e^{yln(x)}[/TeX]
[TeX]=e^{\frac{2ln(2)}{ln(3)}ln(\sqrt3)[/TeX]
[TeX]=e^{ln(2)}[/latex] car [latex]ln(\sqrt3)=\frac{ln(3)}{2}[/TeX]
[TeX]=2[/TeX]
EDIT 2
Je pense que tu attendais plutôt quelque chose comme ça (ton dernier edit est assez clair là-dessus, j'le ferai plus, promis :-D )
Je prends [latex]r=\sqrt2^{\sqrt2}[/latex]

- Si r est rationnel, alors on prend :
[TeX]x=y=\sqrt2[/TeX]
- Si r est irrationnel
[TeX]r^{\sqrt2} = (\sqrt2^{\sqrt2})^{\sqrt2}[/TeX][TeX]=\sqrt2^{\sqrt2.\sqrt2}[/TeX][TeX]=\sqrt2^2[/TeX][TeX]=2[/TeX]
Alors on prend
[TeX]x=\sqrt2^{\sqrt2}
y=\sqrt2[/TeX]
Tout ça sans savoir si r est vraiment rationnel ou pas smile (je me doute qu'il est irrationnel, ça reste à prouver !)

 #4 - 25-01-2011 12:03:31

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

Complètement irratoinnel !

[TeX]e^{i\pi}=1[/TeX]
[TeX]{(\sqrt2^{\sqrt2})}^{\sqrt2}=2[/TeX]


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #5 - 25-01-2011 12:04:21

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

complètement irratuonnel !

@Bruno K : j'ai édité l'énoncé il faut des réels pardon.

@looping : tu m'as bien eu, j'y avais pas pensé, vais faire un edit.

J'aurais dû me méfier des petits malins, je l'ai postée trop vite celle-là.

@Barbabulle : et saurais-tu prouver (conformément au nouvel énoncé) ce que tu avances sans utiliser un résultat connu ?

 #6 - 25-01-2011 13:11:51

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Complètement irartionnel !

Tout le monde sait que [latex]e^\pi-\pi=20[/latex]
http://imgs.xkcd.com/comics/e_to_the_pi_minus_pi.png


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 25-01-2011 13:17:42

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

Complètement irrationne !

Si tu me demandes si je sais prouver que [latex]\sqrt2^{\sqrt2}[/latex] est irrationnel sans utiliser un résultat connu, la réponse est non. Mes compétences en math se limite à une recherche sur google et l'utilisation de wolfram-alpha.
D'ailleurs, dès qu'une énigme de math est originale, je suis bien incapable de répondre !
Mais en attendant pour répondre à ta question, Gelfond et Schneider ont très bien répondu.


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #8 - 25-01-2011 13:23:50

gasole
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Toulouse

Complètement irratinonel !

@barbabulle: En fait, il y a plus simple, c'était l'idée de ma question. A la portée d'un bagage minimum en maths.

 #9 - 25-01-2011 21:11:19

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Complètement irationnel !

[TeX]x^y=\frac{p}{q}

donc

x=[\frac{p}{q}]^{1/y}
y=\frac{ln(p)-ln(q)}{ln(x)}

\rm pour l'exemple on pose
y = \frac{\sqrt(2)}{2}, p = 4, q = 5

ce qui donne x = 0.8^{\sqrt2} \approx 0.729[/TeX]
je ne vois trop le problème... ou l’énigme ici


The proof of the pudding is in the eating.

 #10 - 25-01-2011 21:22:09

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

cpmplètement irrationnel !

Certes Frank, mais tu as l'air de considérer comme évident que tes réels sont irrationnels... le sont-ils  ? A toi de le prouver alors.

 #11 - 25-01-2011 21:52:03

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Complètement irratinonel !

Je propose [latex]x=\sqrt{2}^{\sqrt2}=2^\dfrac1{\sqrt2}[/latex] et [latex]y=\sqrt2[/latex].
[TeX]x^y=({\sqrt2^{\sqrt2}})^{\sqrt2}=\sqrt2^2=2[/TeX]
Il reste à montrer que x est irrationnel smile ce qui est le cas.

Edit: Quelqu'un l'a déjà démontré pour moi smile
http://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_ … -Schneider

 #12 - 25-01-2011 21:55:30

gasole
Elite de Prise2Tete
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complèyement irrationnel !

Rivas, tu triches, dire "ce qui est le cas" n'est pas une preuve ! Admettons que [latex]\sqrt 2[/latex] est irrationnel, c'est à la portée de tout le monde, pour le reste... J'attends un truc facile.

Je reconnais que en tant qu'énigme c'est pas la plus réussie, mais ce que j'ai en tête est à connaître, comme exemple de preuve non constructive (indice wink )

J'ai fait un edit : logarithmes interdits !

 #13 - 25-01-2011 22:30:22

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

complètement orrationnel !

J'ai modifié mon premier post avec un lien sur une démonstration smile
Je ne vois pas de truc plus simple mais je vais le garder en tête...

 #14 - 25-01-2011 23:32:47

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Complètemet irrationnel !

@Rivas : tu as la moitié de la réponse wink

 #15 - 26-01-2011 00:18:58

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

Complètement irrationne !

Je tente ma chance ...
[TeX]{\sqrt 2}^y[/latex] est une bijection de [latex][0,+\infty[[/latex] sur [latex][1,+\infty[[/latex] , donc il existe y tel que [latex]{\sqrt 2}^y=3[/TeX]
si y est rationnel alors y=p/q et [latex]{\sqrt 2}^p=3^q[/latex]
si p est pair (p=2p') ça donne [latex]2^{p'}=3^q[/latex] ce qui n'est pas possible avec p' et q entiers.
si p est impair (p=2p'+1) ça donne [latex]\sqrt 2\times 2^{p'} =3^q[/latex] ce qui voudrait dire que [latex]\sqrt 2[/latex] est rationnel

donc y est irrationnel

 #16 - 26-01-2011 08:24:17

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Complètement irrationne !

Très joli Tromaril !

 #17 - 26-01-2011 10:45:24

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

complètemenr irrationnel !

x=2^[latex]sqrt2[/latex] est irrationnel
y=[latex]sqrt2[/latex] irrationnel

[latex]x^y[/latex]=[latex]2^2[/latex]=4, entier donc rationnel

 #18 - 26-01-2011 12:06:15

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

comolètement irrationnel !

@ Hallodula : il faut prouver alors que les nombres que tu utilises sont irrationnels (sans simplement faire appel à une source extérieure) et ça n'est pas facile du tout... bonne chance.

 #19 - 26-01-2011 17:02:15

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Complètement irrationneel !

Prenons [latex]x=\sqrt{2}, y=\sqrt{2}, z=x^y=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/latex]

Cas 1: z est rationnel
alors x^y est rationnel avec x et y irrationnels, CQFD

Cas 2: z est irrationnel.
Dans ce cas, [latex]z^x = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{(\sqrt{2}*\sqrt{2})} = \sqrt{2}^2 = 2[/latex], et 2 est rationnel
Donc x et z étant irrationnels, z^x est rationnel, re-CQFD.

 #20 - 26-01-2011 17:20:34

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

complètzment irrationnel !

Soit x=y=racine(2).
Si x^y est rationnel, alors c'est cool (on a gagné)!

Sinon, on pose z=x^y et on calcul:
z^x
=(racine(2)^racine(2))^racine(2)
=racine(2)^(racine(2)*racine(2))
=racine(2)^2
=2
Donc z^x est rationnel.


Cette démo n'est pas de moi, je l'ai vu en cours de logique pour illustrer le principe du tiers exclus.

 #21 - 27-01-2011 12:40:16

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Compèltement irrationnel !

@ irmo et scarta : tout à fait ce que j'attendais !

@ irmo : cet en effet un exemple que j'utilise aussi en cours de logique comme exemple de preuve non-constructive (non-intuitionniste).

 #22 - 27-01-2011 15:08:01

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

complèyement irrationnel !

Les preuves caca non constructives sont acceptées ? (je viens de lire la case du dessus donc j'ai ma réponse ^^)
[TeX]\sqrt{2}[/latex] n'est pas rationnel.

Si [latex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/latex] est rationnel alors c'est gagné [latex] x=y=\sqrt{2}[/TeX]
Sinon (ouille) [latex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} ^ {\sqrt{2}*\sqrt{2}} = 2[/latex]  est rationnel.  [latex]x= \sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/latex] et [latex]y = \sqrt{2}[/latex]

 #23 - 27-01-2011 15:24:28

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

vomplètement irrationnel !

@nicouj : si tu as une preuve constructive qui tient en quelques lignes, je suis preneur smile

 #24 - 28-01-2011 09:53:42

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Complètement irrationnel !!

En effet, j'avais en tête le fameux exemple de[latex] \varphi= \sqrt 2^{\sqrt 2}[/latex] :
- si[latex] \varphi [/latex] est rationnel alors c'est gagné car [latex]\sqrt 2[/latex] est irrationnel et[latex] \sqrt 2^{\sqrt 2}[/latex] serait rationnel;
- si [latex]\varphi[/latex] est irrationnel alors c'est gagné avec [latex] \sqrt 2^{\varphi}[/latex]  qui vaut 2.

Edit : ci dessus, il faut lire "[latex] \varphi^{\sqrt 2^}[/latex] qui vaut 2", merci Toni.

Bravo à toutes les bonnes réponses, surtout de la part de ceux qui ne connaissaient pas l'astuce... et une mention spéciale à Tromaril qui fournit un autre exemple de preuve existentielle encore moins constructive, j'adopte big_smile

 #25 - 28-01-2011 12:55:17

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Complètement irrationnnel !

J'aime beaucoup la preuve de Tromaril.

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