Enigmes

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 #1 - 25-01-2011 11:06:32

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

complètemznt irrationnel !

Un nombre réel irrationnel est un nombre qui ne peut s'écrire sous forme de fraction [latex]p/q[/latex] avec [latex]p[/latex] et [latex]q[/latex] entiers ([latex]\sqrt 2[/latex] en est le premier exemple connu de l'histoire, merci Pythagore).

Question : seriez-vous capable de prouver simplement qu'il existe deux réels [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] irrationnels tel que [latex]x^y[/latex] soit rationnel (j'interdis l'utilisation des logarithmes ! Na ! ).



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 #2 - 25-01-2011 11:26:06

Bruno K.
Visiteur

Complètement irrationnnel !

e^(i*pi)=-1

 #3 - 25-01-2011 11:34:47

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2009
Lieu: Paris

Complètement irrationnl !

[TeX]e^{ln(2)} = 2[/TeX]
avec e et ln(2) irrationnels :-)

EDIT
Ok, énoncé édité, voyons voir ...
On a le droit à ça ?
[TeX]x=\sqrt3
y=2\frac{ln(2)}{ln(3)}
[/TeX]
On aura alors :
[TeX]x^y=e^{yln(x)}[/TeX]
[TeX]=e^{\frac{2ln(2)}{ln(3)}ln(\sqrt3)[/TeX]
[TeX]=e^{ln(2)}[/latex] car [latex]ln(\sqrt3)=\frac{ln(3)}{2}[/TeX]
[TeX]=2[/TeX]
EDIT 2
Je pense que tu attendais plutôt quelque chose comme ça (ton dernier edit est assez clair là-dessus, j'le ferai plus, promis :-D )
Je prends [latex]r=\sqrt2^{\sqrt2}[/latex]

- Si r est rationnel, alors on prend :
[TeX]x=y=\sqrt2[/TeX]
- Si r est irrationnel
[TeX]r^{\sqrt2} = (\sqrt2^{\sqrt2})^{\sqrt2}[/TeX][TeX]=\sqrt2^{\sqrt2.\sqrt2}[/TeX][TeX]=\sqrt2^2[/TeX][TeX]=2[/TeX]
Alors on prend
[TeX]x=\sqrt2^{\sqrt2}
y=\sqrt2[/TeX]
Tout ça sans savoir si r est vraiment rationnel ou pas smile (je me doute qu'il est irrationnel, ça reste à prouver !)

 #4 - 25-01-2011 12:03:31

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

complètement irrayionnel !

[TeX]e^{i\pi}=1[/TeX]
[TeX]{(\sqrt2^{\sqrt2})}^{\sqrt2}=2[/TeX]


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #5 - 25-01-2011 12:04:21

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Compltement irrationnel !

@Bruno K : j'ai édité l'énoncé il faut des réels pardon.

@looping : tu m'as bien eu, j'y avais pas pensé, vais faire un edit.

J'aurais dû me méfier des petits malins, je l'ai postée trop vite celle-là.

@Barbabulle : et saurais-tu prouver (conformément au nouvel énoncé) ce que tu avances sans utiliser un résultat connu ?

 #6 - 25-01-2011 13:11:51

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3002
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Complèètement irrationnel !

Tout le monde sait que [latex]e^\pi-\pi=20[/latex]
http://imgs.xkcd.com/comics/e_to_the_pi_minus_pi.png


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 25-01-2011 13:17:42

Barbabulle
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 237

Coplètement irrationnel !

Si tu me demandes si je sais prouver que [latex]\sqrt2^{\sqrt2}[/latex] est irrationnel sans utiliser un résultat connu, la réponse est non. Mes compétences en math se limite à une recherche sur google et l'utilisation de wolfram-alpha.
D'ailleurs, dès qu'une énigme de math est originale, je suis bien incapable de répondre !
Mais en attendant pour répondre à ta question, Gelfond et Schneider ont très bien répondu.


La paix dans le monde n'est pas menacée par les révoltés, mais par les soumis.        Georges Bernanos

 #8 - 25-01-2011 13:23:50

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

complètement irratipnnel !

@barbabulle: En fait, il y a plus simple, c'était l'idée de ma question. A la portée d'un bagage minimum en maths.

 #9 - 25-01-2011 21:11:19

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

Complètement irrtionnel !

[TeX]x^y=\frac{p}{q}

donc

x=[\frac{p}{q}]^{1/y}
y=\frac{ln(p)-ln(q)}{ln(x)}

\rm pour l'exemple on pose
y = \frac{\sqrt(2)}{2}, p = 4, q = 5

ce qui donne x = 0.8^{\sqrt2} \approx 0.729[/TeX]
je ne vois trop le problème... ou l’énigme ici


The proof of the pudding is in the eating.

 #10 - 25-01-2011 21:22:09

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

Complètement irraionnel !

Certes Frank, mais tu as l'air de considérer comme évident que tes réels sont irrationnels... le sont-ils  ? A toi de le prouver alors.

 #11 - 25-01-2011 21:52:03

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Complètemetn irrationnel !

Je propose [latex]x=\sqrt{2}^{\sqrt2}=2^\dfrac1{\sqrt2}[/latex] et [latex]y=\sqrt2[/latex].
[TeX]x^y=({\sqrt2^{\sqrt2}})^{\sqrt2}=\sqrt2^2=2[/TeX]
Il reste à montrer que x est irrationnel smile ce qui est le cas.

Edit: Quelqu'un l'a déjà démontré pour moi smile
http://fr.wikipedia.org/wiki/Constante_ … -Schneider

 #12 - 25-01-2011 21:55:30

gasole
Elite de Prise2Tete
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complèyement irrationnel !

Rivas, tu triches, dire "ce qui est le cas" n'est pas une preuve ! Admettons que [latex]\sqrt 2[/latex] est irrationnel, c'est à la portée de tout le monde, pour le reste... J'attends un truc facile.

Je reconnais que en tant qu'énigme c'est pas la plus réussie, mais ce que j'ai en tête est à connaître, comme exemple de preuve non constructive (indice wink )

J'ai fait un edit : logarithmes interdits !

 #13 - 25-01-2011 22:30:22

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Complètement irrationne l!

J'ai modifié mon premier post avec un lien sur une démonstration smile
Je ne vois pas de truc plus simple mais je vais le garder en tête...

 #14 - 25-01-2011 23:32:47

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

complètement irrztionnel !

@Rivas : tu as la moitié de la réponse wink

 #15 - 26-01-2011 00:18:58

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

Commplètement irrationnel !

Je tente ma chance ...
[TeX]{\sqrt 2}^y[/latex] est une bijection de [latex][0,+\infty[[/latex] sur [latex][1,+\infty[[/latex] , donc il existe y tel que [latex]{\sqrt 2}^y=3[/TeX]
si y est rationnel alors y=p/q et [latex]{\sqrt 2}^p=3^q[/latex]
si p est pair (p=2p') ça donne [latex]2^{p'}=3^q[/latex] ce qui n'est pas possible avec p' et q entiers.
si p est impair (p=2p'+1) ça donne [latex]\sqrt 2\times 2^{p'} =3^q[/latex] ce qui voudrait dire que [latex]\sqrt 2[/latex] est rationnel

donc y est irrationnel

 #16 - 26-01-2011 08:24:17

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Complètmeent irrationnel !

Très joli Tromaril !

 #17 - 26-01-2011 10:45:24

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 482
Lieu: Ardèche

xomplètement irrationnel !

x=2^[latex]sqrt2[/latex] est irrationnel
y=[latex]sqrt2[/latex] irrationnel

[latex]x^y[/latex]=[latex]2^2[/latex]=4, entier donc rationnel

 #18 - 26-01-2011 12:06:15

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Complètement iirrationnel !

@ Hallodula : il faut prouver alors que les nombres que tu utilises sont irrationnels (sans simplement faire appel à une source extérieure) et ça n'est pas facile du tout... bonne chance.

 #19 - 26-01-2011 17:02:15

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1470

Complètement irraitonnel !

Prenons [latex]x=\sqrt{2}, y=\sqrt{2}, z=x^y=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/latex]

Cas 1: z est rationnel
alors x^y est rationnel avec x et y irrationnels, CQFD

Cas 2: z est irrationnel.
Dans ce cas, [latex]z^x = (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{(\sqrt{2}*\sqrt{2})} = \sqrt{2}^2 = 2[/latex], et 2 est rationnel
Donc x et z étant irrationnels, z^x est rationnel, re-CQFD.

 #20 - 26-01-2011 17:20:34

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Complètement irrationnnel !

Soit x=y=racine(2).
Si x^y est rationnel, alors c'est cool (on a gagné)!

Sinon, on pose z=x^y et on calcul:
z^x
=(racine(2)^racine(2))^racine(2)
=racine(2)^(racine(2)*racine(2))
=racine(2)^2
=2
Donc z^x est rationnel.


Cette démo n'est pas de moi, je l'ai vu en cours de logique pour illustrer le principe du tiers exclus.

 #21 - 27-01-2011 12:40:16

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Complètement irrationnell !

@ irmo et scarta : tout à fait ce que j'attendais !

@ irmo : cet en effet un exemple que j'utilise aussi en cours de logique comme exemple de preuve non-constructive (non-intuitionniste).

 #22 - 27-01-2011 15:08:01

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Complètemeent irrationnel !

Les preuves caca non constructives sont acceptées ? (je viens de lire la case du dessus donc j'ai ma réponse ^^)
[TeX]\sqrt{2}[/latex] n'est pas rationnel.

Si [latex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/latex] est rationnel alors c'est gagné [latex] x=y=\sqrt{2}[/TeX]
Sinon (ouille) [latex]\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} ^ {\sqrt{2}*\sqrt{2}} = 2[/latex]  est rationnel.  [latex]x= \sqrt{2}^{\sqrt{2}}[/latex] et [latex]y = \sqrt{2}[/latex]

 #23 - 27-01-2011 15:24:28

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

complètement irratipnnel !

@nicouj : si tu as une preuve constructive qui tient en quelques lignes, je suis preneur smile

 #24 - 28-01-2011 09:53:42

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

complètement irrarionnel !

En effet, j'avais en tête le fameux exemple de[latex] \varphi= \sqrt 2^{\sqrt 2}[/latex] :
- si[latex] \varphi [/latex] est rationnel alors c'est gagné car [latex]\sqrt 2[/latex] est irrationnel et[latex] \sqrt 2^{\sqrt 2}[/latex] serait rationnel;
- si [latex]\varphi[/latex] est irrationnel alors c'est gagné avec [latex] \sqrt 2^{\varphi}[/latex]  qui vaut 2.

Edit : ci dessus, il faut lire "[latex] \varphi^{\sqrt 2^}[/latex] qui vaut 2", merci Toni.

Bravo à toutes les bonnes réponses, surtout de la part de ceux qui ne connaissaient pas l'astuce... et une mention spéciale à Tromaril qui fournit un autre exemple de preuve existentielle encore moins constructive, j'adopte big_smile

 #25 - 28-01-2011 12:55:17

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

complètemeny irrationnel !

J'aime beaucoup la preuve de Tromaril.

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