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 #1 - 18-08-2011 12:08:45

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Suite qi tend vers un irrationnel

Montrer qu'une si une suite de rationnels [latex]\frac{p_n}{q_n}[/latex]  tend vers un irrationnel alors [latex]|p_n|[/latex] et [latex]|q_n|[/latex] tendent vers plus l'infini. Bon travail.                                                                                                                                smile



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 #2 - 18-08-2011 12:18:41

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Suite qui tend verss un irrationnel

Je suppose que [latex](p_n)[/latex] et [latex](q_n)[/latex] sont des suites d'entiers (sinon c'est trivialement faux)?

 #3 - 18-08-2011 12:24:36

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1613

Suite uqi tend vers un irrationnel

Supposon que |Pn| soit majoré par P.

Si |Qn| n'est pas majoré, alors pour tout entier N aussi grand que l'on veut, il existe un rang n tel que i>n => |Qi| > N
Dans ce cas, |Pi| < P, |Qi| > N donc |Pi/Qi| < P/N
Comme N peut être aussi grand qu'on le veut, et que P est constant, alors |Pi/Qi| tendrait vers 0.
Donc |Qn| est majoré par Q

Inversement, si |Qn| est majoré par Q; on peut montrer de manière équivalente que |Pn| est majoré par P

Donc soit |Pn| et |Qn| sont majorées toutes les deux, soit elles divergent toutes les 2.

Supposons donc que |Pn| et |Qn| soient majorées toutes les deux par respectivement P et Q
Il existe donc 2P+1 valeurs possibles pour Pn et 2Q+1 valeurs possibles pour Qn (de -P à P, ou de -Q à Q)
Du coup, Pn/Qn est une fraction (donc un rationnel) à valeur parmi un nombre fini de fractions: (2P+1)*(2Q+1)
Il ne peut donc pas converger vers un irrationnel

 #4 - 18-08-2011 12:42:50

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Suite qui tend vers un irraationnel

EDIT: Yanyan m'a fait remarqué une erreur dans la démonstration ci-dessous. Je donne donc une version corrigée plus bas qui utilise certaines idées de celle-ci que je laisse donc en ligne.

Je suppose donc que p et q sont des suites d'entiers.
Si les suites p et q sont bornées, p/q ne prend qu'un nombre fini de valeurs (au maximum (2*max|p|+1)*(2*max|q|+1) valeurs).

En particulier, puisque [latex]\dfrac{p_n}{q_n}[/latex] est toujours rationnel et donc la suite ne peut être constante à la valeur de la limite, on peut trouver un intervalle autour de la limite dans lequel il n'y a aucune de ces valeurs, ce qui contredit la convergence.

Donc l'une des suites p ou q n'est pas bornée.
Mais cela implique que l'autre ne l'est pas non plus sinon le rapport ne pourrait pas converger:
Si p est borné et q ne l'est pas, il y a régulièrement des valeurs de plus en plus proche de 0 et si q est borné et pas p, cela veut dire qu'il y a régulièrement de très grandes valeurs car q ne peut avoir de valeur nulle.

Dire qu'une suite d'entiers est non bornée est équivalent à dire que sa valeur absolue tend vers l'infini.

CQFD.

 #5 - 18-08-2011 13:08:18

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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Lieu: Lille si j'y suis

Suite qiu tend vers un irrationnel

Attention une suite d'entiers n'est pas soit majorée soit divergente vers plus l'infini. Par exemple une suite dont les termes pairs 2n valent 2n et les termes impairs valent 0.


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 #6 - 18-08-2011 13:31:06

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3055
Lieu: Luxembourg

Site qui tend vers un irrationnel

Bonjour,
Soient pn et qn 2 suites de rationnels qui ne tendent pas vers l'infini (ni l'une ni l'autre). Remarque: si l'une ou l'autre de ces suites tendait vers l'infini, alors le rapport pn/qn tendrait soit vers zéro, soit vers l'infini, ce qui règle le problème.
Dans ce cas, les 2 suites pn et qn tendent respectivement vers p0 et q0 qui sont 2 rationnels et donc leur rapport p0/q0 aussi.
Or si A implique B, alors non-B implique non-A (proposition contraposée).
On en déduit ce qu'il fallait démontrer.
Bonne journée.
Frank

 #7 - 18-08-2011 14:13:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3731

suite qui tend vers un irrationnrl

Encadrons I par 2 fractions successives irréductibles:
p1/q1<I<(p1+1)/q1
p2/q2<I<(p2+1)/q2
Comme p2/q2 encadre mieux I que p2/q2 (car la suite tend vers I), on a:
(p1+1)/q1-p1/q1>(p2+1)/q2-p2/q2.
1/q1>1/q2
q1<q2.
les qi successifs croissent. Et comme p doit suivre (sinon la suite tendrait vers zéro) les pi croissent également.

 #8 - 18-08-2011 14:38:35

clement.boulonne
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Enigmes résolues : 28
Messages : 64

Suite qui tend vers un irratonnel

Si la suite [latex]\frac{p_n}{q_n}[/latex] tend vers un irrationnel alors il admet un développement en fractions continues infini. Supposons que
[TeX]\lim_{n \to +\infty} \frac{p_n}{q_n} = [a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots][/TeX]
D'après les formules des réduites :
[TeX]p_0 = 0, \; p_1 = 1, \; p_n = a_np_{n-1} + p_{n-2}, \; \forall n \ge 2[/TeX]
[TeX]q_0 = 1, \; q_1 = 0, \; q_n = a_nq_{n-1} + q_{n-2}, \; \forall n \ge 2[/TeX]
Ainsi :
[TeX]\lim_{n \to +\infty} | p_n | = +\infty, \; \lim_{n \to +\infty}  | q_n | = +\infty[/TeX]
car [latex]p_n,q_n[/latex] est une somme infinie de termes positifs.

 #9 - 18-08-2011 14:44:21

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Suite qui tennd vers un irrationnel

Merci à Yanyan qui m'a fait remarquer une erreur dans ma démonstration précédente.
En voici une version corrigée qui réutilise certaines idées de la version précédente (que j'ai donc laissé en ligne).

Supposons que l'on puisse trouver une sous-suite bornée de p (H1).
Supposons maintenant que l'on puisse extraire des indices de cette sous-suite, une sous-suite de q bornée (H2). Alors p/q pour ces indices ne pourraient prendre qu'un nombre fini de valeurs rationnelles (voir démo initiale) ce qui est contraire à la convergence (voir démo initiale).
Donc aucune sous-suite de q ne peut-être bornée, ce qui veut bien dire que |q| dans cette hypothèse (H1) tend vers l'infini.
Dans ce cas la sous-suite de p bornée initiale crée une sous-suite de p/q tendant vers 0, ce qui est contraire à la convergence.
Aucune sous-suite de p ne peut-être bornée, ce qui cette fois assure que |p| tend vers l'infini.
Dans ce cas, aucune sous suite de q ne peut être bornée sinon il existerait une sous suite de |p/q|  qui tendrait vers l'infini.
Donc |q| tend vers l'infini.


CQFD.

 #10 - 18-08-2011 14:47:18

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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Lieu: Lille si j'y suis

suite qui tend bers un irrationnel

[latex]p_n[/latex] et [latex]q_n[/latex] sont des suites d'entiers.


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 #11 - 22-08-2011 16:24:45

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

suite qui tend vers in irrationnel

Bravo aux participants. Ma solution est la suivante, si il existait une sous suite bornêe de [latex]|p_n|[/latex] alors on peut en extraire une sous-suite covergente et il est clair que la suite extraite de [latex]|q_n|[/latex] avec ces indices et aussi bornée, on y extrait une sous-suite convergente. Puisque les suites d'entiers qui convergent le font vers des entiers, cela contredit l'irrationnalitë.


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 #12 - 22-08-2011 16:30:09

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

suite quo tend vers un irrationnel

"c'est pas faux"


http://enigmusique.blogspot.com/

 #13 - 22-08-2011 16:40:51

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

suite qui tend vers un irratipnnel

Kosmogol : le chevalier de la table ronde de P2t.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #14 - 22-08-2011 17:02:03

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3970
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Sutie qui tend vers un irrationnel

Yanyan a écrit:

Kosmogol : le chevalier de la table ronde de P2t.

"C'est pas faux non plus".

lol


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #15 - 22-08-2011 17:26:10

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Suite qui tend vvers un irrationnel

Yanyan a écrit:

Bravo aux participants.

Il y a quand même beaucoup de démonstrations fausses (ma première y compris) pour mériter des bravos smile

 #16 - 22-08-2011 17:45:42

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

suite qui tend vets un irrationnel

C'est vrai Rivas, je dis donc merci aux participants. J'espère que chacun pourra juger de sa propre réponse.


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 #17 - 22-08-2011 20:29:37

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

SSuite qui tend vers un irrationnel

Yanyan a écrit:

Kosmogol : le chevalier de la table ronde de P2t.smile

merci lol


http://enigmusique.blogspot.com/
 

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