Enigme Suite qui tend vers un irrationnel @ Prise2Tete

Yanyan · #1

Montrer qu'une si une suite de rationnels [latex]\frac{p_n}{q_n}[/latex] tend vers un irrationnel alors [latex]|p_n|[/latex] et [latex]|q_n|[/latex] tendent vers plus l'infini. Bon travail.

rivas · #2

Je suppose que [latex](p_n)[/latex] et [latex](q_n)[/latex] sont des suites d'entiers (sinon c'est trivialement faux)?

scarta · #3

Supposon que |Pn| soit majoré par P.

Si |Qn| n'est pas majoré, alors pour tout entier N aussi grand que l'on veut, il existe un rang n tel que i>n => |Qi| > N
Dans ce cas, |Pi| < P, |Qi| > N donc |Pi/Qi| < P/N
Comme N peut être aussi grand qu'on le veut, et que P est constant, alors |Pi/Qi| tendrait vers 0.
Donc |Qn| est majoré par Q

Inversement, si |Qn| est majoré par Q; on peut montrer de manière équivalente que |Pn| est majoré par P

Donc soit |Pn| et |Qn| sont majorées toutes les deux, soit elles divergent toutes les 2.

Supposons donc que |Pn| et |Qn| soient majorées toutes les deux par respectivement P et Q
Il existe donc 2P+1 valeurs possibles pour Pn et 2Q+1 valeurs possibles pour Qn (de -P à P, ou de -Q à Q)
Du coup, Pn/Qn est une fraction (donc un rationnel) à valeur parmi un nombre fini de fractions: (2P+1)*(2Q+1)
Il ne peut donc pas converger vers un irrationnel

rivas · #4

EDIT: Yanyan m'a fait remarqué une erreur dans la démonstration ci-dessous. Je donne donc une version corrigée plus bas qui utilise certaines idées de celle-ci que je laisse donc en ligne.

Je suppose donc que p et q sont des suites d'entiers.
Si les suites p et q sont bornées, p/q ne prend qu'un nombre fini de valeurs (au maximum (2*max|p|+1)*(2*max|q|+1) valeurs).

En particulier, puisque [latex]\dfrac{p_n}{q_n}[/latex] est toujours rationnel et donc la suite ne peut être constante à la valeur de la limite, on peut trouver un intervalle autour de la limite dans lequel il n'y a aucune de ces valeurs, ce qui contredit la convergence.

Donc l'une des suites p ou q n'est pas bornée.
Mais cela implique que l'autre ne l'est pas non plus sinon le rapport ne pourrait pas converger:
Si p est borné et q ne l'est pas, il y a régulièrement des valeurs de plus en plus proche de 0 et si q est borné et pas p, cela veut dire qu'il y a régulièrement de très grandes valeurs car q ne peut avoir de valeur nulle.

Dire qu'une suite d'entiers est non bornée est équivalent à dire que sa valeur absolue tend vers l'infini.

CQFD.

Yanyan · #5

Attention une suite d'entiers n'est pas soit majorée soit divergente vers plus l'infini. Par exemple une suite dont les termes pairs 2n valent 2n et les termes impairs valent 0.

Franky1103 · #6

Bonjour,
Soient pn et qn 2 suites de rationnels qui ne tendent pas vers l'infini (ni l'une ni l'autre). Remarque: si l'une ou l'autre de ces suites tendait vers l'infini, alors le rapport pn/qn tendrait soit vers zéro, soit vers l'infini, ce qui règle le problème.
Dans ce cas, les 2 suites pn et qn tendent respectivement vers p0 et q0 qui sont 2 rationnels et donc leur rapport p0/q0 aussi.
Or si A implique B, alors non-B implique non-A (proposition contraposée).
On en déduit ce qu'il fallait démontrer.
Bonne journée.
Frank

nodgim · #7

Encadrons I par 2 fractions successives irréductibles:
p1/q1<I<(p1+1)/q1
p2/q2<I<(p2+1)/q2
Comme p2/q2 encadre mieux I que p2/q2 (car la suite tend vers I), on a:
(p1+1)/q1-p1/q1>(p2+1)/q2-p2/q2.
1/q1>1/q2
q1<q2.
les qi successifs croissent. Et comme p doit suivre (sinon la suite tendrait vers zéro) les pi croissent également.

clement.boulonne · #8

Si la suite [latex]\frac{p_n}{q_n}[/latex] tend vers un irrationnel alors il admet un développement en fractions continues infini. Supposons que
[TeX]\lim_{n \to +\infty} \frac{p_n}{q_n} = [a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots][/TeX]
D'après les formules des réduites :
[TeX]p_0 = 0, \; p_1 = 1, \; p_n = a_np_{n-1} + p_{n-2}, \; \forall n \ge 2[/TeX]
[TeX]q_0 = 1, \; q_1 = 0, \; q_n = a_nq_{n-1} + q_{n-2}, \; \forall n \ge 2[/TeX]
Ainsi :
[TeX]\lim_{n \to +\infty} | p_n | = +\infty, \; \lim_{n \to +\infty} | q_n | = +\infty[/TeX]
car [latex]p_n,q_n[/latex] est une somme infinie de termes positifs.

rivas · #9

Merci à Yanyan qui m'a fait remarquer une erreur dans ma démonstration précédente.
En voici une version corrigée qui réutilise certaines idées de la version précédente (que j'ai donc laissé en ligne).

Supposons que l'on puisse trouver une sous-suite bornée de p (H1).
Supposons maintenant que l'on puisse extraire des indices de cette sous-suite, une sous-suite de q bornée (H2). Alors p/q pour ces indices ne pourraient prendre qu'un nombre fini de valeurs rationnelles (voir démo initiale) ce qui est contraire à la convergence (voir démo initiale).
Donc aucune sous-suite de q ne peut-être bornée, ce qui veut bien dire que |q| dans cette hypothèse (H1) tend vers l'infini.
Dans ce cas la sous-suite de p bornée initiale crée une sous-suite de p/q tendant vers 0, ce qui est contraire à la convergence.
Aucune sous-suite de p ne peut-être bornée, ce qui cette fois assure que |p| tend vers l'infini.
Dans ce cas, aucune sous suite de q ne peut être bornée sinon il existerait une sous suite de |p/q| qui tendrait vers l'infini.
Donc |q| tend vers l'infini.

CQFD.

Yanyan · #10

[latex]p_n[/latex] et [latex]q_n[/latex] sont des suites d'entiers.

Yanyan · #11

Bravo aux participants. Ma solution est la suivante, si il existait une sous suite bornêe de [latex]|p_n|[/latex] alors on peut en extraire une sous-suite covergente et il est clair que la suite extraite de [latex]|q_n|[/latex] avec ces indices et aussi bornée, on y extrait une sous-suite convergente. Puisque les suites d'entiers qui convergent le font vers des entiers, cela contredit l'irrationnalitë.

kosmogol · #12

"c'est pas faux"

Yanyan · #13

Kosmogol : le chevalier de la table ronde de P2t.

Klimrod · #14

Yanyan a écrit:
Kosmogol : le chevalier de la table ronde de P2t.

"C'est pas faux non plus".

rivas · #15

Yanyan a écrit:
Bravo aux participants.

Il y a quand même beaucoup de démonstrations fausses (ma première y compris) pour mériter des bravos

Yanyan · #16

C'est vrai Rivas, je dis donc merci aux participants. J'espère que chacun pourra juger de sa propre réponse.

kosmogol · #17

Yanyan a écrit:
Kosmogol : le chevalier de la table ronde de P2t.

merci

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