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 #26 - 26-10-2016 11:46:29

caduk
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 68

un ierationnel bien spécial

Un rapide essai:
Supposons qu'il existe un irrationnel A tel que il existe toujours un N tel que NA = 10^n+a, ou a est un entier quelconque. pour n = 1, on  obtient A = (10+a)/p, p entier.
Pour n = 2, on obtient p(10^2+a)/(10 + a) = q, q entier.
a = (100p-10q)/(q-1) donc a est rationnel. Or A est irrationnel ce qui est absurde.

Donc on ne peut pas tout a fait utiliser la même méthode...

#0 Pub

 #27 - 26-10-2016 12:19:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Un irrationnel bien psécial

C'est sûr que n*A, si n entier et A irrationnel, est irrationnel.

 #28 - 28-10-2016 00:36:10

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Un rirationnel bien spécial

On pourrait avoir une petite indication ?

Pour les irrationnels je sèche. Mon intuition est proche de celle de dhrm : ce n'est pas possible car l'irrégularité des irrationnels va empêcher le cycle que l'on peut obtenir avec un rationnel.

Donc impatient être mis sur la piste de mon erreur.

 #29 - 28-10-2016 08:04:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

un irrationnel birn spécial

Bon, le temps  est passé, je vous donne seulement la solution théorique. Je crois que vous devriez pouvoir trouver le plus petit nombre qui répond à la contrainte (par convention, on dira que 1 n'est pas une puissance de 10).

Je suis sûr que Vous allez bien vous amuser à l'application de la petite formule  !

-----------------------------------------------------------

Pour x réel > 1 donné, n*x, n entier,  n'est jamais à moins d'une unité au dessus d'une puissance de 10 si:
Soit 10^m = (E+d)x avec E partie entière et d partie décimale non nulle : 10^m + 1 <= (E+1)x
( E + d ) x <= ( E + 1 ) x - 1
d x <= x - 1
0 < d <= 1 - 1 / x.

Si l'on pose y = 1 / x
d est la partie décimale de (10 ^ m) * y, c'est à dire la partie située à droite de la virgule de y, la position de celle-ci étant tributaire de 10 ^ m (car multiplier par 10 ^ m, c'est déplacer la virgule de m rangs vers la droite), et donc pouvant prendre n'importe quel emplacement entre 2 chiffres.

Il faut 0 < d <= 1 - 1/x = 1 - y quel que soit l'emplacement de la virgule. 
A n'importe quel endroit de la suite infinie des chiffres de y, la partie droite doit être inférieure ou égale à 1 - y (du fait du caractère infini de la suite des chiffres, il faut remplacer 1 par 0,9999...)

Il suffit donc de construire un tel y pour avoir un x = 1 / y qui réponde à la contrainte.

 #30 - 31-10-2016 10:57:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Un irratinonel bien spécial

Je donne un exemple avec x=V2=1,414...
y= 1/V2 = 0,70710678118654752440084436210485...
et 1-y=0,2928....
Les seuls multiples de V2 qui vont donner 10...000,....sont, au vu de la lecture de 1/V2:
71 (car la partie décimale de 70,7 est plus forte que 0,2928)
70711
707107
7071068
7071067812
70710678119
707106781187
7071067811866
.....

 #31 - 01-11-2016 11:56:23

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Un irrationnl bien spécial

Je pense que le "plus petit", si on peut dire, est 1,232876712328649....
Plus formellement, lim[(10^(n+2)+1) / (10^(n+2)+1 -2*10^(n+1) + somme(10^k,k=0..n))] + epsilon aussi petit qu'on veut pour avoir un irrationnel.
Moins formellement, c'est la limite de
"1--n zéros--1"/"8--(n-1) uns--2"
Trouvé en cherchant son contraire (irrationnel r tel que toutes les puissances de 10 sont atteintes -- qui tend vers 100...001/188...89) + théorème de Beatty ensuite

 #32 - 01-11-2016 12:11:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Un irrattionnel bien spécial

Scarta, c'est bien ça, bravo !

Le plus petit x est un rationnel dont l'inverse y est 0,811111.....
Comme y = 73/90, x = 90/73.

Démo courte:

1-y= 0,1888...et donc 0,1111...< 0,18888...

Pour un irrationnel, on se contente de mettre des 0 de temps en temps entre les 1.

 #33 - 02-11-2016 08:28:30

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

un irrayionnel bien spécial

Démonstration un peu plus longue:
Si un tel x existe, il existe un irrationnel y tel que E(n.x) et E(n.y) soient deux suites qui partitionnent l'ensemble des entiers, avec x=y/(y-1). Et donc chaque puissance 10^n est une valeur de E(n.y)
x plus petit possible ==> y plus grand possible.
y>11 ==> il manque 10^1
10<y<11 ==> considérant le premier chiffre non nul après la virgule, au rang r, il apparaît que y.10^r est trop grand alors que y.(10^r-1) est trop petit pour atteindre 10^(r+1)
5.5<y<10 ==> y < 10 et 2y > 11 donc on manque 10^1
Partant de y<5.5, on a n=2 pour atteindre 10, ensuite n=20 sera trop grand pour atteindre 100 donc on prendra n=19 avec pour limite y < 101/19,  n=190 sera trop grand pour atteindre 100, donc on prendra n=189, etc...
La suite Um des valeurs de n est donc:
U0=2 et U(m+1)=10.Um - 1
On trouve son terme général :
Um = (17.10^m+1)/9
La valeur maximale pour y est donc la limite de (10^(m+1)+1) / (17.10^m+1)/9 =90/17
La valeur minimale de x est donc y/(y-1)=90/73.
CQFD

 #34 - 02-11-2016 09:27:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Un irratinonel bien spécial

OK, Scarta, bien vu. C'est un peu plus long, mais on y arrive aussi.

 

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