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#26 - 26-10-2016 11:46:29
- caduk
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Un irrationnel bien spécal
Un rapide essai: Supposons qu'il existe un irrationnel A tel que il existe toujours un N tel que NA = 10^n+a, ou a est un entier quelconque. pour n = 1, on obtient A = (10+a)/p, p entier. Pour n = 2, on obtient p(10^2+a)/(10 + a) = q, q entier. a = (100p-10q)/(q-1) donc a est rationnel. Or A est irrationnel ce qui est absurde.
Donc on ne peut pas tout a fait utiliser la même méthode...
#27 - 26-10-2016 12:19:53
- nodgim
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Un irrationnel bein spécial
C'est sûr que n*A, si n entier et A irrationnel, est irrationnel.
#28 - 28-10-2016 00:36:10
- portugal
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Un irrrationnel bien spécial
On pourrait avoir une petite indication ?
Pour les irrationnels je sèche. Mon intuition est proche de celle de dhrm : ce n'est pas possible car l'irrégularité des irrationnels va empêcher le cycle que l'on peut obtenir avec un rationnel.
Donc impatient être mis sur la piste de mon erreur.
#29 - 28-10-2016 08:04:37
- nodgim
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Un irrationnel bien spéciall
Bon, le temps est passé, je vous donne seulement la solution théorique. Je crois que vous devriez pouvoir trouver le plus petit nombre qui répond à la contrainte (par convention, on dira que 1 n'est pas une puissance de 10).
Je suis sûr que Vous allez bien vous amuser à l'application de la petite formule !
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Pour x réel > 1 donné, n*x, n entier, n'est jamais à moins d'une unité au dessus d'une puissance de 10 si: Soit 10^m = (E+d)x avec E partie entière et d partie décimale non nulle : 10^m + 1 <= (E+1)x ( E + d ) x <= ( E + 1 ) x - 1 d x <= x - 1 0 < d <= 1 - 1 / x.
Si l'on pose y = 1 / x d est la partie décimale de (10 ^ m) * y, c'est à dire la partie située à droite de la virgule de y, la position de celle-ci étant tributaire de 10 ^ m (car multiplier par 10 ^ m, c'est déplacer la virgule de m rangs vers la droite), et donc pouvant prendre n'importe quel emplacement entre 2 chiffres. Il faut 0 < d <= 1 - 1/x = 1 - y quel que soit l'emplacement de la virgule. A n'importe quel endroit de la suite infinie des chiffres de y, la partie droite doit être inférieure ou égale à 1 - y (du fait du caractère infini de la suite des chiffres, il faut remplacer 1 par 0,9999...)
Il suffit donc de construire un tel y pour avoir un x = 1 / y qui réponde à la contrainte.
#30 - 31-10-2016 10:57:16
- nodgim
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un irrationnel bien qpécial
Je donne un exemple avec x=V2=1,414... y= 1/V2 = 0,70710678118654752440084436210485... et 1-y=0,2928.... Les seuls multiples de V2 qui vont donner 10...000,....sont, au vu de la lecture de 1/V2: 71 (car la partie décimale de 70,7 est plus forte que 0,2928) 70711 707107 7071068 7071067812 70710678119 707106781187 7071067811866 .....
#31 - 01-11-2016 11:56:23
- scarta
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Un irraitonnel bien spécial
Je pense que le "plus petit", si on peut dire, est 1,232876712328649.... Plus formellement, lim[(10^(n+2)+1) / (10^(n+2)+1 -2*10^(n+1) + somme(10^k,k=0..n))] + epsilon aussi petit qu'on veut pour avoir un irrationnel. Moins formellement, c'est la limite de "1--n zéros--1"/"8--(n-1) uns--2" Trouvé en cherchant son contraire (irrationnel r tel que toutes les puissances de 10 sont atteintes -- qui tend vers 100...001/188...89) + théorème de Beatty ensuite
#32 - 01-11-2016 12:11:27
- nodgim
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Un irrationnel ben spécial
Scarta, c'est bien ça, bravo !
Le plus petit x est un rationnel dont l'inverse y est 0,811111..... Comme y = 73/90, x = 90/73.
Démo courte:
1-y= 0,1888...et donc 0,1111...< 0,18888...
Pour un irrationnel, on se contente de mettre des 0 de temps en temps entre les 1.
#33 - 02-11-2016 08:28:30
- scarta
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Un irrationnel bien spécail
Démonstration un peu plus longue: Si un tel x existe, il existe un irrationnel y tel que E(n.x) et E(n.y) soient deux suites qui partitionnent l'ensemble des entiers, avec x=y/(y-1). Et donc chaque puissance 10^n est une valeur de E(n.y) x plus petit possible ==> y plus grand possible. y>11 ==> il manque 10^1 10<y<11 ==> considérant le premier chiffre non nul après la virgule, au rang r, il apparaît que y.10^r est trop grand alors que y.(10^r-1) est trop petit pour atteindre 10^(r+1) 5.5<y<10 ==> y < 10 et 2y > 11 donc on manque 10^1 Partant de y<5.5, on a n=2 pour atteindre 10, ensuite n=20 sera trop grand pour atteindre 100 donc on prendra n=19 avec pour limite y < 101/19, n=190 sera trop grand pour atteindre 100, donc on prendra n=189, etc... La suite Um des valeurs de n est donc: U0=2 et U(m+1)=10.Um - 1 On trouve son terme général : Um = (17.10^m+1)/9 La valeur maximale pour y est donc la limite de (10^(m+1)+1) / (17.10^m+1)/9 =90/17 La valeur minimale de x est donc y/(y-1)=90/73. CQFD
#34 - 02-11-2016 09:27:36
- nodgim
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nU irrationnel bien spécial
OK, Scarta, bien vu. C'est un peu plus long, mais on y arrive aussi.
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