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 #1 - 19-01-2020 20:59:29

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1234

0 sur 140

Bonjour, je me suis cassé les dents sur celle-là.
Bon courage!


Parmi 140 (cent quarante) pièces, 4 (quatre) sont fausses. Ces dernières ont toutes le même poids et sont plus lourdes que les bonnes pièces, elles mêmes de poids identiques. Comment identifier 20 (vingt) bonnes pièces à l’issue de 2 (deux) pesées faites avec une balance Roberval à deux plateaux ?



Source: d'après un problème posé lors d'une récente "Euler" compétition.



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 #2 - 19-01-2020 23:23:31

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 90

2 sur 140

Bonjour. C'est chaud ton truc!

Si on part du principe qu'aucune première pesée ne donnera de référence sur les pièces vraies ou fausses (il peut y avoir 0, 1 ou 2 pièces fausses à gauche et à droite dans une pesée équilibrée), conclure dès la seconde pesée me parait ambitieux...

Tu confirmes qu'on a aucune autre info en référence ?

 #3 - 20-01-2020 09:28:05

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1234

20 sru 140

Bonjour TOUFAU
Je confirme l'énoncé.
Effectivement c'est "chaud".

 #4 - 20-01-2020 15:12:51

TOUFAU
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 90

20 sur 1440

Bonjour Princeleroy

Effectivement, c’est faisable 😊

Pesée 1 : 40 pièces à gauche (G) et 40 à droite (D). 60 pièces restantes, hors pesées.

2 cas possibles : un des cotés est plus lourd (cas 1) ou la pesée est équilibrée (cas 2)

Cas 1 - l’un des côtés de la première pesée est plus lourd. Admettons G.

Alors coté D, 0 ou 1 pièce fausse maximum (si 2 ou plus, D ne peut être plus léger)

Pesée 2 : avec les pièces de D réparties, 20 à gauche et 20 à droite.
Cas 1.1 - l’un des côtés est plus lourd : le plus léger contient donc 20 vraies pièces => OK
Cas 1.2 - les côtés sont équilibrés : il n’y avait donc aucune pièce fausse. L’un des deux côtés convient => OK

Cas 2 - les deux côtés de la première pesée sont équilibrés.

3 possibilités : 0, 1 ou 2 pièces fausses de chaque côté. De fait respectivement 4, 2 ou 0 pièces fausses parmi les 60 pièces non encore pesées.

Pesée 2 : à gauche les 40 pièces de D et 20 pièces de G (reste 20 de G), à droite les 60 pièces non encore pesées. Selon les cas et le choix des pièces, le nombre de fausses pièces dans la pesée peut se répartir (0,4) ; (1,2) ; (2,2) ; (2,0) ; (3,0) ou (4,0)

Cas 2.1 - côté gauche plus lourd : il n’y a pas de fausse pièce à droite (sinon au max équilibré). 20 pièces à droite conviennent => OK
Cas 2.2 – pesée équilibrée : nécessairement 2 pièces fausses de chaque côté, donc toutes les pièces fausses sont en pesée. Les 20 pièces non pesées (issu de G en 1ere pesée) sont vraies => OK
Cas 2.3 – côté droit plus lourd. Donc soit (0,4) soit (1,2). Dans les deux cas, aucune fausse pièce à gauche ne provient du plateau G de la première pesée – dans le cas (1,2) la pièce à gauche vient forcément des 40 pièces du plateau D de la première pesée. Donc si on a pris soin de repérer lors de la seconde pesée les pièces provenant de G et de D, les 20 de G sont vraies => OK.   

Comme quoi, hein… 😊

 #5 - 20-01-2020 15:21:49

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1234

20 syr 140

TOUFAU: un grand bravo!

 #6 - 20-01-2020 16:54:47

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

20 sur 10

bonsoir,

je fais 3 lots de pièces :
Lot A = 40 p  ; lot B = 40 p  & lot C = 60 p
Je vais avoir à la première pesée 2 issues possibles :

A) Je compare les 2 lots  A & B  ​

   1) il y a déséquilibre ; et s'il y a déséquilibre , il y a au plus 1 fausse pièce dans le plateau le plus léger .
Et dans ce cas je divise en deux lots de 20 les 40 pièces du plateau le plus léger et je choisis les 20 pièces du plateau supérieur .

   2) Il y a équilibre il y a alors 3 cas de figures :

     a)   0 pièces fausse parmi le lot C (60 restantes) .

     b)  2 pièces fausses dans le lot C .

     c)  4 pièces fausses dans le lot C .

B) seconde pesée quand il y a équilibre lors de la première .

je sélectionne 20 pièces du plateau A  que je place dans le même plateau B  . J'ai donc cette configuration :

   A/2   +    B     ____î____         C

60 pièces sur chaque plateau . J'ai alors 5 cas de figure :

1)    20b           +           40b       /      4 fausses  +  56b         

2)    20b           +     1f  + 39b    /          2 f      +    58b

3)  1f + 19       +      1f  + 39b  __î__    2 f     +     58b

4)     20b         +      2f  + 38b    \                  60b

5)   1f + 19b    +     2f   +  38b  \                   60b

En conclusion parmi ces 5 types de pesées il y a 3 issues  :

les 2 premiers types de pesée font remonter le plateau de gauche et je garde les 20 pièces récupérées ( A/2 )

le 3ième type place les plateaux en équilibre et toutes les pièces fausses sont dans la pesée . Je garde alors l'autre moitié de A  ( A/2 bis )

les deux derniers cas m'indiquent que le plateau de droite ne contient que des pièces bonnes . J'en prélève donc 20 . Et dans tous les cas j'ai 20 pièces bonnes .

 #7 - 20-01-2020 18:18:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3793

20 sur 1440

On répartit en 7 paquets de 20, numérotés de 1 à 7.

Pesée 1 : 12 avec 34.... 567 sur le coté.

Si déséquilibre, le plus léger a au plus 1 pièce fausse. La seconde pesée lève le doute.

Si équilibre, 3 configurations possibles des pièces fausses :

12.......34.........567
1..........1...........2.....(1)
0..........0...........4.....(2)
2..........2...........0.....(3)

Pesée 2 :

123.............567

567 < 123 : (3) : 5 convient.
567 = 123 : (1) : 4 convient.
567 > 123 : (2) ou (1) : 3 convient.

 #8 - 20-01-2020 18:47:32

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1234

20 sut 140

Bravo à unecoudée et à nodgim

 #9 - 20-01-2020 19:28:39

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 886

20 qur 140

Salut,

effectivement, pour un problème avec seulement deux pesées, il n'est pas commode.

Première pesée : 40 pièces (ensemble A) --- 40 pièces (ensemble B), et il reste 60 pièces non pesées (ensemble C).

Si les plateaux ne sont pas équilibrés, on peut supposer que A est plus léger (sinon, cela se traite symétriquement). Alors A comporte au plus une fausse pièce. Comme deuxième pesée, on fait alors 20(A) --- 20(A), et le plateau le plus léger des deux (éventuellement à égalité avec l'autre) contient 20 bonnes pièces.

Si les plateaux sont équilibrés, il y a trois possibilités : ou bien A et B contiennent 0 fausse pièce chacun, ou bien 1 fausse pièce, ou bien 2 fausses pièces. Comme deuxième pesée, on fait alors 40(A)&20(B) --- 60(C).
* Si le plateau de gauche est le plus léger, alors les 20 pièces B qu'il contient sont vraies.
* Si les plateaux sont équilibrés, alors les 20 pièces B qui ne sont pas sur la balance sont vraies.
* Si le plateau de droite est le plus léger, alors les 60 pièces C sont vraies.

 #10 - 20-01-2020 20:15:34

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1234

20 sru 140

Bravo à Ebichu

 #11 - 21-01-2020 18:04:25

Bastidol
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 136

200 sur 140

Bonjour,

Pas facile en effet, mais le fait de dire 20 pièces est un indice.

on fait 7 tas de 20 pièces numérotés de 1 à 7.
on compare 1+2 à 3+4
       si <> on prend le plus léger des 2 plus légers.
       si = on compare 1+2+3 à 5+6+7
              Si 1+2+3 < 5+6+7 on prend le 3
              Si 1+2+3 = 5+6+7 on prend le 4
              Si 1+2+3 > 5+6+7 on prend le 5, 6 ou 7

@+

 #12 - 21-01-2020 20:57:31

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1234

20 sur 1440

Bravo à Bastidol

 #13 - 30-01-2020 16:06:03

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1234

20 sur 104

Bravo à ceux qui ont trouvé!
Voici le problème d'origine:

Parmi cent pièces, quatre sont fausses. Ces dernières ont toutes le même poids et sont plus lourdes que les bonnes pièces, elles mêmes de poids identiques. Combien de bonnes pièces est-il possible d'identifier en deux pesées faites avec une balance Roberval à deux plateaux ?

 

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