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 #1 - 06-08-2017 11:51:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gâteau 1400

Mon pâtissier a été confronté à deux problèmes de boîtes ces derniers jours .

Il a résolu le premier que je vous propose aujourd'hui , il cherche toujours une solution au second que je vous proposerai plus tard .

Voilà son problème smile

Il fait livrer certains de ses gâteaux qu'il emballe toujours dans des boîtes parallélépipédiques . Jusqu'à présent le prix à payer dépendait uniquement du volume de la boîte , mais aujourd'hui , changement de cap : le prix ne dépendra que du périmètre de la boîte ( longueur totale des arêtes ) . Il s'est donc poser une question absurde à priori : peut-il trouver un intérêt quelconque à placer une de ses boîtes déjà préparée dans une autre ?

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau140.png

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] il est clair que l'aire totale de la petite boîte est inférieure à celle de la grande ( c'est vrai pour toute partie convexe dans une autre ) .

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] la diagonale de la petite boîte est inférieure à celle de la grande .

Indice 3 : Spoiler : [Afficher le message] (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) .



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 #2 - 07-08-2017 07:35:34

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 443

Gâteau 40

Bonjour,
Ce n'est pas la question posée, mais si, par exemple, on regroupe 8 boîtes identiques dans un boîte de dimension double, la longueur des arêtes est divisée par 4.

 #3 - 07-08-2017 10:12:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gtâeau 140

C'est toute la difficulté du problème , quand on modifie les dimensions de la boîte le périmètre et le volume ne varient pas de la même façon .

Vasimolo

 #4 - 07-08-2017 18:29:17

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 178

gâreau 140

Je ne suis pas sur de voir ou tu veux en venir : rajouter une boite reviendra toujours plus cher à ton pâtissier ...

 #5 - 07-08-2017 18:58:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

gâtrau 140

On néglige bien sûr le prix du carton smile

Tu peux garantir que le périmètre de la petite boîte est inférieur à celui de la grande ?

Vasimolo

 #6 - 08-08-2017 12:35:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

âteau 140

J'ai ajouté un indice smile

Vasimolo

 #7 - 08-08-2017 13:30:19

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 473

hâteau 140

Je ne connaissais pas ce que tu viens d'indiquer sur l'aire. Après, je suppose qu'il faut utiliser que (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ac), et que la grande diagonale de la petite boîte est plus petite que celle de la grande.

Je vais essayer de mettre ça au propre.

 #8 - 08-08-2017 17:07:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gâtau 140

C'est ça , tu as tous les éléments , il n'y a plus qu'à conclure smile

Vasimolo

 #9 - 08-08-2017 22:14:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gâtau 140

J'ai ajouté un deuxième indice et un peu de temps smile

Vasimolo

 #10 - 08-08-2017 22:29:16

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 473

Gâteau 40

J'ai quand même une question : tu supposes de manière implicite que les boîtes sont des parallélépipèdes rectangles ?

Si oui, effectivement, j'ai terminé. Sinon, il va falloir se creuser un peu plus la tête.

Et une autre question : as-tu une preuve (ou un lien vers une preuve) de ce que tu affirmes dans l'indice 1 ?

 #11 - 08-08-2017 23:42:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gtâeau 140

Je parlais bien de parallélépipèdes rectangles ( en bref : de boîtes ) , on peut voir pour un parallélépipède quelconque mais je n'ai aucune idée de la solution . Pour le premier indice , c'est assez intuitif , on peut imaginer que le grand convexe est une feuille de papier que l'on va froisser pour recouvrir le petit . Je n'ai aucune référence à une quelconque démonstration sad

Vasimolo

 #12 - 09-08-2017 10:11:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
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gâteay 140

Oui, il a tout intéret à mettre sa petite boîte dans une grande car le périmètre sera plus grand.

Avec x, y et z les dimensions du petit parallélépipede et a, b et c celles du grand, on a :

( x + y + z ) < ( a + b + c ) => périmètre plus petit...

Preuve :

( x + y + z )^2 = ( x^2 + y^2 + z^2 ) + 2 ( xy + xz + yz )

Or, pour les grandes diagonales  :  rac( x^2 + y^2 + z^2 ) < rac( a^2 + b^2 + c^2 )
Les deux étant positives : ( x^2 + y^2 + z^2 ) < ( a^2 + b^2 + c^2 )

Et pour les surfaces : 2xy + 2xz + 2yz < 2ab + 2ac + 2bc

 #13 - 09-08-2017 10:35:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

hâteau 140

Je suis d'accord avec tes calculs mais pas avec ta conclusion smile

Vasimolo

 #14 - 09-08-2017 10:51:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,691E+3

Gâteau 410

Pourtant, on arrive à (x+y+z)^2 < (a+b+c)^2 et donc x+y+z < a+b+c CQFD

 #15 - 09-08-2017 12:34:54

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4958

Gâtau 140

C'est certainement de l'humour à deux balles du genre : "personne n'a dit que plus c'est gros plus c'est cher" hmm

Vasimolo

 #16 - 09-08-2017 14:02:48

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,691E+3

Gâetau 140

Alors l'énoncé n'est pas suffisamment clair...

Jusqu'à présent le prix à payer dépendait uniquement du volume de la boîte , mais aujourd'hui , changement de cap : le prix ne dépendra que du périmètre de la boîte ( longueur totale des arêtes ) . Il s'est donc poser une question absurde à priori : peut-il trouver un intérêt quelconque à placer une de ses boîtes déjà préparée dans une autre ?

On peut avoir le même sans sous-entendu interprétable ?

 #17 - 09-08-2017 15:13:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gâtteau 140

Non , tu as tout de même trouvé la solution sans vouloir l'avouer ( un peu tardivement quand même smile ) , l'énoncé ne devait pas être suffisamment limpide lollollollollol

Vasimolo

 #18 - 10-08-2017 07:46:59

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gâteau 40

J'ai ajouté un troisième et dernier indice smile

Vasimolo

 #19 - 10-08-2017 21:59:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2830
Lieu: Luxembourg

Gâteau 40

A, B et C: dimensions de la grande boîte
a, b et c: dimensions de la petite boîte
Indice 3 => (A+B+C)² = A²+B²+C²+2(AB+AC+BC)
et: (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)
Indice 2 => A²+B²+C² > a²+b²+c²
Indice 1 => AB+AC+BC > ab+ac+bc
D’où: A+B+C > a+b+c; donc réponse = non

 #20 - 11-08-2017 07:31:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

Gâtea u140

C'est ça Franky smile

Vasimolo

 #21 - 12-08-2017 12:54:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4958

gâteai 140

Tout a été dit ou presque , il reste une question ouverte levée par Ebichu : et si les boîtes sont des parallélépipèdes non rectangles ?

Merci aux participants smile

Vasimolo

 

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