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 #1 - 11-09-2008 12:33:44

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Dénombremen au compte est bon

Souvenez vous, plusieurs sujets sont passés pour faire des calculs du type "Le compte est bon". (Il fallait par exemple, trouver 232, 981 ou le génial 952 !)

Le problème ici est de dénombrer les calculs qu'un humain/ordinateur aurait à faire s'il devait passer en revue toutes les possibilités. Combien de permutations de 6 (ou moins) nombres et de 4 signes (+-/*) sont possibles ?

Dans un premier temps, nous ne tiendrons pas en compte les éventuelles parenthèses. Dans un second temps, on essaiera de les prendre en compte.



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 #2 - 11-09-2008 12:57:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Dénombrement au compte et bon

Sans les parenthèses : un nombre choisi parmi 6, puis le deuxième (choisi parmi les 5 restants) puis etc. Soit 6! permutations des six chiffres. Un signe choisi parmi 4 entre chaque (en comptant que si l'ordi tombe sur 0,142857... il ne s'offusque pas lol) et on trouve 6! x 4^5 possibilités soit

737 280 combinaisons.

Maintenant je refais le calcul, en considérant que les calculs sont faits comme dans l'émission :

- on applique une opération (parmi 4) entre deux nombres (parmi 6x5 = 30). Il nous reste 4 nombres, plus celui qu'on vient d'obtenir par le calcul.

- re : un signe parmi 4, deux nombres parmi 5x4 = 20.

- etc.

Au final, 4^5 x 6! x 5! (4^5 pour les 5 calculs faits, et le choix des nombres à chaque étape donne 6x5x5x4x4x3x3x2x2x1, qu'on peut réorganiser en (6x5x4x3x2x1)x(5x4x3x2) soit 6! x 5!)

Soit 5! = 120 fois plus que tout à l'heure soit

88 473 600 combinaisons.

C'est ça ? lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 11-09-2008 13:20:32

fatche2con
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 13

dénombrement au compte est bob

Proposition de calcul sans tenir compte des parenthèse:

Il existe 4 puissance 5 "séquences de signes" possible pour chaque permutation de 6 nombres.

6! x (4 puissance 5) = 737280 calculs


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 #4 - 11-09-2008 16:11:38

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

éDnombrement au compte est bon

Je voulais préciser qu'il n'est pas obligatoire d'utiliser les 6 nombres, parfois lors d'un calcul 4 ou 5 suffisent.

 #5 - 12-09-2008 15:26:26

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

dénombtement au compte est bon

Pour dénombrer,
Je dirai bêtement sans réfléchir : 6 *4 x5 *4 x4 *4 x3 *4 x2 *4 x1
ou 6! x 4^5 soit 720*1024 soit 737280 au maximum
( avec toutefois une réserve pratique car si on peut très bien toujours utiliser + et * il faut que / et - donnent un nombre entier positif à la fin dans le jeu et donc / n'est pas toujours utilisable...comme - d'ailleurs si le résultat est < 0... ce qui réduirait les possibilités en fonction du tirage... )

pour les parenthèses, je dirais : exactement pareil !

 #6 - 14-09-2008 10:44:26

fatche2con
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 13

Dénombremennt au compte est bon

je complète ma réponse suite à la précision apportée par EfCeBa

Si on utilise les 6 nombres, il y a 6! x (4 puissance 5) = 737280 calculs
Si on utilise 5 nombres parmi 6, il y a (6! / 1!) x (4 puissance 4) = 184320 calculs
Si on utilise 4 nombres parmi 6, il y a (6! / 2!) x (4 puissance 3) = 23040 calculs
Si on utilise 3 nombres parmi 6, il y a (6! / 3!) x (4 puissance 2) = 1920
Si on utilise 2 nombres parmi 6, il y a (6! / 4!) x (4) = 120
Si on utilise 1 nombre parmi 6, il y a 6 calculs = 6

Soit un total de : 946686

passons aux parenthèses... oO !


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 #7 - 16-09-2008 11:06:10

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Dénombrement au ocmpte est bon

Pour le cas sans les parenthèses, utilisant tous les chiffres :
On a 6 choix pour le premier nombre, 5 pour le suivant etc. Soit 6! combinaisons.
On a ensuite 4 signes possibles à placer entre chaque nombre (5 fois).

6!*4^5 = 737 280 combinaisons.

Pour le cas sans les parenthèses, n'utilisant pas tous les chiffres :
Par le même raisonnement, avec 5 chiffres, on a (5 parmi 6) * 5! combinaisons. De même pour 4.

Ce qui donne :
6!*4^5 + (5 parmi 6)*5!*4^4 + (4 parmi 6)*4!*4^3 + (3 parmi 6)*3!*4^2 + (2 parmi 6)*2!*4^1 +  (1 parmi 6)*1!*4^0 = 946 686 combinaisons.

Donc, pour cette partie, bonne réponse complète de fatche2con et bonne réponse de MthS-MlndN et zikmu

 #8 - 16-09-2008 11:27:24

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

dénombremebt au compte est bon

Pour le cas avec les parenthèses je vais donner un indice :

Il faut utiliser les nombres de Catalan (http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Catalan)

 #9 - 19-09-2008 11:39:37

fatche2con
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 13

dénombrement au compte eqt bon

merci pour l'indice...

d'après mes recherches, le nombre de façon de parentheser une expression comportant 6 nombres serait un C6 ("nombre de catalan d'ordre 6") qui se calcule de la manière suivante :

C6 =  42 façons.

Pour 5 nombres on a :

C5 = 14 façons

C4 = 5 façons

C3 = 2 façons

C2 = 1 façon

donc en integrant les résultats obtenus au-dessus (sans parenthèses), on obtient :

42*737280 calculs
14*184320 calculs
5*23040 calculs
2*1920 calculs
1*120 calculs
6 calculs

soit un total de 33 665 406 calculs.


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 #10 - 25-09-2008 22:52:02

elhierro
Visiteur

Dénombreemnt au compte est bon

J'ai téléchargé il y a quelques années un petit soft (comptebon.exe 222ko) qui semble infaillible .
Il trouve en 4 ou 5 secondes ...

 

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