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 #1 - 23-06-2009 18:46:33

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 2×3119

Énnocé du Bac 2009 Spé Maths

Pour se faire un petit plaisir la dernière question de l'énoncé de l'exercice d'enseignement de spécialité du Bac de Maths (avec autant de génitifs ça ne peut pas être un bac de Français)

Soient a et b, deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec a différent de 0.
On considère le nombre N = a*10^3+b. En base 10 ce nombre s'écrit sous la forme a00b.

Déterminer parmi les nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.

Spoiler : Indice 10^3 est congru à -1 modulo 7



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 #2 - 23-06-2009 19:24:54

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Énoncé du Bac 2009 Sppé Maths

Il faut que N=0 mod (7) donc a *10^3+b mod (7)=-a+b mod(7) donc il faut que -a+b=0 mod(7) d'où il faut que -a+b=7 ou -a+b=0 ou -a+b=-7 donc il y a 14 possibilités

a=1;b=6 d'où le nombre 1001
a=2;b=5 d'où le nombre 2002
a=3;b=4 d'où le nombre 3003
a=4;b=3 d'où le nombre 4004
a=5;b=2 d'où le nombre 5005
a=6;b=1 d'où le nombre 6006
a=5;b=9 d'où le nombre 7007
a=6;b=8 d'où le nombre 8008
a=7;b=7 d'où le nombre 9009
a=2;b=9 d'où le nombre 2009
a=1;b=8 d'où le nombre 1008

a=7;b=0 d'où le nombre 7000
a=8;b=1 d'où le nombre 8001
a=9;b=2 d'où le nombre 9002

 #3 - 23-06-2009 19:34:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Énoncé du Bac 2009 Sppé Maths

10^3 est congru à 6 (ou à -1, pour simplifier) modulo 7 donc a x 10^3 est congru à -a modulo 7, et a00b est congru à b-a modulo 7. Alors a00b est divisible par 7 si et seulement si b-a est divisible par 7, avec a différent de zéro. Ca marche pour a=b, et pour les couples (1,8), (2,9), (8,1), (9,2). Donc, sont divisibles par 7 :

1001
1008
2002
2009
3003
4004
5005
6006
7007
8001
8008
9002
9009


Corrige ton indice, qui est faux lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 23-06-2009 21:08:02

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Énonxé du bac 2009 spé maths

Sachant que 1001 est un multiple de 7 (1001=143*7)
La réponse est tous ceux pour qui a=b modulo 7.
Donc on a:
1001, 1008
2002, 2009
3003
4004
5005
6006
7007, 7000
8008, 8001
9009, 9002

au total 14.

PS: L'indice n'était pas nécessaire.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 23-06-2009 21:42:13

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

Énoncé du bac 2009 spé mzths

Ce nombre sera divisible par 7 si (b-a) est divisible par 7.

Donc N=1008 ou N=2009


There's no scientific consensus that life is important

 #6 - 23-06-2009 23:10:46

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Énoncé du Bac 2009 Sppé Maths

à partir du moment que l'on a établi que 1000 est congru à -1 modulo 7, cela devient trivial.
On a donc 1001 qui est congru à 0 modulo 7 et donc aussi 1008
en multipliant par 2 : 2002 et donc aussi 2009
par 3 : 3003
par 4 : 4004
par 5 : 5005
par 6 : 6006
on a évidemment 7000 et aussi 7007
en repartant de 7000 on ajoute ce qu'on a trouvé au début donc on a aussi :
8001, 8008, 9002, 9009.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #7 - 24-06-2009 02:37:25

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1476

Énonxé du bac 2009 spé maths

Je dirais l'ensemble des N avec a et b tq (b-a) % 7= 0 (puisque 1001 % 7 = 1, N est congru à b-a modulo 7)
Ca fait donc 1001,2002, 3003, 4004, 5005, 6006, 7000, 7007, 8001, 8008, 9002 et 9009

 #8 - 24-06-2009 04:05:09

Bamby
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 41

Énnoncé du Bac 2009 Spé Maths

j'ai fais la bétise de lire l'indice tot, ca rends vraiment l'enigme trivial hmm

il faut que b - a soit congru a 0 modulo 7, soit :
A B
1 1
1 8
2 2
2 9
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
7 0
8 8
8 1
9 9
9 2
avec 2 zéro au milieu !

 #9 - 24-06-2009 15:49:35

zikmu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 277

Énoncé du bzc 2009 spé maths

Je dirais que le premier est 1001 et ensuite...

1008,2002,2009,3003,4004,5005,6006,7000,7007,8001,8008,9002 et 9009

   9 multiples de 1001
+ 2 multiples de 1001 + 7 ( < a010 )
+ 3 multiples de 1001 - 7  ( >= a000 ) 
___
=14 wink

 #10 - 25-06-2009 03:40:57

salehseghiri
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 40

Énincé du bac 2009 spé maths

1000a+b≡0[7] ⇒ b-a≡0[7]
donc:
N=1001;1008;2002;2009;3003;4004;5005;6006;7007;8001;8008;9002;9009

 

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