En fait, je crois que calculer une espérance de [1/2*50+1/2*200] ne revient pas à calculer l'espérance de l'autre enveloppe mais plutôt l'espérance des espérances possibles de l'autre enveloppe !
En détail : l'autre enveloppe a soit une espérance de 50, soit une espérance de 200. Ces espérances étant a priori équiprobables, on peut s'amuser à calculer que l'espérance de ces espérances est égale à 125.
La question est : calculer l'espérance de plusieurs espérances a-t-il un sens, mathématiquement parlant ? (Tout comme une division par zéro n'a pas de sens, car ne permet pas de conclure quoi que ce soit).

Sinon, l'idée de calculer de façon globale est très bonne.

Moi aussi je me suis replongé dedans

Et j'ai fait quelques menues simulations sur tableur :
- Random de 1 à 10 000 000 dans enveloppe A, le double dans l'enveloppe B. Random entre A et B (on choisit une des 2 enveloppes). Et je fais la moyenne des 2 stratégies : je garde toujours la 1ère, je change toujours pour la 2nde.
- Pareil mais je fais initialement un Random de N = 1 à 15 et je mets 2^N dans l'enveloppe A. Ce qui se rapproche a priori bien plus de notre problème.

Je n'ai certes pas fait la simu sur 1 000 000 de valeurs, mais seulement sur quelques centaines, en la relançant plusieurs fois.
J'observe des valeurs similaires et des chances à peu près équiprobables.
La limite d'un tel exercice est effectivement la limite haute qu'on se donne et qu'on n'a pas raison de se donner.

Je voudrais clarifier ma compréhension du problème :
- le problème est hors contexte. La personne qui joue n'a aucun indice sur les valeurs possibles dans les enveloppes. On pourrait faire le jeu qu'avec des enveloppes 100€ et 200€ du moment que le secret sur le contenu est gardé.
- même si j'ai eu tendance à me fourvoyer au début, il me paraît maintenant évident que changer d'enveloppe ne change rien en espérance de gain. La somme trouvée dans l'enveloppe tirée ne donne aucune indication sur la 2nde enveloppe. On aurait pu tout aussi bien tirer en 1er cette 2nde enveloppe et le problème est symétrique. Donc équiprobable.
- On se fourvoie donc en calculant une espérance de gain à 125. Et c'est là tout le paradoxe ! Magnifique paradoxe pour un problème si simple. Et je n'ai pas la réponse à cela : pourquoi ce calcul d'espérance de gain est-il faussé ? C'est peut-être donné plus haut mais ça dépasse alors ma compréhension

Merci Enigmatus pour la simulation corrigée (ainsi que pour ta vision du remplissage a posteriori de la seconde enveloppe, qui pourra peut-être convaincre).

Fix, tu dis :"La limite d'un tel exercice est effectivement la limite haute qu'on se donne et qu'on n'a pas raison de se donner.".

Justement si, il faut se donner une limite :
Pour les organisateurs du jeu ou pour le simulateur sur Python, il faut prendre une limite* sinon on ne peut pas générer le tirage au sort des paires d'enveloppes.

*Plus général qu'une limite haute (et une limite basse d'ailleurs), ce qu'il est indispensable d'avoir (pour les organisateurs ou le simulateur), c'est la loi de probabilité pour chaque paire d'enveloppes possible. Et cette loi doit bien sur vérifier que la somme de ces probabilités sur l'espace des paires possibles est 1.

Et c'est la raison pour laquelle il ne peut pas y avoir d’équiprobabilité entre toutes les paires d'enveloppe possible si cet espace est non borné.

Pour le joueur maintenant :
Si le joueur ne connait pas la loi de probabilité, la connaissance du montant de la première enveloppe ne lui fournit aucune clef supplémentaire et l'échange n'a pas d'intérêt (c'est comme s'il décidait sans connaître ce montant).
En revanche, le montant de la première enveloppe apporte un indice si la loi de probabilité est connue par le joueur et s'il sait dire quelles sont les 2 probabilités des paires (S/2;S) et (S;Sx2).

J'espère éclairer avec ce complément (ou du moins éclairer ce dont je suis convaincu et heureux de l'être).

Bonjour à tous !

Tombé par les hasards d'une recherche googueulienne sur cette énigme, j'ai lu quelques uns des commentaires, et cela m'a donné envie de répondre. Je me suis donc inscrit sur le site à cet effet.

Pardon d'avance si je tombe dans la "redite" : je n'ai pas eu la patience d'éplucher les 8 pages du sujet, mais pu lire quand même quelques contrevérités et absurdités, voire des délires comme lesoulignait l'un des intervenants.

Bon, prenons le sujet.
En fait, il s'agit d'un très classique problème de mathématiques où l'énoncé pose un problème de sémiologie en plus d'un problème mathématique.

Oublions le débat sur le "protocole" ayant amené le choix : l'enveloppe qui est remise au locuteur l'est bien du fait du hasard. Donc il n'y a rien à calculer de ce côté là.

En revanche, il me semble avoir remarqué que personne n'a mentionné le verbe GAGNER, dans son sens linguistique et non mathématique.
Formulé autrement, celà veut dire qu'au départ, le locuteur a une situation financière que nous appellerons ZERO par convention, et donc qu'à l'issue de ce que nous devons examiner, le locuteur aura gagné quelque chose.
En aucune façon il aura perdu, puisqu'il aura toujours plus qu'au départ.
Il convient donc de bannir le mot PERDRE du raisonnement mathématique, puisqu'il n'est pas adapté.

A quel choix est confronté le locuteur ?
En fait, contrairement à ce que l'énoncé laisse entendre, le locuteur est confronté à TROIS évènements possibles et distincts :
1) Garder l'enveloppe qui lui est remise (et gagner 100)
2) choisir l'autre enveloppe et gagner 50
3) choisir l'autre enveloppe et gagner 200

Et s'il y a bel et bien 2 évènements pour le choix de l'autre enveloppe, parce que justement le locuteur n'est pas intervenu sur le choix du montant qui y serait inséré, la présentation du problème est telle qu'elle nous laisse à penser qu'il n'y a que ces 2 là, alors qu'en fait il y en a 3 : garder ou non l'enveloppe est bien un évènement au sens mathématique.

Bien entendu, le locuteur a une influence : il sait qu'il peut choisir le premier évènement et donc gagner 100, alors qu'il n'a aucune influence sur les 2 autres.
En revanche, il sait qu'il gagnera au moins 50, quel que soit son choix.

Ce problème montre aussi les limites de la probabilité : au départ, lorsqu'il rencontre le présentateur, son espérance de gain ne peut être que de 50, 100 ou 200, aucun autre montant n'étant possible. S'il opte pour le changement d'enveloppe, son espérance de gain est de 50 car c'est le seul montant qui soit ASSURE, alors que 200 n'est qu'HYPOTHETIQUE. Vouloir dissocier les évènements 2 et 3 de l'ensemble est un antilogisme, et vouloir appliquer un calcul d'espérance tel que les lois statistiques nous l'enseignent devient une absurdité.

En outre, il est idiot de vouloir appliquer un calcul de proba aux choix de l'enveloppe dans la mesure où l'un des évènements est choisissable par le locuteur, et pas les autres. En mathématiques, ce genre d'erreur s'appelle un PARALOGISME, c'est comme si vous vouliez diviser par zero les 2 membres d'une équation au prétexte que c'est le même diviseur.

Il faut maintenant répondre à la question : que faire ?
3 évènements, de probabilité équivalente puisque le locuteur pose la question de savoir ce que la logique lui impose.
Donc 33% de gagner X, 33% de gagner 2X et 33% de gagner 4X.
Or le gain de 2X est, lui, assuré.
Il n'y a donc finalement qu'un tiers de chance d'améliorer le gain ou de le diminuer.
Et comme il y a bien 3 évènements, que le gain assuré est de 2X  et que la chance de l'améliorer de 2X n'est que d'un tiers, avec un risque équivalent de le diminuer, aucune loi de logique mathématique ne permet de décider quelle attitude adopter.
En revanche, la LOGIQUE dans son ensemble nous fait revenir à l'énoncé : le locuteur était dans une situation financière ZERO et au final il sera gagnant quel que soit son choix.
Il DOIT donc saisir sa chance puisqu'il ne PEUT PAS perdre !

conclusion : il choisit la seconde enveloppe 

CQFD

(pardon pour la longueur du message)