En développant, on trouve vite que x=2, pour toute valeur de a et de b.
Par contre, si a et b sont fixes, il peut y avoir d'autres solutions

$$\begin{align} a^x &= bx \left( \frac{a}{b} + \frac{b-b^{x-1}}{x} \right) + a \left( a - x \right) \\ &= a x + b^2 - b^x + a^2 - a x &= a^2 + b^2 - b^x a^x + b^x &= a^2 + b^2 \end{align}$$
Pour tout a, et pour tout b non nul (car on divise par b dans l'équation de départ), la solution x=2 fonctionne. Ensuite, il y a peut-être des solutions particulières pour certaines valeurs de a et b, mais euh... la flemme. Je rajoute juste une question subsidiaire : pour quels couples (a,b) obtient-on une infinité de solutions ?

a^x+b^x=a²+b²
donc x=2

La réponse est 2... Mon côté physicien me dit que ça doit avoir un rapport avec le respect des unités! Mais les mathématiciens évoluent dans un monde dénué de physique alors je ne sais pas si ma justification tient la route

Bonjour

Après simplifications pour $a$ et $x$ non nuls on arrive à : $a^x+b^x=a^2+b^2 .$
$x=2$ est toujours solution mais pour certaines valeurs de $a$ et $b$ il peut y avoir plusieurs voire une infinité de solutions .

Vasimolo

on arrive a :
a^2 +b^2 = a^x+b^x
on arrive alors a :
si a vaut -1 et b -1,0 ou 1 c'est vrai pour tout x pair.
si a vaut 0 ou 1 et b -1 idem.
si a et b valent 0 ou 1, c'est vrai pour tout x.
sinon,  x vaut 2.

déjà vu l'expression, on ne peut avoir x=0 ni b=0 ni a<0 ni b<0
en simplifiant, on obtient alors a²+b² = a^x + b^x

Ainsi si a et b sont supérieur à 1 et l'un des deux strictement alors a^x +b^x est strictement croisant donc 2 est bien la seule solution.

De meme si a et b sont inférieur à 1 et l'un des deux strictement.

Dans le cas a=b=1, n'importe quel x convient.

dans le cas a<1 et b>1 il faut étudier les variations, on en déduit bien que 2 est unique solution.

La réponse est x=2
Comment? En simplifiant l'équation
Après une petite distributivité ( en fait il y en a daux à faire) nous obtenons
$$a^{x}=\frac{bxa}{b}+\frac{bx(b-b^{x-1})}{x}+a^2-ax$$
On simplifie les $\frac{b}{b}$ et $\frac{x}{x}$ qui font 1
ainsi les ax s'annulent et on a
$$a^x=b*(b-b^{x-1}+a^2)$$
Aprés distribution des b
$$a^x=b^2-b^x+a^2$$
Finalement j'obtiens $a^x+b^x=a^2+b^2$

Et la seule réponse possible pour x est 2

c'est vrai qu'elle est trés bonne cette énigme qui à première vue peut paraitre impossible mais elle est assez facile

on développe tout et on trouve a^x +b^x = a^2 +b^2....

Bravo à tout le monde.
C'était trop facile pour vous.
Mais ce n'était qu'une petite partie du casse tête.
La version complète du casse tete était trop longue à posée. Je suis encore entrain de la résoudre en ce moment pour avoir une solution complète.

Oui, j'ai pas fais gaffe à la division par b. Faut dire, j'ai tout fait de tête, alors bon, faut me pardonner. Mais j'avais quand même fait attention au fait que selon a et b, le nombre de solutions était différent.