Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 06-01-2012 23:58:29

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1744

Comment découpe un carré en 3 ?

Voici une énigme que l'on m'a posée récemment :

Comment découper un carré en trois parties de surfaces égales de façon à ce que le découpage soit le moins long possible ?

Je ne connais pas encore la réponse définitive.

Pour fixer les choses, on va dire que le côté du carré mesure 1.



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 #2 - 07-01-2012 00:26:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4426

Commen découper un carré en 3 ?

Bonsoir smile

Personnellement j'aurais fait une coupe au tiers , parallèlement à un côté et j'aurais coupé la plus grosse en part en deux dans une direction perpendiculaire à la première coupe . La longueur totale de la coupe serait de 5/3 , je parierais qu'il y a mieux .

Vasimolo

 #3 - 07-01-2012 00:46:40

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1904
Lieu: UK

Comment découpper un carré en 3 ?

Soit ABCD le carré de coté c=1
on découpe un coin à la distance k<1 de A
aire=k^2

on coupe suivant CI, I étant le milieu de la précédente coupe.
aire=c^2-k^2/2

soit k=sqrt(2/3)

les longcueurs de coupe sont alors
sqrt(2)k+(sqrt(2)–sqrt(2)k/2)=sqrt(2)*(k+1-k/2)=sqrt(2)*(sqrt(2/3)+2)/2=1.986
ce qui est à peine mieux que 2, longueurs de deux bandes.

il y a t-il mieux
Ps: j'ai fait ca sans papier, verification required!


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 07-01-2012 01:03:47

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1744

Commeent découper un carré en 3 ?

Pour l'instant, la meilleure réponse a été donnée par Vasimolo, avec une longueur de Spoiler : [Afficher le message] 5/3 .
Mais il y a mieux.

 #5 - 07-01-2012 07:53:40

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 637

Comment découper un carré en 3?

Bonjour,
La longueur d'un découpage est une notion inconnue des mathématiciens...
Avec mes salutations,
masab

 #6 - 07-01-2012 10:00:56

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 461
Lieu: Ardèche

Comment découper un carré en 3?

J'en suis à 1.63491250...
C'est "presque" la solution de Vasimolo.
Mais on peut tirer le point d'intersection le long de l'axe de symétrie et gagner un peu.

EDIT suite à spoiler de titoufred
http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-carre-en-3.png1.623278144...
[TeX]\frac 2 3+\frac {\pi} 6+\frac {\sqrt 3} 4[/TeX]

 #7 - 07-01-2012 10:08:13

clems86
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 5

Comment découper un craré en 3 ?

Salut,

à la main j'ai trouvé 5/3 en faisant un T, mais en tirant un peu le T (mais avec l'aide de l'ordinateur pour les calculs) j'ai réussi à réduire cette distance à:
2/3 + (15^1/2)/4 = 1,6349... si je ne me suis pas trompé. smile

 #8 - 07-01-2012 13:00:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2552

Comment découper u ncarré en 3 ?

J'ai déja vu ça quelque part....et je crois me souvenir que ce n'est pas une ligne droite, ça doit faire un T dont la branche horizontale est courbe.

 #9 - 07-01-2012 14:08:22

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1744

Coment découper un carré en 3 ?

Le résultat a été amélioré par halloduda et clems86 en Spoiler : [Afficher le message] [latex]\frac 2 3 +\frac{\sqrt {15}}4 = 1,63...[/latex]
Mais il y a mieux d'après les souvenirs nodgim.

 #10 - 07-01-2012 15:22:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4426

comment décoyper un carré en 3 ?

J'arrive au même résultat que halloduda et clem .

Pour faire mieux il faudrait casser la symétrie ou faire des coupes curvilignes mais pourquoi pas .

Vasimolo

 #11 - 07-01-2012 17:42:53

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

CComment découper un carré en 3 ?

Si je ne me suis trompé nulle part...

J'essaie de découper mon carré de la façon ci-dessous (avec les traits en bleu, ceux en rouge servant de traits de construction) :

http://www.prise2tete.fr/upload/MthS-MlndN-decoupagecarre.png

La surface de la zone de gauche vaut [latex]x + \frac{y}{2} = \frac{1}{3}[/latex] d'où [latex]x = \frac{1}{3} - \frac{y}{2}[/latex]. C'est la seule contrainte, car si cette aire vaut 1/3, les deux autres aussi, forcément.

On veut minimiser la longueur de la séparation, qui est deux fois la longueur des traits obliques de gauche plus la longueur du trait "horizontal" de droite :
[TeX]2 \sqrt{y^2+\frac{1}{4}} + (1-x-y)[/TeX]
soit, en remplaçant [latex]x[/latex] par [latex]\frac{1}{3} - \frac{y}{2}[/latex] :
[TeX]2 \sqrt{y^2+\frac{1}{4}} + \frac{2}{3} - \frac{y}{2}[/TeX]
Comme j'ai la flemme de dériver ce truc et de chercher pour quel y entre zéro et un la dérivée s'annule, je demande à Wolfram|Alpha qui me répond
[TeX]y = \frac{1}{2 \sqrt{15}}[/TeX]
et la longueur bleue y vaut [latex]\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{15}}{4} \approx 1.635[/latex].

On doit pouvoir trouver légèrement mieux, mais je ne vois pas comment...



Edit : bah tiens, Halloduda et Clems86 ont la même lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 07-01-2012 18:29:26

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1904
Lieu: UK

Comment découper un craré en 3 ?

Voila différentes méthodes de coupe,
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-carre.png
La dernière offre un minimum de [latex]\frac 2 3+\frac {\sqrt{15}}4[/latex] avec
[TeX]k=\frac 2 3+\frac 1 {4\sqrt{15}}[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #13 - 07-01-2012 19:07:02

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 637

Comment découper un carré e 3 ?

On considère la figure suivante

http://www.prise2tete.fr/upload/masab-decoupageCarre.jpg

On note a la distance du point A au côté inférieur du carré.
On note c la différence entre l'ordonnée de B et l'ordonnée de A.
La région inférieure gauche a une aire égale à 1/3 donc
a/2+c/4=1/3
c=4/3-2a
Calculons la longueur de ce découpage en fonction de a :
[TeX]f(a) = a + 2 \sqrt{c^2-\frac{1}{4}}[/TeX]
[TeX]f(a) = a + 2 \sqrt{(\frac{4}{3}-2a)^2-\frac{1}{4}}[/TeX]
Un calcul simple montre que f'(a)=0 pour
[TeX]a=\frac{2}{3}-\frac{1}{4\sqrt{15}}[/TeX]
Dans ce cas on a [latex]f(a)=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{15}}{4}=1.63491...[/latex]

 #14 - 07-01-2012 19:39:35

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1311
Lieu: Coutiches

Comment décuper un carré en 3 ?

Salut !

Alors perso j'ai trouvé : [40-racine(15)+8racine(57)]/60 = 1.609...

Si c'est bon, j'expliquerai ma démarche...


Pardon, erreur dans ma simplification, je trouve aussi 2/3 + racine(15)/4.

 #15 - 08-01-2012 00:12:26

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1145
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Comment découper un carré n 3 ?

J'imagine que par "le moins long", il faut comprendre "de longueur minimale".
Est-ce que le pliage est autorisé ? Si oui, on peut tendre vers une longueur nulle.
Sinon, je ne vois rien de mieux pour l'instant qu'un découpage façon drapeau du Bénin (au tiers dans un sens, puis à la moitié dans l'autre).


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #16 - 08-01-2012 00:29:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1744

Comment découpe run carré en 3 ?

Quelques précisions pour tous ceux qui demandent :

Oui, "le moins long possible" signifie "de longueur minimale".

Non, les pliages ne sont pas autorisés.

 #17 - 08-01-2012 10:25:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2552

Comment décuoper un carré en 3 ?


http://www.diophante.fr/problemes-par-t … s-optimal


Réponse ici.
Mais bon, les matheux qui hantent ce site, c'est en général du très haut niveau....

 #18 - 08-01-2012 12:54:04

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1744

comment découpet un carré en 3 ?

Un indice pour tous ceux qui cherchent la solution optimale : Spoiler : [Afficher le message] Il faut utiliser des arcs de cercle.

 #19 - 08-01-2012 13:06:44

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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Messages : 791
Lieu: Seahaven island

Comment découper un caré en 3 ?

Il faut utiliser des arcs de cercle.

Ouch,
Je suivais cette intéressante question par curiosité et je m’étais déjà convaincu qu'il ne pouvait y avoir de courbe smile et après cette remarque, ouch! et c'est vrai que il n'y a pas de raison smile

 #20 - 10-01-2012 00:03:21

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1744

comment découpet un carré en 3 ?

Bravo à Halloduda qui a donné le découpage optimal !

 #21 - 10-01-2012 10:44:09

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 637

Commeent découper un carré en 3 ?

Il reste à prouver que [latex]\frac 2 3+\frac {\pi} 6+\frac {\sqrt 3} 4[/latex] est la longueur minimale...
Dans sa solution, halloduda n'indique pas où est situé le point du carré d'où partent les 3 lignes de découpage. On aurait aussi aimé voir ses calculs pour mieux comprendre d'où sort la formule [latex]\frac 2 3+\frac {\pi} 6+\frac {\sqrt 3} 4[/latex] qu'il semble nous parachuter... lol

 #22 - 10-01-2012 11:07:54

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

Comment découpre un carré en 3 ?

Ca me fait penser aux théories des surfaces minimales souvent illustrées par des bulles de savon. Dans le plan elles se rejoignent 3 à 3.

 #23 - 10-01-2012 18:22:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4426

comment déciuper un carré en 3 ?

A la main j'ai bien retrouvé le résultat d'Halloduda , c'est un peu long mais pas compliqué . J'ai aussi une petite idée de la justification du minimum via l'inégalité isopérimétrique mais il reste des zones d'ombre .

Vasimolo

 #24 - 10-01-2012 18:53:07

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 791
Lieu: Seahaven island

commenr découper un carré en 3 ?

Hello, il y a un argument simple que j'ai loupé qui explique pourquoi parmi les courbes curvilignes on retient des arcs de cercles? (il y a plein d'autres manières d’être courbe)

 #25 - 10-01-2012 19:04:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4426

Comment découpper un carré en 3 ?

C'est lié au fait qu'un lacet de périmètre donné encerclant une surface maximale est un cercle . Je vais joindre une illustration même si je ne suis pas au bout du problème !

Vasimolo

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(1) — Decoupage de la tete en carre et faite petit (1) — Comment separe un rectangle en huit parties egales (1) — Illustrator decouper forme en 3 partie egale (1) — Comment trouver deux carree et deux rectangles dans un carre (1) — Comment faire un carre en decoupant un t en 4 formes identiques (1) — Comment decouper un carre en 4 morceau en 3 (1) — Figure carree a cinq parts (1) — Plie 3 carre en 4 (1) — Comment fractionner une surface (1) — Comment diviser un carre par 7 (1) — Feuille carre partagee en 6 carres (1) — Commant on peut couper un coupe carre (1) — Un carre a partager en trois (1) — Le tier du carre de trois (1) — Jeu former un carre (1) — On a un rectangle on le decoupe en 8 morceau egal comment en faire un carre (1) — Comment faire trois carre avec 7 points (1) — Carre coupe en trois (1) — 2 carre fractionne (1) — On a partage les cote du rectangle en tier (1) — Comment partager un carre 2 (1) — Comment separer un carre en 3 part egale (1) — Combien y a t il de cube dans cette figure (1) — Le carre des trois deux (1) — Comment couper un losange en 3 partie egales (1) — Comment couper un carre en deux en faisant deux rectangle et deux carrees (1) — Jeux logique decoupe (1) — Carre diviser en losange (1) — Divise un carre en trois parts egales (1) — Comment decouper un carre en n carres (1) — Decoupage d un carre en 11 carre (1) — Comment diviser les 3/4 d un carre de la meme forme (1) — Couper un carre en tiers (1) — Couper un carre a 3 cases en 4 (1) — Casse tete comment decouper un rectangle en carre (1) — Carre avec 3 traits (1) — Math diviser un un carre en 25 (1) — Partager un l en 4 parties (1) — Coupe carre en 8 parts (1) — Partager un carre en 9 (1) — Couper un rectangle carre en 3 (1) — Carre devise en trois (1) — Mathematiques decoupage carre (1) — Decoupage de carres pour le (1) — On peut decouper la figure de gauche pour obtenir deux parties identiques (1) — Enigme des carres 3*3 (1) — Diviser une surface en 3 (1) — Illustrator separer diviser forme (1) — T au carre; comment former un carre en decoupant un t en quatre zones de meme forme (1) — Comment former un carre en decoupant cette surface en quatre xones de meme forme? 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