Enigmes

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 #1 - 06-01-2012 23:58:29

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1419

Commen découper un carré en 3 ?

Voici une énigme que l'on m'a posée récemment :

Comment découper un carré en trois parties de surfaces égales de façon à ce que le découpage soit le moins long possible ?

Je ne connais pas encore la réponse définitive.

Pour fixer les choses, on va dire que le côté du carré mesure 1.



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 #2 - 07-01-2012 00:26:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 3194

Comment découper un carréé en 3 ?

Bonsoir smile

Personnellement j'aurais fait une coupe au tiers , parallèlement à un côté et j'aurais coupé la plus grosse en part en deux dans une direction perpendiculaire à la première coupe . La longueur totale de la coupe serait de 5/3 , je parierais qu'il y a mieux .

Vasimolo

 #3 - 07-01-2012 00:46:40

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1897
Lieu: UK

comment découper un caeré en 3 ?

Soit ABCD le carré de coté c=1
on découpe un coin à la distance k<1 de A
aire=k^2

on coupe suivant CI, I étant le milieu de la précédente coupe.
aire=c^2-k^2/2

soit k=sqrt(2/3)

les longcueurs de coupe sont alors
sqrt(2)k+(sqrt(2)–sqrt(2)k/2)=sqrt(2)*(k+1-k/2)=sqrt(2)*(sqrt(2/3)+2)/2=1.986
ce qui est à peine mieux que 2, longueurs de deux bandes.

il y a t-il mieux
Ps: j'ai fait ca sans papier, verification required!


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 07-01-2012 01:03:47

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1419

Comment découperr un carré en 3 ?

Pour l'instant, la meilleure réponse a été donnée par Vasimolo, avec une longueur de Spoiler : [Afficher le message] 5/3 .
Mais il y a mieux.

 #5 - 07-01-2012 07:53:40

masab
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 430

Comment découper un carér en 3 ?

Bonjour,
La longueur d'un découpage est une notion inconnue des mathématiciens...
Avec mes salutations,
masab

 #6 - 07-01-2012 10:00:56

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 396
Lieu: Ardèche

Comment découper un carré en 3 ??

J'en suis à 1.63491250...
C'est "presque" la solution de Vasimolo.
Mais on peut tirer le point d'intersection le long de l'axe de symétrie et gagner un peu.

EDIT suite à spoiler de titoufred
http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-carre-en-3.png1.623278144...
Formule LaTeX : \frac 2 3+\frac {\pi} 6+\frac {\sqrt 3} 4

 #7 - 07-01-2012 10:08:13

clems86
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 5

Comment édcouper un carré en 3 ?

Salut,

à la main j'ai trouvé 5/3 en faisant un T, mais en tirant un peu le T (mais avec l'aide de l'ordinateur pour les calculs) j'ai réussi à réduire cette distance à:
2/3 + (15^1/2)/4 = 1,6349... si je ne me suis pas trompé. smile

 #8 - 07-01-2012 13:00:57

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1731

Comment découper un caré en 3 ?

J'ai déja vu ça quelque part....et je crois me souvenir que ce n'est pas une ligne droite, ça doit faire un T dont la branche horizontale est courbe.

 #9 - 07-01-2012 14:08:22

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1419

comment dévouper un carré en 3 ?

Le résultat a été amélioré par halloduda et clems86 en Spoiler : [Afficher le message] Formule LaTeX : \frac 2 3 +\frac{\sqrt {15}}4 = 1,63...
Mais il y a mieux d'après les souvenirs nodgim.

 #10 - 07-01-2012 15:22:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 3194

Comment découperr un carré en 3 ?

J'arrive au même résultat que halloduda et clem .

Pour faire mieux il faudrait casser la symétrie ou faire des coupes curvilignes mais pourquoi pas .

Vasimolo

 #11 - 07-01-2012 17:42:53

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Comment déécouper un carré en 3 ?

Si je ne me suis trompé nulle part...

J'essaie de découper mon carré de la façon ci-dessous (avec les traits en bleu, ceux en rouge servant de traits de construction) :

http://www.prise2tete.fr/upload/MthS-MlndN-decoupagecarre.png

La surface de la zone de gauche vaut Formule LaTeX : x + \frac{y}{2} = \frac{1}{3} d'où Formule LaTeX : x = \frac{1}{3} - \frac{y}{2}. C'est la seule contrainte, car si cette aire vaut 1/3, les deux autres aussi, forcément.

On veut minimiser la longueur de la séparation, qui est deux fois la longueur des traits obliques de gauche plus la longueur du trait "horizontal" de droite :

Formule LaTeX : 2 \sqrt{y^2+\frac{1}{4}} + (1-x-y)

soit, en remplaçant Formule LaTeX : x par Formule LaTeX : \frac{1}{3} - \frac{y}{2} :

Formule LaTeX : 2 \sqrt{y^2+\frac{1}{4}} + \frac{2}{3} - \frac{y}{2}

Comme j'ai la flemme de dériver ce truc et de chercher pour quel y entre zéro et un la dérivée s'annule, je demande à Wolfram|Alpha qui me répond

Formule LaTeX : y = \frac{1}{2 \sqrt{15}}

et la longueur bleue y vaut Formule LaTeX : \frac{2}{3}+\frac{\sqrt{15}}{4} \approx 1.635.

On doit pouvoir trouver légèrement mieux, mais je ne vois pas comment...



Edit : bah tiens, Halloduda et Clems86 ont la même lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 07-01-2012 18:29:26

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1897
Lieu: UK

comment décoyper un carré en 3 ?

Voila différentes méthodes de coupe,
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-carre.png
La dernière offre un minimum de Formule LaTeX : \frac 2 3+\frac {\sqrt{15}}4 avec
Formule LaTeX : k=\frac 2 3+\frac 1 {4\sqrt{15}}


The proof of the pudding is in the eating.

 #13 - 07-01-2012 19:07:02

masab
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 430

Comment décuper un carré en 3 ?

On considère la figure suivante

http://www.prise2tete.fr/upload/masab-decoupageCarre.jpg

On note a la distance du point A au côté inférieur du carré.
On note c la différence entre l'ordonnée de B et l'ordonnée de A.
La région inférieure gauche a une aire égale à 1/3 donc
a/2+c/4=1/3
c=4/3-2a
Calculons la longueur de ce découpage en fonction de a :
Formule LaTeX : f(a) = a + 2 \sqrt{c^2-\frac{1}{4}}
Formule LaTeX : f(a) = a + 2 \sqrt{(\frac{4}{3}-2a)^2-\frac{1}{4}}
Un calcul simple montre que f'(a)=0 pour
Formule LaTeX : a=\frac{2}{3}-\frac{1}{4\sqrt{15}}
Dans ce cas on a Formule LaTeX : f(a)=\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{15}}{4}=1.63491...

 #14 - 07-01-2012 19:39:35

golgot59
Expert de Prise2Tete
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Messages : 674
Lieu: Coutiches

Comment découuper un carré en 3 ?

Salut !

Alors perso j'ai trouvé : [40-racine(15)+8racine(57)]/60 = 1.609...

Si c'est bon, j'expliquerai ma démarche...


Pardon, erreur dans ma simplification, je trouve aussi 2/3 + racine(15)/4.

 #15 - 08-01-2012 00:12:26

fix33
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 617
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Comment découper u ncarré en 3 ?

J'imagine que par "le moins long", il faut comprendre "de longueur minimale".
Est-ce que le pliage est autorisé ? Si oui, on peut tendre vers une longueur nulle.
Sinon, je ne vois rien de mieux pour l'instant qu'un découpage façon drapeau du Bénin (au tiers dans un sens, puis à la moitié dans l'autre).


$*¤@~^  #¨*  §/']&  ?!?!

 #16 - 08-01-2012 00:29:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1419

Comment découper un craré en 3 ?

Quelques précisions pour tous ceux qui demandent :

Oui, "le moins long possible" signifie "de longueur minimale".

Non, les pliages ne sont pas autorisés.

 #17 - 08-01-2012 10:25:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1731

comment dévouper un carré en 3 ?


http://www.diophante.fr/problemes-par-t … s-optimal


Réponse ici.
Mais bon, les matheux qui hantent ce site, c'est en général du très haut niveau....

 #18 - 08-01-2012 12:54:04

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Comment décopuer un carré en 3 ?

Un indice pour tous ceux qui cherchent la solution optimale : Spoiler : [Afficher le message] Il faut utiliser des arcs de cercle.

 #19 - 08-01-2012 13:06:44

Clydevil
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Messages : 701
Lieu: Seahaven island

Commnet découper un carré en 3 ?

Il faut utiliser des arcs de cercle.

Ouch,
Je suivais cette intéressante question par curiosité et je m’étais déjà convaincu qu'il ne pouvait y avoir de courbe smile et après cette remarque, ouch! et c'est vrai que il n'y a pas de raison smile

 #20 - 10-01-2012 00:03:21

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Comment découper un carré e n3 ?

Bravo à Halloduda qui a donné le découpage optimal !

 #21 - 10-01-2012 10:44:09

masab
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 430

Comment découepr un carré en 3 ?

Il reste à prouver que Formule LaTeX : \frac 2 3+\frac {\pi} 6+\frac {\sqrt 3} 4 est la longueur minimale...
Dans sa solution, halloduda n'indique pas où est situé le point du carré d'où partent les 3 lignes de découpage. On aurait aussi aimé voir ses calculs pour mieux comprendre d'où sort la formule Formule LaTeX : \frac 2 3+\frac {\pi} 6+\frac {\sqrt 3} 4 qu'il semble nous parachuter... lol

 #22 - 10-01-2012 11:07:54

rivas
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Messages : 1104
Lieu: Jacou

Commen découper un carré en 3 ?

Ca me fait penser aux théories des surfaces minimales souvent illustrées par des bulles de savon. Dans le plan elles se rejoignent 3 à 3.

 #23 - 10-01-2012 18:22:48

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 3194

Comment découuper un carré en 3 ?

A la main j'ai bien retrouvé le résultat d'Halloduda , c'est un peu long mais pas compliqué . J'ai aussi une petite idée de la justification du minimum via l'inégalité isopérimétrique mais il reste des zones d'ombre .

Vasimolo

 #24 - 10-01-2012 18:53:07

Clydevil
Expert de Prise2Tete
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Messages : 701
Lieu: Seahaven island

Comment découper n carré en 3 ?

Hello, il y a un argument simple que j'ai loupé qui explique pourquoi parmi les courbes curvilignes on retient des arcs de cercles? (il y a plein d'autres manières d’être courbe)

 #25 - 10-01-2012 19:04:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 3194

Comment découper un carré e n3 ?

C'est lié au fait qu'un lacet de périmètre donné encerclant une surface maximale est un cercle . Je vais joindre une illustration même si je ne suis pas au bout du problème !

Vasimolo

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