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 #1 - 04-04-2010 22:36:34

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Un nombre impair de chaise forrmant un rectangle...

Soit un nombre impair de chaises, formant un rectangle plein. Sur chaque chaise est assise une personne, montrer qu'il est impossible que les personnes se déplacent simultanément pour une chaise voisine. (On appelle une chaise voisine, une chaise située devant, derrière, à droite, ou à gauche d'une autre).

Enigme issue du Weblog de Pierre Bernard (je mettrais le lien plus tard, n'allez pas lire)



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 #2 - 04-04-2010 22:46:47

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Un nombre impai de chaise formant un rectangle...

Il suffit de mettre des couleurs alternées comme sur un damier. Les chaises noires et les chaises blanches sont en nombres différents puisque le total est impair. Comme la règle implique un changement de couleur pour chaque personne, il y a un hic.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #3 - 04-04-2010 23:37:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

un nombre impaie de chaise formant un rectangle...

Bonsoir smile

On peut assimiler le rectangle à un morceaux d'échiquier avec un nombre impair de cases donc par exemple plus de noires que de blanches . Chaque déplacement se fait d'une case blanche vers une case noire ou inversement . A l'arrivée il y aura donc plus de cases blanches que de noires ce qui contredit le fait que l'ensemble des chaises reste en place .

Les coloriages sont toujours très efficaces dans les problèmes de ce type smile

Vasimolo

 #4 - 04-04-2010 23:51:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un nombre impair de chaise formant un erctangle...

Mon raisonnement vaut ce qu'il vaut, mais j'ai ramené le problème à un que je sais résoudre.

Si une personne va sur une chaise voisine, la personne qui est sur cette chaise-là va se déplacer sur une autre, la personne qui était assise sur cette autre chaise, etc. jusqu'à la énième personne (avec [latex]N[/latex] le nombre total de chaises) qui devra occuper la place de la première. (Ou alors, il y aura plusieurs de ces boucles, disons [latex]k[/latex] boucles de [latex]n_1[/latex], [latex]n_2[/latex], ..., [latex]n_k[/latex] personnes respectivement, avec [latex]\sum_{i=1}^k n_i = N[/latex].)

Cela revient à un problème de déplacement d'une tour sur un plateau d'échecs : peut-on faire passer une tour une fois et une seule sur toutes les cases d'un échiquier et la faire revenir à son point de départ ? Ce passage par l'échiquier permet de raisonner en termes de couleurs : chaque mouvement "unitaire" de la tour la fera passer d'une case blanche à une noire ou inversement. Il est donc impossible de faire revenir la tour à la même case après un nombre impair de mouvements : si elle était partie d'une noire, elle tombera sur une blanche, et vice-versa.

Pareil dans le cas de notre chaise musicale : si le nombre de chaises N est impair, on ne pourra pas former une boucle de déplacement complète, et si l'on veut décomposer en plusieurs groupes de [latex]n_1[/latex], [latex]n_2[/latex], ..., [latex]n_k[/latex] personnes, alors [latex]\sum_{i=1}^k n_i = N[/latex] implique qu'au moins un [latex]n_i[/latex] est impair.

CQFD.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 05-04-2010 19:58:27

giordano27
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 1
Messages : 5

Un nombre impair de chaise formant unn rectangle...

Imaginons un échiquier géant avec une place par case. Lors d'un déplacement chaque personne doit changer de couleur, passer d'une case blanche à une case noire, ou d'une case noire à une case blanche. S'il n'y a pas autant de cases blanches que de cases noires ce n'est pas possible, dans le cas contraire ça l'est.
(source http://labomath.free.fr/g1prob/tableau_ … index.html)

 #6 - 06-04-2010 07:40:29

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

un nombre impair de chaide formant un rectangle...

par l'absurde

Chaque personne se déplace dans l’une des quatre directions que l’on nommera nord, sud, est, ouest. On suppose qu’elles ont toutes la même masse  . Comme le centre de gravité ne se déplace ni vers le nord ni vers le sud, il y autant de personnes qui vont vers le nord que de personnes qui vont vers le sud, et donc il y a un nombre pair de personnes qui vont, soit vers le nord, soit vers le sud. De même, il y a un nombre pair de personnes qui vont, soit vers l’est, soit vers l’ouest. On en déduit que le nombre total de personnes est pair.

contradiction

 #7 - 07-04-2010 08:42:52

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

un nombre impair de chaise formant un rectzngle...

Je trouve le raisonnement de tous le monde plutôt intéressant, l'image de l'échiquier est parlant, la solution sur le site original est plus matheuse (mais pas forcément plus compréhensible) http://allken-bernard.org/pierre/weblog/?p=1625

 

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