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 #1 - 19-04-2009 11:23:28

Nimzo
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 21

Aire du rectanlge maximum

A périmètre constant, comment montrer que l'aire d'un rectangle est maximum quand c'est un carré.



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 #2 - 19-04-2009 13:52:35

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

ire du rectangle maximum

C'est un exercice d'un DM de maths de première ? smile

Facile : soit l et L les dimensions du rectangle. Le périmètre P = 2 (l+L) est fixé d'avance.

L'aire vaut A = L*l et il faut la rendre maximale.

P = 2 (l+L) donc l = P/2 - L

On veut donc que A = L (P/2 - L) = LP/2 - L^2 soit maximale. Cette fonction de L n'atteindra un maximum que si sa dérivée en fonction de L s'annule :

P/2 - 2L = 0  <==>  L = P/4

La dérivée est positive avant cette valeur et négative après, donc on a bel et bien A maximum pour L=P/4.

Et comme P = 2(l+L) on obtient l = P/4 aussi.

CQFD.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 19-04-2009 14:51:33

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Aire du rectanglle maximum

Soit L la largeur du rectangle. Sa longueur est L+x, avec x>=0
http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-rectangle.PNG

Son périmètre P est :
P  =  4.L + 2.x
donc : L  =  (P - 2.x) / 4

Son aire A est :
A  =  L.(L+x)  =  L² + L.x

On remplace L par (P - 2.x) / 4 :
A  =  ((P - 2.x) / 4)² + (P.x - 2.x²) / 4
A  =  (P² - 4.P.x + 4.x²)/16 + (P.x - 2.x²)/4
A  =  P²/16 - P.x/4 + x²/4 + P.x/4 - x²/2
[TeX]A = P^2/16 - x2/4[/TeX]
Le périmètre étant constant, on a donc A maximal avec x²/4 minimal.

x²/4 est minimal lorsque x est nul.
Donc l'aire du rectangle est maximale quand la différence entre la longueur et la largeur est nulle, soit la longueur égale à la largeur.

L'aire est donc maximale lorsque ce rectangle est un carré !

Merci beaucoup, un peu de maths ça fait du bien smile


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #4 - 19-04-2009 21:10:23

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Airee du rectangle maximum

Soit p le périmètre d'un rectangle alors 2*(L+l)=p d'où L=(p-2l)/2

Donc l'aire d'un rectangle est égal à L*l=((p-2l)*l)/2

On étudie la foction f(l)=((p-2l)*l)/2 =p*l/2-l²
on va trouver le maximum de la fonction en trouvant la valeur qui annule la dérivée donc f'(l)=p/2-2l

f'(l)=O équivaut à p/2-2l=0 d'où l=p/4

donc puisque lim f(l)=lim f(l)= -inf
                  l->-inf   l->+inf

donc le max est donné par l = p/4

On calcule L=(p-2l)/2=(p-2*p/4)/2=(p - p/2)/2=(p/2)/2=p/4=l

donc à périmètre constant le rectangle est un rectangle dont la longueur et la largeur sont les memes donc c'est un carré

cqfd

 #5 - 19-04-2009 21:45:07

jeansayrien
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 24

Aire du rectangle maxium

Hello ,
belle question .
Ne serait-ce simplement par le calcul d'extrema en calculant les valeurs annulant la dérivée premiere de l'équation de la surface ?

 #6 - 20-04-2009 00:00:04

moaflorent
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 29

Aire du rectangle maimum

P le périmètre, A l'aire, L la longueur du rectangler, l la largeur

P = (L +l)*2
A = L*l
   = (P/2-l)*l

Pour que A soit maximum, il faut A'=0

A'= P/2-2l
donc A maximum pour P=4l

donc L = P/2-l = l ==> cas du carré


http://brainsmoker.free.fr

 #7 - 20-04-2009 17:41:06

dododo
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 408
Lieu: Extrême Sud-Ouest

aore du rectangle maximum

Appelons x la longueur du rectangle, z sa hauteur, y sa surface et donnons nous un périmetre de 1, nous recherchons l'aire maximum.
On a: Périmetre=1=2(x+z), ce qui nous donne: z=1/2-x
Puis: Aire=y=x*z, soit y=x(1/2-x) soit y=x/2-x^2
Oh, le joli polynome !!! On n'a plus qu'à l'étudier ! Vite fait, bien fait, ça nous donne une dérivée qui s'annule en 1/4, d'où un maximum (1/4;1/16). Si le périmetre vaut 1, et la longueur 1/4, on a bien affaire à un carré !
Voilà, il doit y avoir des manières plus élégantes et plus simples de le démontrer, mais, bon, celle-la a l'air de marcher !

 #8 - 20-04-2009 18:32:43

Bamby
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 41

Aire du rctangle maximum

soit un carré de coté de longueur x son périmetre est donc : 4x,
tous rectangle ayant un perimetre de 4x est de la forme:
longueur : x+a, largeur x-a. (0  <=  a  <  x)
cherchons dans quel cas l'aire du rectangle est supérieur à celle du carré, soit :
(x-a)(x+a) >x²
x²-a² >x²
-a²>0
ce qui est impossible. cqfd

 #9 - 22-04-2009 13:01:40

Xiu
Visiteur

aire du rectangle mzximum

carré :

Pc = 4x = Z (perimetre)
Ac = x² (aire)

rectangle :
Pr = 2(u+v)  = Z (perimetre)
Ar = u*v (aire)

Ac > Ar ?
Ac = x²
or Z = 4x
==> Z² = 16x² = 16 Ac
==> Z = 4 Rac(Ac)

Pr = 2(u+v) = 4 Rac(Ac)
Rac(Ac) = (u+v)/2
Ac = (u+v)²/4
Ar = u*v

On suppose l'hypothese :
Ac > Ar
u²+ 2uv + v² > 4 uv
u² +v² > 2uv
u² - 2uv +v² > 0
(u-v)² > 0 est vrai car un carré est toujours positif

 #10 - 22-08-2009 17:22:10

startimes2
Visiteur

Aire du rectangle maxmium

[TeX]A=(x+y)*2 donc:y [/TeX]
[TeX]s=x*y=((A/2)-x)x=(A/2)x-x^2[/TeX]
[TeX]ds/dx=A/2-2x=0 implique x=y=A/4[/TeX]

 #11 - 10-11-2012 21:46:03

inconnu98
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Aire du rectangle maxximum

bonsoir, je n'arrive pas a faire un exercice de maths .
l'énoncé est:
"déterminer les dimensions du rectangle qui a un périmètre de 21cm et l'aire la plus grande possible "
s'il vous plaît aider moi c'est urgent!!

 #12 - 10-11-2012 22:24:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Aire du rectanngle maximum

Bah t'auras pas ton BEPC, tongue

 #13 - 11-11-2012 03:41:23

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Aire du rectangle maxiimum

Je ne parle pas aux inconnu, même du 98, désolé big_smile

 #14 - 11-11-2012 09:46:51

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

aire du rectanhle maximum

Tu aurais pu créer un topic, au moins, au lieu de parler sur un déjà créé...


Un promath- actif dans un forum actif

 #15 - 11-11-2012 11:23:58

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

airz du rectangle maximum

Ce qui m'intrigue le plus, pourquoi poser une question alors qu'il y a la réponse sur cette même page !
Rien que l'énoncé de l'énigme repond à son problème !

 #16 - 11-11-2012 11:45:42

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Aire du recangle maximum

lol


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
 

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(2) — Rectangle d aire maximale exercice (2) — Aire de carre egale a une aire de rectangle (2) — Parmi les rectangles de perimetre 100 cm on cherche celui dont l aire est la plus grande possible (2) — Aire maximale d un rectangle inscrit dans un triangle equilateral (2) — Parmi tous les rectangles d aire fixee s (s>0) demontrer que cest le carre qui a le perimetre minimal (2) — Perimetre d un rectangle pour que l aire soit maximale (2) — Comment trouver une largeur a partir dun petimetre ? (2) — Exercice une aire maximale (2) — Exercices problemes aires perimetre d un rectangle (2) — Un file de 50 cm on doit faire un carre et un triangle l air du triangle et plus grande que celle du carre et le perimetre du carre et plis grand que celui du triangle (2) — Air maximale d un rectangle avec perimetre 2l (2) — Determiner les dimensions d un rectangle tel que son perimetre soit minimum (2) — A partir du perimetre d un rectangle comment calculer les cotes (2) — Aires maximales 3e (2) — (2) — Quelle doit etre la valeur de x pour que l aire du triagle abc soit egale a 35 % de laire du carre (2) — Pour quelle valeur x le perimetre du rectangle a est il superieur a celui du rectanglr b (2) — Parmi tous les rectangles de perimetre p fixe (p>0) demontrer que c est le carre qui a l aire maximale (2) — Aire maximum (2) — Calculer l air et le perimetre de x2 (2) — Comment trouver la plus grande aire d un rectangle (2) — Trouver le perimetre maximal d un carre inscrit dans carre (2) — Rectangle l air maximale (2) — Parmi les rectangles dont le perimetre est fixe egal a p donner les dimentiond (2) — Calculer 1 triangle rectangle perimetre egal a 15 (2) — Comment trouver l aire maximal d un rectangle (2) — Newton triangle rectangle perimetre 30cm aire 30 cm (2) — Valeur maximale peut-on donner a x pour un rectangle ? (2) — Dimension d un champ pour que son perimetre soit minimal (2) — Valeur de x pour un rectangle inscrit dans un rectanglel (2) — Parmi tous les rectangles d aire fixee (2) — Relation perimetre aire rectangle (2) — Parmi tous les rectangles de perimetre p fixe (p 0) quel est celui a l aire maximal (2) — Comment avoir l air maximal d un rectangle (2) — Differances aires rectangle carre (2) — Exercices perimetre d aire donnee 1er s (2) — Comment calculer l air maximale d un rectangle (2) — Aire maximale pour un perimetre constant on donne quatre (2) — Determiner l air maximale d un rectangle (2) — Soit x la largeur d un rectangle (2) — Dimension rectangle tel que s soit maximale (2) — Relation entre aire et perimetre d un rectangle (2) — Calculer le maximum d aire dans un rectangle (2) — L aire d un grand carre enigme de mathematique (2) — Comment obtenir la meilleur surface pour un rectangle avec une valeur donner (2) — Determiner la longueur x du petit rectangle (2) — Obtenir une aire maximale pour un rectangle (2) — Rectangle d aire maximum d un (2) — Quelles doivent etre les dimensions d un rectangle dont l aire est egale a 64cm2 pour que son perimetre soit minimal ? (2) — Corrige d un dm aire maximale d un rectangle (2) — Aire maximal (2) — Resolution probleme rectangle perimetre fixe (2) — (2) — Comment calculer les dimensions d?un rectangle lorsqu?on a l?aire du rectangle et son.perimetre? (2) — Mesurer aire d un carre avec polynome (2) — Comment calculer un aire max (2) — Quelle doivent etre les dimension dun rectangle dont lair et de 64 cm2 pour que son perimetre soit minimal (2) — Aire maximale rectangle inscrit dans triangle (2) — Parmi les rectangles dont le perimetre vaut 6 quel est celui dont l aire est maximale (2) — Comment definir un perimetre maxi sur un rectangle (2) — Trouver les dimensions d un rectangle avec son aire (2) — Aire maximale d un rectangle dont le perimetre (2) — Rectangle de plus grande aire dans un cercle (2) — Quelle est la longueur du rectangle en sachant que son perimetre fait 63 m est que la longueur est deux fois et demie plus grande que sa largeur (2) — Parmis les rectangles dont le perimetre est fixe a p donner les dimensions de celui dont l aire est maximale (2) — Aire d un rectangle inscrit dans un demi cercle (2) — Math 3emealcul aire du rectangle avec une fonction (2) — Math fonction carre rectangle maxi (2) — Aire maximale pour un rectangle (2) — Aire du rectangle max carre (2) — Aire d un quadrilatere inscrit dans un rectangle (2) — Pour quel valeur de x l aire du triangle est inferieur au rectangle (2) — Cours aire maximale d un rectangle fonction (2) — Cherche les dimensions maximales d un carre (2) — Rectangle calcul perimetre a partir aire (2) — Trouvez le rectangle de perimetre p ayant une aire maximale. (2) — Comment prouver qu une aire est maximale (2) — Un rectangle de perimetre 10 combien l air maximal (2) — Regle un rectangle dans un quart de cercle (2) — Aire maximale quand on a le perimetre (2) — Pour quelle(s) valeur(s) de x l aire du rectangle mnpq est-elle maximale ? (2) — Perimetre maximal d un rectangle (2) — Aire rectangle inscrit cercle (2) — Enigme carre et rectangle de meme perimetre (2) — Aire max d un perimetre (2) — Aire maximale d un rectangle circonscrit (2) — Dm math 3eme aire d un quadrilatere place dans un rectangle (2) — Calcul de l aire d un rectangle avec demi cercle (2) — Rectangle perimetre 10 et aire maximal (2) — Parmi tous les rectangles de perimetre p fixe demontrer que c est le carre qui a l air maximale (2) — Determiner laire maximale dun rectangle de perimetre egal a 10 (2) — Perimetre maximal rectangle inscrit cercle (2) — Aire d un rectangle maximalr dans un demi cercle (2) — Formule aire maximale d un rectangle (2) — Comment calculer l air maximale d un enclo de perimetre 100m (2) — Bilan fonction aire rectangle (2) — Pour quelles valeurs de x l aire du rectangle est elle inferieure ? celle du triangle (2) — Prouver qu une aire est la plus grande (1) — Triangle rectangle (perimetre aire longueurs des cotes) (1) — Pour quel valeur de x l aire du rectangle est elle maximale (1) — Fornule d aire de rectangle maximale (1) — Propriete math triangle inscrit dans un rectangle (1) — Comment connaitre l aire maximale a partir du perimetre (1) — Aire maximale d un triangle dans un cercle (1) — Aire maximale triangle perimetre1 (1) — Parmi tous les rectangle demontrer que c est le carre qui a l aire maximale (1) — Trouver x dans un perimetre (1) — Calculer un air maximal (1) — Comment savoir la plus grande aire d un rectangle (1) — Soit x la largeur dun rectangle dont le perimetre vaut 25 (1) — Exo math comment calculer une aire maximale (1) — Trouver l aire minimal d un rectangle derive (1) — Air maximum de deux rectangle dans un triangle isocele (1) — Probleme avec aire d un carre (1) — Aire maximale rectangle perimetre 54 (1) — Abc un triangle isossele calculer sa surface en fonction de alpha on considere l equation (1) — Montrer que pour quelle valeur de x l aire (1) — Demontrer que l aire maximale d un rectangle est un carre (1) — Construire rectangle inscrit cercle aire (1) — Rectangle inscrit dans un triangle isocele correction (1) — Montrer que l aire du rectangle est constante (1) — L aire du carreaire d un rectangle (1) — Surface maximum d un rectangle (1) — Valeurs longueur et largeur rectangle de perimetre 100 et aire maximum (1) — Dans un rectangle de 30 cm longueur et 20 cm de largeuron inscript iun triangle determiner x pour que la superficie du triangle soit minimale (1) — Comment calculer la plus grande aire d un rectangle (1) — A quelle condition l aire du rectangel est elle maximale (1) — Parmi tous les rectangles ayant un perimetre fixe(p>0) montrer que le carre a l aire maximale (1) — Maximum de l air d un rectangle (1) — Comment on calcul les cotes d un triangle rectangle seulement avec son perimaitre et son aire (1) — Parmi tous les rectangles de pe?rime?tre 20 cm l aire la plus grande (1) — Comment deduire l air maximal d un parallelogramme (1) — Aire maximal d un rectangle dans un triangle equilateral (1) — Demontrer que surface du rectangle est maximum quand l= l - 1 (1) — Seconde math voir dm7 aire maximale rectangle perimetre fixe a 20cm (1) — Aire de rectangle avec x (1) — Calculer le tiers d une longueur d un rectangle a partir d un perimetre (1) — On etudie des rectangle qui ont un perimetre de 30 cm. determine les dimensions du rectangle qui a la plus grande aire (1) — Comment avoir la plus grande aire dans un rectangle (1) — Perimetre d un rectangle avec demi cercle (1) — Parrallelorame rectangle ai=x trouve l aire minimale (1) — Parmi tous les rectangles d aire fixee s(s>0) demontrer que c est le carre qui a le perimetre minimal (1) — Parmis les rectangles de perimetre 100 cm quelles sont les dimensions du rectangle ayant l air maximale? (1) — Quel est le perimetre d un rectangle de largeur 6 cm et d zire 48cm carre (1) — Quel est la relation entre la surface d un rectangle et son perimetre (1) — Surface maximale d un rectangle inscrit dans un triangle rectangle (1) — L air d un quadrilatere maximal (1) — Calcul d aires en 1s (1) — Calculer pour quelles valeurs de x le perimetre du rectangle a est il superieur a celui de b (1) — Calcul de l aire maxi d un rectangle (1) — Rectangle inscrit dans un cercle aire maximale fonction carre (1) — Montrer que le rectangle d aire maximale qu on peut former avec une ficelle de longueur fixee est un carre (1) — Rectangle de p?rim?tre 30 (1) — Relation perimetre aire (1) — A perimetre constant rectangle plus grande aire (1) — Dimension rectangle air max (1) — Qu est ce que une surface rectangulaire maximale? (1) — Parmis tous les rectangles de perimetre 20 cm quel est celui qui possede l aire la plus grande ? (1) — Exercice aire maximale (1) — Air maximum d un rectangle fonction trinome (1) — Quel est le losange de perimetre 100 dont l aire est maximum (1) — Air maximal d un rectangle dm de maths seconde (1) — Triangle rectangle perimetre inferieur 1/2 (1) — Resolution plus grand rectangle inscrit dans un carre (1) — Demontrer que pour une aire donnee le perimetre minimal est egal a x=y (1) — Calculer le maximum de l aire d un rectangle dans un carre (1) —

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