Enigmes

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 #1 - 19-04-2009 11:23:28

Nimzo
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 21

aire du rectangle maximym

A périmètre constant, comment montrer que l'aire d'un rectangle est maximum quand c'est un carré.

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 #2 - 19-04-2009 13:52:35

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Aire du rectangle amximum

C'est un exercice d'un DM de maths de première ? smile

Facile : soit l et L les dimensions du rectangle. Le périmètre P = 2 (l+L) est fixé d'avance.

L'aire vaut A = L*l et il faut la rendre maximale.

P = 2 (l+L) donc l = P/2 - L

On veut donc que A = L (P/2 - L) = LP/2 - L^2 soit maximale. Cette fonction de L n'atteindra un maximum que si sa dérivée en fonction de L s'annule :

P/2 - 2L = 0  <==>  L = P/4

La dérivée est positive avant cette valeur et négative après, donc on a bel et bien A maximum pour L=P/4.

Et comme P = 2(l+L) on obtient l = P/4 aussi.

CQFD.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 19-04-2009 14:51:33

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Aire du rectangle maxium

Soit L la largeur du rectangle. Sa longueur est L+x, avec x>=0
http://www.prise2tete.fr/upload/LeSingeMalicieux-rectangle.PNG

Son périmètre P est :
P  =  4.L + 2.x
donc : L  =  (P - 2.x) / 4

Son aire A est :
A  =  L.(L+x)  =  L² + L.x

On remplace L par (P - 2.x) / 4 :
A  =  ((P - 2.x) / 4)² + (P.x - 2.x²) / 4
A  =  (P² - 4.P.x + 4.x²)/16 + (P.x - 2.x²)/4
A  =  P²/16 - P.x/4 + x²/4 + P.x/4 - x²/2
[TeX]A = P^2/16 - x2/4[/TeX]
Le périmètre étant constant, on a donc A maximal avec x²/4 minimal.

x²/4 est minimal lorsque x est nul.
Donc l'aire du rectangle est maximale quand la différence entre la longueur et la largeur est nulle, soit la longueur égale à la largeur.

L'aire est donc maximale lorsque ce rectangle est un carré !

Merci beaucoup, un peu de maths ça fait du bien smile


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #4 - 19-04-2009 21:10:23

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

aire du rectangle maxomum

Soit p le périmètre d'un rectangle alors 2*(L+l)=p d'où L=(p-2l)/2

Donc l'aire d'un rectangle est égal à L*l=((p-2l)*l)/2

On étudie la foction f(l)=((p-2l)*l)/2 =p*l/2-l²
on va trouver le maximum de la fonction en trouvant la valeur qui annule la dérivée donc f'(l)=p/2-2l

f'(l)=O équivaut à p/2-2l=0 d'où l=p/4

donc puisque lim f(l)=lim f(l)= -inf
                  l->-inf   l->+inf

donc le max est donné par l = p/4

On calcule L=(p-2l)/2=(p-2*p/4)/2=(p - p/2)/2=(p/2)/2=p/4=l

donc à périmètre constant le rectangle est un rectangle dont la longueur et la largeur sont les memes donc c'est un carré

cqfd

 #5 - 19-04-2009 21:45:07

jeansayrien
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 25

Aire du rectagle maximum

Hello ,
belle question .
Ne serait-ce simplement par le calcul d'extrema en calculant les valeurs annulant la dérivée premiere de l'équation de la surface ?

 #6 - 20-04-2009 00:00:04

moaflorent
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 29

aire du rectangle macimum

P le périmètre, A l'aire, L la longueur du rectangler, l la largeur

P = (L +l)*2
A = L*l
   = (P/2-l)*l

Pour que A soit maximum, il faut A'=0

A'= P/2-2l
donc A maximum pour P=4l

donc L = P/2-l = l ==> cas du carré


http://brainsmoker.free.fr

 #7 - 20-04-2009 17:41:06

dododo
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 408
Lieu: Extrême Sud-Ouest

Aire du rctangle maximum

Appelons x la longueur du rectangle, z sa hauteur, y sa surface et donnons nous un périmetre de 1, nous recherchons l'aire maximum.
On a: Périmetre=1=2(x+z), ce qui nous donne: z=1/2-x
Puis: Aire=y=x*z, soit y=x(1/2-x) soit y=x/2-x^2
Oh, le joli polynome !!! On n'a plus qu'à l'étudier ! Vite fait, bien fait, ça nous donne une dérivée qui s'annule en 1/4, d'où un maximum (1/4;1/16). Si le périmetre vaut 1, et la longueur 1/4, on a bien affaire à un carré !
Voilà, il doit y avoir des manières plus élégantes et plus simples de le démontrer, mais, bon, celle-la a l'air de marcher !

 #8 - 20-04-2009 18:32:43

Bamby
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 41

Aire u rectangle maximum

soit un carré de coté de longueur x son périmetre est donc : 4x,
tous rectangle ayant un perimetre de 4x est de la forme:
longueur : x+a, largeur x-a. (0  <=  a  <  x)
cherchons dans quel cas l'aire du rectangle est supérieur à celle du carré, soit :
(x-a)(x+a) >x²
x²-a² >x²
-a²>0
ce qui est impossible. cqfd

 #9 - 22-04-2009 13:01:40

Xiu
Visiteur

airr du rectangle maximum

carré :

Pc = 4x = Z (perimetre)
Ac = x² (aire)

rectangle :
Pr = 2(u+v)  = Z (perimetre)
Ar = u*v (aire)

Ac > Ar ?
Ac = x²
or Z = 4x
==> Z² = 16x² = 16 Ac
==> Z = 4 Rac(Ac)

Pr = 2(u+v) = 4 Rac(Ac)
Rac(Ac) = (u+v)/2
Ac = (u+v)²/4
Ar = u*v

On suppose l'hypothese :
Ac > Ar
u²+ 2uv + v² > 4 uv
u² +v² > 2uv
u² - 2uv +v² > 0
(u-v)² > 0 est vrai car un carré est toujours positif

 #10 - 22-08-2009 17:22:10

startimes2
Visiteur

Aire du rectangle maxiumm

[TeX]A=(x+y)*2 donc:y [/TeX]
[TeX]s=x*y=((A/2)-x)x=(A/2)x-x^2[/TeX]
[TeX]ds/dx=A/2-2x=0 implique x=y=A/4[/TeX]

 #11 - 10-11-2012 21:46:03

inconnu98
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

aire du rectangle laximum

bonsoir, je n'arrive pas a faire un exercice de maths .
l'énoncé est:
"déterminer les dimensions du rectangle qui a un périmètre de 21cm et l'aire la plus grande possible "
s'il vous plaît aider moi c'est urgent!!

 #12 - 10-11-2012 22:24:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 6,004E+3

aire du rectangle macimum

Bah t'auras pas ton BEPC, tongue

 #13 - 11-11-2012 03:41:23

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1494
Lieu: Coutiches

Aire du rectangle maxium

Je ne parle pas aux inconnu, même du 98, désolé big_smile

 #14 - 11-11-2012 09:46:51

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Aire du rectangl maximum

Tu aurais pu créer un topic, au moins, au lieu de parler sur un déjà créé...


Un promath- actif dans un forum actif

 #15 - 11-11-2012 11:23:58

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 747

Aire du recatngle maximum

Ce qui m'intrigue le plus, pourquoi poser une question alors qu'il y a la réponse sur cette même page !
Rien que l'énoncé de l'énigme repond à son problème !

 #16 - 11-11-2012 11:45:42

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

aire du rectangle macimum

lol


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
 

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(2) — Aire rectangle inferieur egal 1 avec minimal perimetre (2) — Pour quelles valeur de x l aire du rectangle est elle inferieure a celle du triangle (2) — Aire rectangle inscrit cercle (2) — Calculer la plus petite aire possible d un carre (2) — Aire du rectangle max carre (2) — Aire du rectangle est maximale (2) — Cherche les dimensions maximales d un carre (2) — Calculer l aire d un rectangle inscrit dans un cercle (2) — Aire maximale d un rectangle inscrit dans un triangle equilateral (2) — Parmi les rectangles dont le perimetre vaut 6 quel est celui dont l aire est maximale (2) — Un rectangle de perimetre 10 combien l air maximal (2) — Rectangle d aire maximum d un (2) — Le plus petit perimetre d un rectangle (2) — Trouver le perimetre maximal d un carre inscrit dans carre (2) — Pour des rectangles de meme aire lesquels ont le plus grand perimetre (2) — Un file de 50 cm on doit faire un carre et un triangle l air du triangle et plus grande que celle du carre et le perimetre du carre et plis grand que celui du triangle (2) — Parmi tous les rectangles de perimetre p fixe demontrer que c est le carre qui a l air maximale (2) — Corrige d un dm aire maximale d un rectangle (2) — Demontre que l aire d un quadrilataire est egale au quart de l aire d un rectangle (2) — Demontrer que l air du carre est maximal par rapport au rectangle (2) — Exercice une aire maximale (2) — Enigme carre et rectangle de meme perimetre (2) — Differances aires rectangle carre (2) — Comment calculer l air maximale d un enclo de perimetre 100m (2) — Soit x la largeur d un rectangle dont le perimetre vaut 25 pour quel valeur de x l aire du rectangle est elle maximale? (2) — Calcul aire rectangle avec x et y (2) — Aire maximal a perimetre constant (2) — Calculer aire rectangle en fonction de x (2) — Le surface du carre et surface du rectangle (2) — Pour quelle valeur de x l aire du rectangle est maximal (2) — Soit x la valeur d un rectangle dont le perimetre vaut 25 (2) — Aire maximale rectangle dans un triangle (2) — Corrige d un dm aire maximale d un rectangle dans un triangle rectangle (2) — Surface maxi recrangle inscrit dans triangle rectangle (2) — Parmis les rectangles de perimetre 100 (2) — Maths trouver la plus grande air possible d un rectangle (2) — Aire de rectangle 1ere s (2) — Comment calculer l aire maximum (2) — L aire du rectangle est max qd (2) — Rectangle d?aire maximale (2) — Trouver l aire maximale d un rectangle en fonction de x (2) — Perimetre maximal d un rectangle (2) — Determiner par le calcul l aire maximale 3eme (2) — Comment calculer le perimetre d un rectangle si on n a que la surface du rectangle (2) — Aire carre et cercle maximum (2) — Quelles sont les dimensions d un rectangle ayant la plus grande surface et un perimetre de 48cm (2) — On etudie les rectangles qui ont perimetre 30 cm (2) — Triangle rectangle 20 cm maximum (2) — De tous les rectangles de perimetre 20 cm quel est celuiqui a la olus grande aire (2) — Aire maximale d un rectangle sans derivee (2) — Aire maximum et minimum d un carree dans un triangle rectangle (2) — Surface d un carre dans un carre (2) — Tous les rectangles d aire 100 ont un perimetre superieur ou egal a 40 (2) — Calculer l aire maximale d un rectangle dans un triangle rectangle (2) — Calcul aire rectangle partir perimetre (2) — Comment determiner une aire maximale (2) — Calcul aire maximale d un rectangle (2) — Dm de maths comment determier une aire maximale (2) — Calcul surface max (2) — Valeur maximale d une aire (2) — Comment calculer l aire maximale d un rectangle dans un triangle rectangle (2) — Air maximum math (2) — Pouquoi a ton une diferrence lorsqu on cacule le perimetre de 2 rectangles (2) — Comment trouver les valeurs possibles de l avec le perimetre du rectangle ? (2) — Calculer l air minimal d un rectangle dm 1ere (2) — Aire maximale d un rectangle dans un quart de cercle (2) — Comment montrer que le perimetre d un rectangle est egale a (2) — Parmi les rectangles de perimetre 100 cm on cherche celui dont l aire est la plus grande possible (2) — Calcul surface max par (2) — Quand l aire triangle est maximale (2) — Aire maximale rectangle dans un triangle equilateral (2) — Mathematiques 3eme aire d un rectangle (2) — L air et le perimetre du rectangle (2) — On a un rectangle un cote fait 30cm l autreest egale a x+10 quelles sont les valeurs possible de x (2) — Surface d un cercle est la derivee de l aire (2) — Un rectangle de perimetre 10 combien l air maximal et un triangle (2) — Fonction aire d un rectangle (2) — Determiner les rectangles de perimetre constant qui ont une air maximale (2) — Pour quelle valeur de x l aire est maximale (2) — Parmis les rectangles dont le perimetre vaut 10 quel est celui dont l aire est maximale (2) — Aire rectangle 2p (2) — ????????? (2) — Parmis les rectangles dont le perimetre vaut (2) — Calcul de l aire la plus grande d un rectangle (2) — Determiner la longueur x du rectangle (2) — Formule permettant de trouver l aire maximale (2) — Carre et aire d un petit carre (2) — Derivee aire du plus grand triangle rectangle cercle inscrit (2) — Comment determiner la plus grande taille d un rectangle avec une valeure (2) — Probleme math 2nde pour quelles valeurs de x l aire du rectangle est-elle inferieure a celle du triangle? (2) — Soit x la largeur d un rectangle dont le perimetre vau 25 . pour quelle valeur de x l aire du rectangle est elle maximale? (2) — Math fonction carre rectangle maxi (2) — Demontrer qu un triangle de 30 cm atteintson aire maximale (2) — Quelle particularite presente le rectangle lorsque son aire est maximale (2) — Fonction calcul aire max d un triangle pour un perimetre donne (2) — Aire maximale d un rectangle inscrit cercle (2) — Aire maximale pour un rectangle de 30cm (2) — Trouver l aire du plus grand rectangle dans un cercle (2) — Surface egale plus petit perimetre (2) — Determiner les cotes d un triangle rectangle sachant que son aire vaut 20 et son perimetre 12 (2) — Dm maths meme perimetre aire maximale carredm maths meme perimetre aire maximale carredm maths meme perimetre aire maximale carre (2) — Parmis les rectangles dont le perimetre est p=15 lequel est celui dont l aire est maximale ? (2) — Parmi tous les rectangles d aire fixee s (s > 0) demontrer que c est le carre qui a le perimetre minimal (2) — Parmi les rectangles de perimetre 8 cm determiner celui dont l aire est maximal (2) — Quelles dimensions choisir pour obtenir une aire maximale? (2) — Air maximal (2) — Pour quel valeur de x l aire du rectangle est-elle maximale? (2) — Enigme rectangle surface (2) — Comment trouver l aire maximum a l aide du une fonction polynome (2) — Trouver l aire maximum du rectangle (2) — Dimension rectangle tel que s soit maximale (2) — Aire et volume maximal rectangle inscrit dans un triangle isocele (2) — Parmi tous les rectangles de perimetre 2p quel est celui dont l aire est maximale ? quelle est son aire ? (2) — Determiner les dimensions d un rectangle tel que son perimetre soit minimum (2) — Un rectangle a un perimetre de 100 cm pour quelles dimmention son aire est t elle maximal ? (2) — Comment expliquer qu un rectangle a une aire superieur a celle du carre (2) — Dm 5 1ere s rectangle aire 54 longeur = largeur + 3 determiner les dimensions (2) — Dm math 3eme aire d un quadrilatere place dans un rectangle (2) — Calculer l air maximale d un rectangle (2) — Soit x la longueur d un rectandle dont le perimetre vaut 25 . pour quelle valeur de x l air du rectangle est elle max (2) — Quelle doit etre la valeur de x pour que l aire du triagle abc soit egale a 35 % de laire du carre (2) — Determiner les dimensions du rectangle d aire maximale (2) — Rechercher une aire maximal avec un perimetre (2) — Determiner parmi tous les rectangles d aire fixee s (s>0) demontrer que c est le careee qui a le perimetre minimal (2) — Calculer l air et le perimetre de x2 (2) — Valeur maximale de l aire d un rectangle (2) — Rectangle de plus grande air (2) — Prouver que l aire d un rectangle est maximale (2) — Maths 3eme prouver qu une aire est toujours inferieure a une autre (2) — Parmis tout les rectangle permimetre 2p aire maximal (2) — Parmi tous les rectangles de 100m de perimetreen existe-t-il d aire maximale ? (2) — Aire rectangle egal aire carre (2) — Aire rectangle fonction de x (2) — Rectangle perimetre et aire egal (2) — Pour quelle dimension ac l aire est-elle maximum (2) — Soit x la largeur d un triangle dont le perimetre vaut 25.pour quelle valeur de x l aire du rectangle est elle maximale (2) — Surface maximum rectangle (2) — Exercices perimetre d aire donnee 1er s (2) — Problemes perimetre rectangle plus grandes aires (2) — Comment trouver la plus grande aire d un rectangle (2) — Aire maximale d un rectangle connaissant le perimetre (2) — Aire maximale rectangle inscrit dans triangle (2) — Calcul de l aire d un rectangle avec demi cercle (2) — Quelle est la longueur du rectangle en sachant que son perimetre fait 63 m est que la longueur est deux fois et demie plus grande que sa largeur (2) — Air du r?ctangle (2) — Parmi tous les rectangles de perimetre p fixe (p>0) demontrer que c est le carre qui a l aire maximale (2) — Determiner aire maximale (2) — Perimetre 3 cote trouver aire maximal (2) — Aire triangle superieure aire carre et perimetre inferieure (2) — Connaitre l aire maximale d un rectangle (2) — Montrer que l aire d un rectangle est egale a l aire d un carre 3eme thales (2) — Determiner l aire maximal d un rectangle (2) — Perimetre maximal rectangle inscrit cercle (2) — Aire maximale d un carre (2) — Valeur de x pour un rectangle inscrit dans un rectanglel (2) — Aire maximale d un rectangle dont le perimetre (2) — Aire maximale 2nde (2) — Determiner les dimensions du rectangle (2) — Trouver le rectangle d aire maximal ayant (2) — Math 3emealcul aire du rectangle avec une fonction (2) — Comment trouver l aire maximal d un rectangle (2) — Demontrer qu une aire est maximale (2) — Parmi tous les rectangles de perimetre quel est celui qui possede l aire la plus grande ? (2) — Calculer les dimensions d un rectangle en connaissant son perimetre et que la surface du rectangle est maximale (2) — Rectangle inscrit dans un cercle perimetre maximal (1) — Montrer que s(a) = 4f(a); en deduire la valeur de a pour laquelle l aire s(a) est maximale (1) — Aire du carre maximale dans un cercle (1) — Min max air d un rectangle (1) — Trouver le perimetre minimal a partir dune aire (1) — Demontre que l aire du champ est de la formule a=x(x+5)-8 (1) — Demontrer qu une aire est inferieur a (1) — Comment m pour que l aire soit maximale (1) — Determiner les dimensions de l enclos rectangulaire pour que sa surface soit maximale (1) — Exercice de math rectangle et quarts de cercle (1) — Condition pour que aire d un rectangle soit maximale (1) — Exercice aire maxumale rectangle (1) — Aire maximale d un rectangle inscrit dans un triangle fonction (1) — Comment demontrer quune aire est egale au quart de laire totale du rectangle (1) — Soit x la largeur d&#39;un rectangle dont le perimetre (1) — Largeur 12 cm quel est perimetre du rectangle (1) — Triangle dont le rectangle dedans dois avoir l air maximale (1) — Air maximal carre inscrit dans un cercle (1) — Tp math rectangle dans triangle (1) — Determiner aire maximale d un rectangle de perimetre (1) — Dimension rectangle aire maximum (1) — 1ere s comment trouver l aire maximal de x (1) — Aire maximale d un rectangle inscrit dans un arc de cercle (1) — Aire maximale d un rectangle inscrit triangle (1) — Pour quelle valeur de x l air va etre maximal 1 s (1) — Exercices de maths premiere une air maximale cercle (1) — Le rectangle de largeur x et de longueur y qui a pour air 98 cm^2 (1) — Demontrer aire rectangle maximale pour a (1) — Obtenir l aire maximum d un rectangle a l aide d une fonction (1) — Dm math 1ere s aire d un rectangle dans quart de cercle (1) — Comment calculer l aire maximal d un rectangle (1) — Derivee et surface rectangle (1) — L aire d un triangle est maximale lorsque la derivee s annule (1) — Trouver air maximal rectangle (1) — Combien existe-t-il de rectangles dont le perimetre enigme maths systeme (1) — Variation de l aire d un triangle rectangle de perimetre 2p (1) — Longueur largeur peripetre=100 aire maximale (1) — Calculer les dimensions maximales d un erctangle a partir de son perimetre (1) — Un rectangle a pour aire maximale (1) — Rapport surface perimetre (1) — Les dimensions maximales du rectangle (1) — Comment trouver l aire la plus elevee d un rectangle (1) — Comment determiner le minimum et le maximum de l air d un rectangle (1) — Surface maximale est un carre demonsration (1) — Demonstration que l aire d un carre et toujours plus grande que l aire d un rectangle pour un meme perimetre (1) — Equation aire du rectangle (1) — On cherche les dimensions l et l d un rectangle dont le perimetre (1) — Comment demontrer l aire d un rectangle par une fonction donnee (1) — Comment trouver l aire maximale d un rectangle inscrit dans un triangle rectangle (1) — Aire maximal d un rectangle avec les derivees (1) — Determiner s il existe le losange daire maximale (1) — L aire d un disque peut-elle etre plus grande que celle d u rectangle? (1) — Parmi les rectangles de perimetre 100 cm quelles sont les dimensions du rectangles d aire maximale ? (1) — Comment calculer l aire d une fonction carre (1) — Exo aire maximale (1) —

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