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 #1 - 01-02-2010 18:36:45

djo54
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

Dimensions d'un rectangle inscrit dans nu triangle équilatéral

Quelles sont les dimensions d' un rectangle inscrit dans un triangle équilatéral de côté 12 ayant l' aire maximale?

Bonjours a tous, meme après avoir passé du temps sur cet exercice , je n' y arrive pas. Pouvez vous m aider?



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 #2 - 01-02-2010 19:19:08

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Dimensions d'un rectangle inscrit dan sun triangle équilatéral

"de côté 12 "
???


http://enigmusique.blogspot.com/
 

 #3 - 01-02-2010 19:25:08

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

dimensions d'un rectangle inscrit dans un triangle équilatérzl

Tu dois savoir ce qu'est une dérivée, je suppose. La fonction dérivée est égale à 0 à des endroits où une fonction fait une sorte de "plat". Si la dérivée est positive, s'annule, puis devient négative, alors la fonction atteint un maximum local.

Quel rapport avec ton problème ? Soit un triangle équilatéral ABC. Je me permets de supposer, à juste raison d'ailleurs, qu'un des côtés du rectangle que l'on cherche sera un segment d'un côté du triangle. Prenons le segment [BC] (la figure est facile à faire, le côté [BC] à l'horizontale, A pointant vers le haut, c'est plus pratique comme ça). Un des points du rectangle devra être placé sur un des segments passant par A, disons le segment [AB], et un des côtés du rectangle sera superposé à [BC]. Un et un seul rectangle "maximal" est défini à partir de chaque point choisi sur le segment [AB] (par symétrie). Définis A(x) l'aire de ce rectangle en fonction de la distance x du point en question par rapport à A (que ce soit la distance "horizontale", en projetant verticalement ton point sur [BC], ou la distance réelle selon l'axe [AB] ; dans le premier cas x va de 0 à 6, dans le deuxième cas de 0 à 12). Ecris A(x) en fonction de x, et trouve son maximum : ce sera quelque part ailleurs qu'à une de tes bornes (où tu obtiens un "rectangle plat" d'aire nulle), et ce sera à un endroit où A'(x) = 0.

Voilà, je te laisse faire le reste, en précisant néanmoins que, normalement, nous ne faisons pas de soutien scolaire ici... Je suis juste gentil lol


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 #4 - 01-02-2010 19:25:42

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Dimensions d'un rectangle inscrit dans un triangle équlatéral

kosmogol a écrit:

"de côté 12 "
???

Chaque côté a une longueur 12 (sans unité, chaque côté d'un triangle équilatéral ayant la même longueur par définition).


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 #5 - 01-02-2010 22:45:21

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Dimensions du'n rectangle inscrit dans un triangle équilatéral

Merci MATHias. Ca m'a fait revoir mes cours de maths. Je ne savais plus deriver une fonction. Heureusement que Google est à la rescousse!

Un conseil à tous: Ne vieillissez pas!

PS: je mettrais la réponse demain si personne ne la met.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
 

 #6 - 02-02-2010 09:13:28

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Dimensions d'un rectangle inscrit dans un triangle équuilatéral

http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-trianrect.JPG

J'ai mis la figure comme proposé par Mathias. J'appelle d la demi-longueur d'un coté (d=6).

L'aire du rectangle est : A(x) = QM * MN = 2x * y

Dans le triangle rectangle MPC, l'angle en C vaut 60°, donc MP/MC=tan (60°) donc y / (d - x) = rac(3), donc y = rac(3) * (d - x).

D'où A(x) = 2 rac(3) x (d - x)

Pour trouver la valeur de x qui maximise A, on peut dériver ou alors judicieusement écrire la valeur de A...
A(x) = 2 rac(3) (xd - x²)
A(x) = 2 rac(3) (-x² + 2 x d/2 - (d/2)² + (d/2)²)
A(x) = 2 rac(3) (-(x-d/2)² + (d/2)²)

De cette expression (somme de 2 termes positifs ou nuls), on trouve que A(x) est maximale pour x = d/2 et que l'aire du rectancgle est alors d²/2 * rac (3).

Pour d=6, les dimensions du rectangle sont donc QM = 6 et MN = 3 rac(3), son aire est 18 rac(3).

Voilà qui répond au problème, cependant, nous sommes partis d'hypothèse a priori qui consiste à dire que les 4 sommets du rectangle appartiennent aux côtés du triangle. C'est intuitif, finalement pas si simple à montrer.
rem : l'énoncé dit "rectangle inscrit dans le triangle" donc si on entend par triangle les 3 segments reliant les sommets, la question ne se pose pas, c'est obligatoire, mais si on entend par triangle la surface sous-tendue par les sommets, on peut s'attacher à le démontrer !

1. Etape 1 : A partir d'un rectangle n'ayant qu'un point (M) en sur un coté du triangle, on peut toujours construire un rectangle plus grand.

Dem : Par un simple homothétie de centre M, on peut faire "grossir" le rectangle jusqu'à toucher un bord.

2. Etape 2 : A partir de tout rectangle n'ayant que 2 points appartenant au triangle, il est facile de construire un rectangle plus grand.

Dem :
Si les 2 points (M et N) sont sur le même coté, alors une homothétie de centre M va faire grossir le rectangle jusqu'à toucher un autre bord, en conservant N sur le coté du triangle

Si les 2 points (M et un autre R) sont sur des cotés différents.
Il est impossible qu'un des sommets du rectangle soit un sommet du triangle (car angle à 60° < 90°).
On translate le rectangle parallèlement au coté portant M dans le sens qui fait rentrer l'autre sommet R dans le triangle. Ce rectangle translaté n'a plus qu'un point en commun et on est ramené à l'étape 1.

3. Etape 3 : A partir d'un rectangle ayant 3 points (MNP) appartenant aux côtés du triangle, il est possible de construire un rectangle plus grand.

Demo :
Si 2 points son sur un même coté, on fait une translation du rectangle le long de ce coté, pour faire rentrer le 3ème dans le triangle, et on est ramené à l'étape 2.

Si tous les points sont sur un côté différent, j'ai pas encore trouvé !!! Je reviens.

 

 #7 - 04-02-2010 18:09:24

djo54
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3

Dimensions d''un rectangle inscrit dans un triangle équilatéral

Merci beaucoup pour vous reponses... Mais enfaite il y a une suite de l exercice =S ! l enoncé de se limite pas que a sa ( j avais pas vu la suite dsl ) !!
Je reposte la suite des question.


Quelles sont les dimensions d' un rectangle inscrit dans un triangle équilatéral de côté 12 ayant l' aire maximale?

ABC est un triangle équilatéral de côté 12 cm et I est le milieu du segment [AB]
M est un point variable du segment  [AI] et N le point du segment   [AB] distinct de M tel que AM=NB
Q est le point du segment [BC] et P est le point du segment [AC] tels que MNQP soit un rectangle!

A) Quel est l ensemble de définition de f? ( J ai trouvé Df= [0;6] , est - ce juste
? )

B) Exprimer MN, puis MP en fonction de x
EN déduire l' expression algébrique de F(x)

C) Calculer f(3) puis vérifier que pour tout x de [0;6[ :
f(x)-f(3)=-2racinede3 (x-3)²

D) En déduire que f(3) est le maximum de f sur [0;6[

E) Quelles sont les dimensions du rectangle d' aire maximale ?




Pouvez vous m aidez?

Merci!

 

 #8 - 04-02-2010 21:01:25

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

dimensions d'un rectangle inscrit dans un rriangle équilatéral

Encore une fois, ceci n'est pas un forum d'aide scolaire.

Ce qui m'énerve dans ton dernier message, c'est que si tu avais jeté un coup d'oeil quelconque à nos réponses, tu aurais vu que nous avons déjà répondu à toutes tes questions. Celle que tu nous as posée est en fait le sujet de tout l'exercice, et nous avons résolu ton exo sans même passer par les questions intermédiaires, qui auraient pu te permettre de trouver tout seul.

Je vais demander que l'on close ce topic.


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 #9 - 04-02-2010 21:14:06

kosmogol
Banni
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Messages : 11,928E+3

dimensions d'un rectangle inscrit dans un triangle éqyilatéral

Quel caractère ce Mathias.
http://pagesperso-orange.fr/yves.brosseron/heula-crevette.gif


http://enigmusique.blogspot.com/
 

 #10 - 04-02-2010 21:30:22

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

dimensions d'un rectabgle inscrit dans un triangle équilatéral

Ben, je veux bien être gentil (d'ailleurs je l'ai été sur ce même topic), mais là, c'est un peu du foutage de gueule, je trouve. Toutes les réponses sont écrites noir sur blanc, et on revient nous poster les questions ?!

http://cheucheu.unblog.fr/files/2008/09/grrr.jpg


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(1) — Abcd est un trapeze rectangle en a dont on ne connait pas les dimensions (1) — Les dimensions d un triangle rectangle quand on ne connait que la dimension de la diagonale (1) — Calculer l angle triangle rectangle mnp et mn vaut 5 cm et mp vaut 12 cm (1) — Calculer perimetre d un triangle par rapport a x (1) — Surface perdue cercles rectangles (1) — Probleme d optimisation seconde equation trapeze rectangle et triangle (1) — Abcd est un triangle equilateral de cote 8 cm et i (1) — Tracer un triangle equilateral abc de cote 12 cm (1) — Calculer l aire maximale d un rectangle dans un triangle quelcon (1) — Demontrer q un triangle inscrit dans un cercle est rectangle (1) — Determiner un reel x pour que l air d un rectangle mnqp soit maximale (1) — Fonction d une air d un carre dans un triangle (1) — Comment calculer une longueur quand un triangle n a qu une seule longeur (1) — Soit abcd un trapeze rectangle en a dont on ne connait pas les mesures (1) — Calcul surface rectangle inscrit dans un triangle equilateral (1) — Combien de triangle equilateral dans rectangle (1) — Quelles sont les dimensions du rectangle d aire maximale ? (1) — Je connais dimension d un seul cote du rectangle je cherche a connaitre la diagonale comment faire? (1) — Triangle isocele on a construire dans le triangle un rectangle d aire maximale (1) — Trapeze isocele inscrit dans un triangle (1) — Calcule des dimensions d un triangle isocele (1) — Dimensions d un rectangle inscrit dans un triangle (1) — Dm de mathtriangle isocele abc calculer ai (1) — Calculer la dimension d un rectangle 3eme (1) — Superficie rectangle aucun cote de meme dimension (1) — Rectangle inscrit dans un cercle aire maximale (1) — Abcd est un parc carre de cote 10 metres ou franchir le pont popur que le trajet de a a c soit le court possible (1) — Comment mesure d un cote d un rectangle en ayant que son aires (1) — Triangle rectangle isoc??l equateral et quelconque calcule en ligne (1) — Rectangle dans triangle equilateral de cote 10 (1) — Le perimetre d un rectangle est de 118m. la longueur l de ce rectangle est le double de sa largeur. on veut determiner les dimensions de ce rectangle (1) — Soit abc un triangle equilateral de cote 8 . on inscrit dans ce triangle un rectangle mnpq. on cherche a determiner la longeur am pour qur l air du rectangle mnpq soit maximale corrigee (1) — Peut on placer le point m de telle sorte que l air (1) — Comment calculer l aire d un rectangle avec un carre dedant? (1) — Ou placer les points m et n pour que l aire du rectangle mnpq soit maximale (1) — Ensemble de definition de l aire d un rectangle (1) — Determiner les dimensions du carre inscrit dans le triangle (1) — Qu es ce que c est laire du losange par rapprt au rectangle (1) — Calculer la hauteur d un triangle rectangle si on ne connait que les mesures des angles (1) — On augmente de 30% la longueur et la largeur d un rectangle que devient son aire ? (1) — Aire rectangle dans triangle equilateral (1) — Comment faire un triangle isocele (1) — Air du cercle avec triangle rectangle dedans (1) — Surface maximale rectangle dans triangle equilateral (1) — Soit abc est un triangle equilateral de cote 12 cm (1) — Calcul d un rectangle juste a cote un triangle (1) — Comment prouver qu il y a un triangle rectangle dans un triangle isocele (1) — Comment trouver le perimetre d un rectangle dans un triangle rectangle (1) — Triangle isocele de 12 cm de cote et de base variable (1) — Geometrie cm1dessiner un carre et un rectangle (1) — Triangle isocele inscrit dans un carre (1) — Aire maximal d un triangle ao b grace au point a avec cercle (1) — Trouver un triangle isocele a partir d un trapeze rectangle (1) — Jeux+logique+rectangle+passe+par+tout+les+segments (1) — Triangle equilateral aire maximale du rectangle (1) — Exprimer les dimension en mathematiques (1) — Triangles rectangles dns cercle angles (1) — Le parallelogramme mnpq est inscrit dans le rectangle abcd tel que dm=dq=bn=bp. le rectangle abcd a pour longueur 10 et largeur 6. on appelle x la valeur de la longueur dm et on cherche la valeur de x tel que l aire de mnpq soit maximale. correction (1) — Soit abc est un triangle equilateral de cote 12 cm et i est le milieu du segment [ab] m est un point variable du segment [ai] et n le point du segment [ab] distinct de m tel que am=nb (1) — Plus grande surface rectancle triangle equilateral (1) — Exercice carre inscrit dans un triangle isocele (1) — Trouver le point e dans rectangle abcd pour qe cde soit un triangle rectanlge (1) — Abc untriangle rectangle equilateral de cote 12 cm et i le milieu du segment ab. on note f la fonction qui a x=am (en cm) associel aire en cm2 du rectangle mnqp (1) — Air rectangle inscrit dans un triangle (1) — Un probleme d optimisation soit abc un triangle equilateral de cote a (1) — Comment trouver les dimensions d un rectangle sans dimensions reelles (1) — Triangle equilateral cote un 9 triangle equilateral inclu perimetre (1) — Recherche des dimensions d un rectangle dont on connait l air et le perimetre correction (1) — Exercice 53 dimensions perdues (1) — Resolution plus grand rectangle inscrit dans un carre (1) — Determiner les dimensions d un rectangle abcd pour que son aire soit maximale (1) — Comment dessiner un triangle equilateral et qui a le meme perimetre q un autre triangle (1) — Aire maximal d un rectangle dans un triangle equilateral (1) — Comment deduire un angle dans u triangle quand on ne conait qu une information (1) — Calculer le cote d un carre dans un triangle (1) — Aire grand triangle petit rectangle (1) — Calculer l aire d un triangle equilateraux calculaer sa derive (1) — Comment calculer un longueur avec un rectangle variable dans un triangle (1) — Dans un triangle equilateral de cote a comment cree rectangle le plus grand (1) — Comment calculer un carre dans un triangle isocele rectangle (1) — Dimension d un triangle rectangle (1) — Trois rectangles different dr 26 cm (1) — Voir comment trouver le nombre de triangle dans le triangle equilateral n 20 sachant que dans le n 1 ilya 4 triangles (1) — Aire d un triangleun triangle niveau 3eme (1) — Comment calculer l aire d un rectangle avec une seule mesure (1) — Aire +maxi rectangle dans triangle equilateral (1) — Determiner l aire d un triangle equilateral en fonction de son cote (1) — Plus grand rectangle inscrit dans un raster (1) — Dessiner un rectangle avec une aire de 20 cm2 et 1 perometre de 18 cm (1) — Dessiner un rectangle ayant la plus grande aire possible dans un triangle equilateral (1) — Quelle est l aire du plus grand rectangle que l on puisse tracer dans un triangle equilateral de 10 ? (1) — Demontrer q un triangle est isocele (1) — Aire maximale d un triangle isocele inscrit dans un cercle par derivees (1) — Comment montrer q un carre peut avoir la memz aire qu un triangle isocele (1) — Ensemble de definition d un rectangle (1) — Rectangle inscrit dans un triangle definition (1) — Propriete d?n trapeze rectangle inscrit dans un triangle (1) — On souhaite desssiner un rectangle dans unn triangle eqiuilateral de cote 10 (1) — Pprobleme de situation pratique sur triangle rectangle inscrit dans un cercle (1) — Math on inscrit un rectangle mnpq de perimetre 14 cm determiner aire du rectangle (1) — Aire d un rectangle dans un triangle equilateral de cote 10 (1) — Le rectangle inscrit dans un triangle (1) — Triangle rectangle trouver rectangle le plus grand a l interieur (1) — Comment demontrer l aire maximum d un rectangle dans un triangle equilaterale (1) — Abcd est un trapeze dont on ne connait pas les dimensions (1) — Un triangle de 12cm2 avec bc =4cm (1) — Comment construire un carre de meme perimetre q un (1) — Demontrer que la figure a la meme aire qu un carre dont on donnera la mesure du cote en fonction de x (1) — Calcul surface max d un rectangle dans un triangle equilateral (1) — Comment calculer un segment d un triangle rectangleavec un carre inscrit dans ce triangle (1) — Exercice sur l aire maximale d un rectangle inscrit dans un triangle equilateral (1) — Determiner une aire maximale d un parallelogramme inscrit dans un rectangle (1) — Exercice un carre dans un triangle isocele (1) — +comment calculer un perimetre d un rectengle avec une seule valeur (1) — Triangles equilaterauxmaximum (1) — (1) — Trouver toutes les dimensions possibles que peut avoir un triangle rectangle dont les (1) — Proprietes rectangle inscrit dans un triangle (1) — Comment calculer le perimetre d un rectangle en passant par la trigonometrie quand on ne connait que la longeur de la diagonale (1) — Rectangle incrit dans un triangle rectangle (1) — Problemes d aires de rectangle inscrit dans un triangle rectangngle en maths premiere s (1) — Rectangle inscrit dans un triangle quelconque aire maximale (1) — Triangle dans un carre abcd est un carre de cote 8cm ....exprimer l aire du triangle cmn et verifier que : (1) — Aire d un rectangle compris dans un triangle (1) — Surface d un rectangle dans un autre avec 3 valeurs (1) — +determiner les dimensions du rectangle abcd pour que son aire soit maximale (1) — Un triangle equilateral de cote 8 on inscrit un rectangle+aire du rectangle (1) — Aire d un rectangle inscrit dans un trinagle rectangle isocele (1) — Comment calculer l aire d un triangle sierpinski (1) — Propriete triangle rectangle rectangle inscrit seconde (1) — Faire un triangle rectangle isocele car tel que ca = 7 cm et ar = 8cm (1) — Exercice corrige aire rectangle dans un triangle equilateral (1) — Corrige exercice triangle equilateral dans un rectangle (1) — Determiner les dimensions du rectangle sachant que son perimetre est egal a 21 cm (1) — Comment determiner un carre inscrit dans un triangle rectangle et determiner les dimension du carre (1) — Perimetre d un triangle isosele sans aucune dimension (1) — 1ere s maths triangle equilateral 6 cm aire rectangle mnpq (1) — Apres avoir dessiner un triangle positionne un point m pour avoir deux preimetres egauxt (1) — Aire maximale rectangle dans un triangle equilateral (1) — Comment construire un triangle lorsque l on a les dimension (1) — Propriete rectangle inscrit dans un triangle seconde (1) — Dm de maths avec un grand carre et dedans un carre et un triangle (1) — Probleme d un rectangle dans un triangle (1) — Geometrie cm1dessiner un carre et un (1) — Exercices maths triangle isocele (1) — Retrouver les dimensions du rectangle abcd (1) — Carre inscrit triangle equilateral (1) — Triangles equilaterauxmaximums des surfaces (1) — Un rectangle inscrit dans un triangle equilateral (1) — Probleme de math avec un rectangle inscrit dans un triangle (1) — Fonction d aire d un rectangle dans un triangle equilateral (1) — Exercice de geometrie cm2 sur les triangles quelconqueisocelerectangleequilateral le perimetre et l aire (1) — Soit abcd un trapeze rectangle en a dont on ne connait pas les dimensions (1) — Abcd est trapeze rectangle dont on ne connait pas les dimensions. (1) — Maths aire du triangle isocele inscrit triangle rectangle (1) — Enigme math seconde triangle rectangle (1) — Un parc de jeu a une forme triangulaire determiner les dimensions du rectangle (1) — On souhaite dessiner un rectangle dans un triangle equilateral de cote 10. trouver comment tracer ce rectangle pour que son aire soit la plus grande possible (1) — Le point o est le point d intersection determinez si le quadrilater abcd est un trapeze (1) — Dimensions d un rectangle d aire max dans un triangle isocele (1) — Dans chaque cas dire si le triangle abc est rectangle et justifier la reponse (1) — Aire quadrilatere avec triangle dedans (1) — On cherche les dimensions du carre et du triangle equilateral (1) — Resolution de problemes a laide de la fonction derivee (1) — Comment trouver la place de deux points dans un triangle equilateral pour former un rectangle ayant une aire maximale (1) — Aire d un rectangle avec x inscrit dans un triangle isocele (1) — Matis construit un triangle equilateral de 12 cm de cote (1) — Correction fonction polynome du second degre aire mnop lorque bm=1 (1) — Comment faire un rectangle a partir d un triangle equilateral (1) — Comment exprimer les dimensions d un rectangle a l aide de fraction (1) — Perimetre d un rectangle inscrit dans un triangle (1) — Aire maximale rectangle dans triangle rectangle (1) — Comment calculer la plus grande valeur de x dans un rectangle niveau 3eme (1) — Le perimetre d un triangle isocele vaut 1. determiner ces dimensions pour que son aire soit la plus grande possible (1) — Soit abc un triangle equilateral de cote 8. on inscrit sans ce triangle un rectangle mnpq (1) — Cours sur une rectangle inscrit dans un triangle isocele (1) — Toutes les dimensions possible d un triangle rectangle (1) — Tp math rectangle dans triangle (1) — Comment calculer l air dun carre avec un triangle dedans (1) — Constuis un triangle a b c telke ac=12cm (1) — Image le point i est le milieu du segment [ab] et le point j est le milieu du segment [ac] ; [ah] est la hauteur issue du point a du triangle abc ; on donne ab = 4cm ; ac = 6cm ; bc = 8 cm ; calculer le perimetre du triangle ijh et justifie la reponse (1) — De quel augmentation l aire d un rectangle va augmenter si on augmente de 15% la longueur et 30% la largueur (1) — Comment construire un carre de meme perimetre q un rectangle (1) — Carr? dans deux triangle isoc?le (1) — Calculer l aire d un rectangle inscrit dans un triangle rectangle (1) — Rectangle circonscrit au triangle isocele (1) — Construis un triangle isocele abc (1) — Triangle isocele inscrit dans un carre x longueur df (1) — Hauteur en rectangle et base en triangle equilaterale (1) — Aire d un rectangle inscrit dans un rectangle (1) — Triangle de sierpinski isocele 8 cm de base et 10cm de cotes (1) — Correction definir la longueur du cote du carre vert le triangle equilaterale orange (1) — Comment determiner a partir du tableau presence -absence determiner l aire minimale (1) — Demontrer que tous les rectangles inclus dans un triangle quelconque ont la meme aire (1) — Ensemble de definition de l aire d un rectangle inscrit dans un triangle rectangle (1) — Trouver aire maximale rectangle dans triangle (1) — Def est un triangle rectangle calcule l aire maximale (1) — Plus grand rectangle dans un triangle (1) — Perimetre triangle equilateral (1) — Rectangle inscrit dans triangle (1) — Mesure des cotes d un rectangle inscrit dans un triangle rectangle (1) — Constuire un cercle de centre o et de diametre [mn] tel que mn = 12cm placer sur le cercle un point p tel que mp=96cm que peut on dire du triangle mnp (1) — Longueur de chaque cote d un triangle (1) — Comment trouver les valeurs possible de x dans un rectangle inscrit dans un triangle (1) — Abc est un triangle rectangle equilateral de cote 12 cm et i est la milieu de ab m et un point varaible de ai (1) — Definition d un rectangle non carre (1) —

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