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 #1 - 27-12-2010 20:32:16

guilhem
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 60
Lieu: sur Tatouïne, chez Luke

Pramide

Nous avons de objets sphérique (des orange par ex.)
et on veut les empiler en forme de pyramide a base carre.
Pour faire deux étages, ont a besoin de 5 orange (quatre qui forment la base et une au sommets.)
Combien faut il d'orange pour faire 10 étages.

Ps: non ce n'est pas pour un DM comme certain le disent souvent, si je mes une casse réponse c'est que j'ai la solution wink

Bonne chance a tous. smile
Spoiler : [Afficher le message] somme de carre

Bonus: combien y a-t-il d'orange si on on enlever les 4 étages supérieur.
BONUS2: même pb. mais avec une pyramide triangle(2 étage=3+1=4; combien pour 10 étages?)



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 #2 - 27-12-2010 21:15:50

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Pyramdie

Le nombre de sphères n empilé sur p étages est donné par la relation :
[TeX]n=\sum_{\overset{i=k}{\text{k\in\mathbb{N}}}}^p p^2[/TeX]
Donc le nombre de sphères pour 10 étages est :
[TeX]n=\sum_{i=1}^{10} p^2[/TeX][TeX]n=385[/TeX]
Si on enlève les 4 étages supérieurs on a :
[TeX]n_{bonus_1}=\sum_{i=1}^{10} p^2-\sum_{i=1}^{4} p^2[/TeX][TeX]n_{bonus_1}=355[/TeX]
cool

Allé on continu avec une pyramide tétraèdrique :

Nombre de sphère de l'étage [latex]P_j[/latex] est :
[TeX]n_{bonus_2}=\sum_{i=1}^{P_j} k[/TeX]
Donc pour 10 étages on a :
[TeX]n_{bonus_2}=\sum_{i=1}^{10} k + \sum_{i=1}^{9} k + \sum_{i=1}^{8} k + \sum_{i=1}^{7} k + \sum_{i=1}^{6} k + \sum_{i=1}^{5} k + \sum_{i=1}^{4} k + \sum_{i=1}^{3} k + \sum_{i=1}^{2} k + \sum_{i=1}^{1} k[/TeX]
[TeX]=55+45+36+28+21+15+10+6+3+1[/TeX]
[TeX]=220[/TeX]
smile pas assez de connaissances en sommes pour écrire avec la somme d'une somme.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 27-12-2010 21:29:59

Emigme
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 318

pyramise

Soit pour 2 étages :
[TeX]1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 [/TeX]
Donc, pour 10 étages :
[TeX]1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385[/TeX]
Il faudrait donc 385 sphères

EDIT : Bonus :
Donc :
[TeX]385 - (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = 385 - (1+4+9+16) = 385 - 30 = 355[/TeX]
355 sphères si on enlève les 4 étages supérieurs


Il n'y a pas de problèmes : il n'y a que des solutions. Si il n'y a pas de solution, il n'y a pas de problème.

 #4 - 27-12-2010 21:41:29

Nnf13
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 20

pytamide

Salut !

Le problème est assez simple si on commence par le haut :

Si on imagine visuellement la pyramide on voit (moi oui en tout cas tongue) que l'étage du dessous contient une ligne et une colonne de plus que l'étage du dessus.

D'ou : il faut 4 oranges pour 1 au dessus on aura donc :

1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10²=385

 #5 - 28-12-2010 09:03:59

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Pyraimde

Ce problème m'a conduit à une pensée absurde:
Un carré de trois oranges de coté à une surface de neuf oranges carrées. Voilà, je voulais partager ça avec vous.


Pour une pyramide à dix étages, il faut sommer les carrés des dix premiers entiers naturels non  nuls.

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100
= 385 oranges

Une pyramide à quatre étages comptent trente oranges. Une pyramide de dix étages tronquée de ses quatre étages supérieurs en comptent donc 355.

 #6 - 28-12-2010 10:01:38

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Pyrramide

[TeX]
\sum\limits_{k=1}^{10}k^2=\dfrac{10\times11\times21}{6}=\fbox{385}
[/TeX]
bonus :
[TeX]
\sum\limits_{k=1}^{10}k^2-\sum\limits_{k=1}^{4}k^2=\dfrac{10\times11\times21}{6}-30=\fbox{355}
[/TeX]
bonus 2 :
[TeX]
\sum\limits_{k=1}^{10}\left(\sum\limits_{i=1}^{k}i\right)=\sum\limits_{k=1}^{10}\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{10}k^2+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{10}k=\frac{1}{2}\times 385+\frac{1}{2}\times 55=\fbox{220}
[/TeX]

 #7 - 28-12-2010 17:19:13

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Pyraimde

385

Bonus : 355


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #8 - 28-12-2010 17:30:14

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Pyarmide

N=n(n+1)(2n+1)/6
n = 10 etages donne 10*11*21/6 = 385 oranges
les 4 etages superieures contiennent 30 oranges ce qui laiss 355 oranges pour les 6 premiers etages.


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 28-12-2010 17:40:31

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Pyramidde

Les nombre de sphères par étages étant  le carré du niveau des étages :

1^1+22+3^2+42....+10^2
= 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36+ 49 +64 +81 + 100
= 385

sans les 4 du haut, 30 de moins donc  355

 #10 - 29-12-2010 01:43:23

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Pyarmide

Pour une pyramide à base carrée à 10 étages, le premier est un carré de côté 10, le second un carré de côté 9, etc.

Une petite somme de carrés plus tard : 385 oranges.

En enlevant les quatre étages supérieurs : 355 oranges.

Avec une base triangulaire, sachant qu'un triangle de côté n contient 1+2+3+...+n=n(n+1)/2 oranges : 220 oranges avec tous les étages, 200 en enlevant les quatre supérieurs.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 30-12-2010 15:08:12

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Pyraide

[TeX]S_n=\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6[/TeX][TeX]S_{10}=385[/TeX]
Bonus: [latex]S_{10}-S_4=355[/latex]
Bonus 2: Pour une pyramide à n étages, la base fait: [latex]T'_n=1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}2[/latex] et la pyramide fait:
[TeX]T_n\sum_{k=1}^nT'_k=\dfrac12\sum_{k=1}^nk+k^2=\dfrac12(\dfrac{n(n+1)}2+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6)=\dfrac{n(n+1)}4(1+\dfrac{2n+1}3)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}6[/TeX][TeX]T_{10}=220[/TeX]

 

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