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 #1 - 15-01-2017 18:08:06

nodgim
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pyramide en papirr

Bonsoir @ tous.

Découpez un coin de fond de vieille enveloppe pour obtenir un triangle rectangle isocèle dont le coté à l'angle droit aura pour longueur 1.
Faites un pli à la hauteur de ce triangle, et vous pourrez, en l'ouvrant, obtenir une sorte de pyramide. Renversez là tête en bas et vous pouvez y verser de l'eau (votre enveloppe est étanche).
Les 4 sommets du haut forment un quadrilatère (non plan) dont vous devez maintenir les diagonales horizontales. Dans ces conditions, il y a une position d'ouverture telle que le volume d'eau que vous pourrez mettre sera maximum. Quels sont, pour ce max, la hauteur d'eau et le rapport entre la plus grande et la plus petite diagonale ?

Vous pouvez donner les valeurs approchées, mais l'idéal serait de donner les résultats en nombres algébriques.

Bon courage.



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 #2 - 15-01-2017 21:04:02

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Pyraide en papier

Bonsoir,

nodgim a écrit:

un triangle rectangle isocèle dont le coté à l'angle droit aura pour longueur 1.

Est-ce le côté adjacent ou opposé à l'angle droit ? J'ai supposé que c'était le côté adjacent.
J'ai fait un calcul approché, en testant différentes ouvertures. Si je ne me suis pas trompé :

Code:

Volume maximal         = 0.068960
Hauteur d'eau          = 0.626400
Rapport des diagonales = 1.909416

 #3 - 16-01-2017 07:59:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Pryamide en papier

Le coté à l'angle droit, c'est bien l'adjacent.

Je n'ai pas tout à fait les mêmes résultats, quoique assez proches.
Attendons d'autres réponses.

 #4 - 16-01-2017 12:20:32

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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pyralide en papier

Je pense avoir trouvé au moins une erreur dans mon calcul, et vais revoir tout ça.

Ajouté :
Deuxième proposition

Code:

Volume maximal         = 0.065600
Hauteur d'eau          = 0.640388
Rapport des diagonales = 2.083824

 #5 - 16-01-2017 12:54:58

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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PPyramide en papier

C'est un joli problème !

Pour la diagonale la plus basse (celle au niveau de la surface de l'eau), je trouve [latex]\sqrt{\frac{7-\sqrt{17}}{8}}[/latex], soit environ 0,599676 (j'expliquerai mon raisonnement ce soir).

 #6 - 16-01-2017 18:03:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Pyramide en papeir

@ Enigmatus: là maintenant, j'ai la même chose que toi. Bravo ! As tu une formulation en nombres algébriques ?

@ Ebichu: y a de ça, mais tu as dû faire une erreur de manip quelque part, ce n'est pas le bon résultat. Ton nombre algébrique est cousin du bon, mais...

C'est en effet un problème plutôt piquant, au début je ne savais pas trop comment m'y prendre....

En réalité, ce n'est pas d'une vieille enveloppe qu'est venue l'inspiration, mais de la découpe d'une boîte alimentaire.

 #7 - 16-01-2017 18:47:34

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Pyraimde en papier

nodgim a écrit:

As tu une formulation en nombres algébriques ?

Hé non… Je fais varier l'ouverture de l'angle qui était droit au départ.

 #8 - 16-01-2017 22:42:09

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 427

Pyramide en papeir

C'est bizarre, j'ai vérifié mes calculs, j'ai même fait une figure sur Géospace pour vérifier, je ne vois pas d'erreur.

As-tu noté que je n'avais pas donné ce que tu demandais, mais la taille de la petite diagonale ?

Pour la hauteur d'eau dans la configuration optimale, je trouve [latex]\sqrt{\frac{9+\sqrt{17}}{32}}[/latex] soit environ 0,640388.

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-enveloppe.png

Pour résoudre, j'ai posé L=la petite diagonale (AA' sur la figure).

Dans le repère, j'ai calculé les coordonnées de B(0;0;-racine(2-L²)/2), de D'(0;racine((1-L²)/(2-L²));L²/2racine(2-L²)), puis de K(0;racine((2-L²)(1-L²))/2;0).

J'en déduis que le volume vaut L(2-L²)racine(1-L²)/12.

Or maximiser V, c'est comme maximiser (12V)² soit L²(2-L²)²(1-L²)=-L⁸+5L⁶-8L⁴+4L².

On dérive, on obtient -2L(4L⁶-15L⁴+16L²-4). On pose X=L², il faut trouver les racines de 4X³-15X²+16X-4, et c'est ainsi que vient L=[latex]\sqrt{\frac{7-\sqrt{17}}{8}}[/latex].

 #9 - 16-01-2017 22:45:58

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Pyramidde en papier

Autre source potentielle de confusion : quand tu dis "un triangle rectangle isocèle dont le coté à l'angle droit aura pour longueur 1", je comprends un triangle de dimensions 1 ; 1 ; racine(2), c'est bien ça ?

 #10 - 17-01-2017 08:17:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
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pyramide eb papier

Pardon Ebichu, c'est effectivement bon, je n'avais pas calculé la taille de la petite diagonale, et avais lu trop vite ta réponse.

C'est donc bien la bonne hauteur d'eau que tu as donnée, bravo. Cette expression est simplifiable.

Et le rapport des diagonales ?

Question subsidiaire: que vaut le produit des hauteurs des diagonales ?

NB: je suis  passé par une formule qui donne V en fonction de la hauteur d'eau h, puis bien sûr par une dérivée.

 #11 - 17-01-2017 10:12:19

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 427

Pyramide en paapier

En effet, je n'avais pas vu que [latex]h=\frac{1+\sqrt{17}}{8}[/latex].

Pour le rapport des diagonales, je trouve [latex]\frac{\sqrt{5+3\sqrt{17}}}{2}[/latex].

Et pour la question subsidiaire, ça fait 1/2, c'est plus facile à écrire smile

 #12 - 17-01-2017 10:51:36

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Pyramid een papier

100 % OK Ebichu !

 #13 - 17-01-2017 18:59:04

Vasimolo
Le pâtissier
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PPyramide en papier

J'ai jeté un petit d’œil mais je n'ai pas le temps de finaliser . En prolongeant les petites arêtes de la "pyramide" de façon à en faire une vraie dont la base est un losange . On calcule la hauteur de cette pyramide que l'on tronque ensuite ( parallèlement à la base ) au niveau d'une petite arête ( il faut exhiber les formules "trigo" des 22,5° ) .

Je lirais les solutions et j'ajouterai mon grain de sel au cas ou .

Joli problème smile

Vasimolo

 #14 - 18-01-2017 00:16:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

ptramide en papier

Soient A l’angle d’ouverture de l’enveloppe, variant de 0 (enveloppe fermée formant le triangle rectangle initiale) à pi/2 (enveloppe fermée formant un carré) et B celle dans l’autre sens, variant de pi/2 (enveloppe fermée formant le triangle rectangle initiale) à 0 (enveloppe fermée formant un carré).
Soient a et b les deux demi-diagonales du losange minimal (défini par les deux sommets inférieurs) et h la hauteur d’eau.
On aura: a = sin(A/2).V2/2, et: b = h.tan(B/2), avec: h = cos(A/2).V2/2
=> b = tan(B/2).cos(A/2).V2/2
En écrivant que l’arête vaut V2/2 quelle que soit l’angle d’ouverture, on trouve:
sin²(A/2) + 2.sin²(B/2) + [cos(A/2)–V2.cos(B/2)]² = 1
=> cos(A/2).cos(B/2) = V2/2
Le volume vaut: Vol = 2V2.a.b.h/3
=> Vol = sin(A/2).cos²(A/2).tan(B/2).V2/6
Or: tan(B/2) = V[1/cos²(B/2)–1] = V[2.cos²(A/2)–1] = Vcos(A)
D’où: Vol(A) = sin(A/2).cos²(A/2).Vcos(A).V2/6
En posant: X = cos²(A/2), on aura: V(X) = X.[(1-X).(2X²-1)]^(1/2).V2/6
Comme entre 0 et pi/2, la fonction: X = cos²(A/2) est strictement monotone, je peux passer à l'optimisation de X.
Je dérive: V’(X) = – (8X²-9X+2) / [18.(1-X).(2X²-1)]^(1/2)
Dans l’intervalle concerné: V’(X) s’annule pour: X = (9+V17)/16
On a donc: cos²(A/2) = (9+V17)/16, et par conséquence: h = V2.V(9+V17)/8, qui peut se simplifier en: h = (1+V17)/8 = env. 0,6404
Pour le rapport des diagonales, je trouve (mais je n’arrive pas à simplifier le double signe racine): b/a = tan(B/2) / tan(A/2)
b/a = V[(11+3.V17)/8] = env. 1,709

Edit: Erreurs de calcul corrigées.

 #15 - 18-01-2017 07:44:46

nodgim
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Pyraamide en papier

@ Francky: c'est presque ça, tu as dû faire une erreur de calcul à un endroit que je n'ai pas repéré. Le carré de la hauteur que tu as trouvé est le double de la solution. D'ailleurs, une hauteur à 0,45 n'est pas possible, vu que celle ci ne peut être inférieure à 0,5.

 #16 - 18-01-2017 08:24:28

Franky1103
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Pyarmide en papier

Je viens de voir que je suis parti d'une longueur 1 pour l'hypoténuse (et non pour le côté à l'angle droit): ça m'apprendra à lire les énoncés correctement. Dans ce cas, je dois multiplier ma hauteur par V2: h = (1+V17)/8 = env. 0,6404
Quand j'aurai plus de temps ce soir, je vais remettre mes calculs au propre avec aussi le rapport des diagonales.

 #17 - 18-01-2017 08:46:30

enigmatus
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pyramude en papier

Code:

Hauteur d'eau = h = sqrt((9+sqrt(17))/2) / 4
Volume maximal = 4*h**3/(3*sqrt(2))*sqrt(1.5-2*h**2-1/(4*h**2))

Correction : Suite à la remarque de nodgim en #18

 #18 - 18-01-2017 11:05:19

nodgim
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Pyramide en papire

@ Francky: c'est correct maintenant, bravo à toi !
La méthode que tu as employée, en passant par les formules trigonométriques, est différente de celle d'Ebichu ( qui est passé par des coordonnées spatiales) et de la mienne ( qui m'en suis tenu à Pythagore et Thalès ).

@ Enigmatus: tu as donné la formule du carré de la hauteur d'eau. Ce qui est fort, c'est que cette formule semble chez toi sortir d'un algorithme......

 #19 - 18-01-2017 14:35:34

enigmatus
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Pyramide en pappier

nodgim a écrit:

@ Enigmatus: tu as donné la formule du carré de la hauteur d'eau. Ce qui est fort, c'est que cette formule semble chez toi sortir d'un algorithme......

En effet, j'ai oublié de prendre la racine. Je corrige.

Ma solution en #4 provenait d'un programme, mais celle en #17 provient d'un calcul manuel.

 #20 - 18-01-2017 18:30:48

Vasimolo
Le pâtissier
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Pyraimde en papier

Très jolie solution d'Ebichu , et illustrée en plus smile

Vasimolo

 #21 - 18-01-2017 18:36:18

nodgim
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Pramide en papier

Bon, le temps est maintenant écoulé, vous pouvez regarder les solutions expliquées d'Ebichu et Francky. Comme je le disais, la mienne est encore différente, qui passe surtout par Pyhtagore pour poser l'équation du volume en fonction de la hauteur d'eau.

C'était un problème pas simple tout de même, avec cette déformation bizarre du volume au fur et à mesure de l'ouverture. Je l'ai présenté car la formule était résoluble avec des outils de Lycée, ce qui n'est pas évident du tout tant qu'on n'est pas allé au bout.

Merci aux participants et encore bravo pour ces résolutions.

 #22 - 19-01-2017 22:25:13

Franky1103
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Pyramide en ppapier

Pour corriger mes calculs, j'ai directement modifié mon post #14 initial.

 #23 - 20-01-2017 08:17:05

nodgim
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Pyramide ne papier

Attention Francky, il reste un problème avec le rapport des diagonales.

 #24 - 20-01-2017 08:25:35

Franky1103
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pyramide zn papier

Ce sont les diagonales du plan d'eau. Voulais tu celles en 3D ? A moins que l'erreur ne viennent pas de là !

 #25 - 20-01-2017 11:01:39

nodgim
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puramide en papier

Ah OK, en effet la grande diagonale au niveau de l'eau est plus petite que celle au sommet.

 

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