Enigmes

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 #1 - 06-01-2011 22:03:30

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

eyrêka!

A quelle hauteur au-dessus de la table doit se trouver la flamme d'une bougie pour qu'elle éclaire au maximum une pièce de monnaie, posée sur la table, située à 1 mètre du pied du bougeoir ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 06-01-2011 23:43:04

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

eurêkz!

En supposant que la bougie éclaire uniformément dans toutes les directions, qu'on néglige la diffraction de la lumière, que la pièce est d'épaisseur nulle, que le corps de la bougie ne gêne pas (comme le dit le proverbe chinois : "Il fait sombre au pied du phare" :-)), je trouve que la hauteur optimale de la flamme est :

[latex]h=\sqrt{1-r^2}[/latex] où [latex]r[/latex] est le rayon de la pièce de monnaie, soit environ à un mètre de haut si la pièce est petite.

J'y connais rien en éclairage mais je pense qu'il faut que l'angle [latex]a[/latex] soit maximal pour que la pièce reçoive un max de photons...

On a : [latex]a = b^+ - b^-[/latex] et on sait que [latex]\tan b^- = (1-r)/h[/latex] et [latex]\tan b^+ = (1+r)/h[/latex].

Donc: [latex]\tan a = \tan (b^+ - b^-) = (\tan b^+ - \tan b^-)/(1+\tan b^+\tan b^-) = \ldots = 2r/(h + 1 - r^2)[/latex].

En calculant la dérivée par rapport à [latex]h[/latex] et en égalant à [latex]0[/latex], on obtient l'équation : [latex]1-r^2-h^2 = 0[/latex], d'où la solution (qui est bien un maximum et pas un minimum).
Il est justifié de dériver[latex] \tan a[/latex] car elle est croissante sur [latex][0,\pi/2][/latex], intervalle qui nous intéresse, et donc son maximum est le même que celui de [latex]a[/latex].

http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-bougie.JPG

 #3 - 07-01-2011 00:40:30

naddj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 301
Lieu: Ffm

Eurkêa!

Je serais tentée de dire qu'un éclairage optimal est obtenu avec un angle de 45°, mais objectivement, je n'en sais pas grand chose et le 45° c'était surtout l'angle optimale quand je jouais à la tourelle sur ma calculatrice en terminale.

Bref, quoi qu'il en soit, la bougie, posée verticalement sur la table, est perpendiculaire au plan de la table, d'où un triangle rectangle ABC, où A est le point de contact entre la bougie et la table, B la pièce de monnaie, et C la flamme.

On sait que AB = 1m.
Supposant que l'angle optimal est 45°, on a ABC isocèle rectangle, i.e. AC = 1m.
(ouch, c'est un peu haut ça, non ?)

Supposant que je dise n'importe quoi et que l'angle optimal soit x° (angle ACB).
On sait que tan x°=1m/AC, i.e. AC=1m/tan x°.


En me relisant, je crois surtout que je devrais accepter l'idée que les mathématiques sont loin, très loin derrière moi.

 #4 - 07-01-2011 08:37:01

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

zurêka!

Ca veut dire quoi éclairer au maximum ?

 #5 - 07-01-2011 09:27:28

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

eurêja!

Je trouve personnellement l'énoncé trop vague ou "vulgarisé" comme pour un bouquin d'énigme grand public épais.
Que veux dire "éclaire au maximum"? quantité de photons reçus? angle solide maximum? angle plan maximum entre le centre de la flamme et de la pièce? inclinaison des rayons incidents sur la pièce maximum? De plus la hauteur seule n'est pas suffisante, le fait d'être à l'aplomb ou pas change les choses.

Si on veut répondre simplement, la réponse est: le plus près possible (hauteur de cire, pied, ...) de la pièce. L'angle solide sera le plus grand possible et donc la densité de photons sur la pièce aussi...

Quelque chose m'échappe et c'est doute du à ce genre d'énoncé un peu trop "vulgarisé"...

 #6 - 08-01-2011 00:13:33

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Euêrka!

Si je comprends bien l'enonce je dirais que la quantite de lumiere recut par le piece augmente lorsque la chandelle s'eleve car l'incidence augmente, mais cependant decroit car la distance augmentant l'angle solide diminue.

En schematisant à une projection 2D,
http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-candel.png
[TeX]A= acos [\frac{~H1^2+H2^2-4R^2}{2H1H2}][/TeX]
H1 et H2 étant les hypoténuses dessinées sur le schéma

soit en dérivant, soit en utilisant Excel (plus rapide), on obtient que l'angle est maximal lorsque H=L. Donc la hauteur donnant le maximal de lumière est lorsque la source de lumière est a 45 degrés, soit une hauteur de 1 mètre lorsque la chandelle est a 1 mètre de la pièce.


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 08-01-2011 08:19:10

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Eurêak!

La réponse semble (trop ? ) facile.
En faisant l'hypothèse que le diamètre de la pièce est très petit devant la distance de 1 m, et que le corps de la bougie ne masque pas en partie la flamme, le maximum doit correspondre à celui de la fonction sin a * cos a , a étant l'angle du rayon lumineux avec l'horizontale.

On trouve a = 45 ° donc une hauteur de 1 m n'est-il pas ? smile

 #8 - 08-01-2011 09:57:45

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

eueêka!

Spoiler : [Afficher le message] Les maths, seules, ne vous permettent pas de résoudre cette énigme.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #9 - 10-01-2011 09:38:33

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

eyrêka!

A part ça, je ne comprend pas la signification de "éclairer au maximum". Un indice ?

 #10 - 10-01-2011 10:58:55

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

eurêja!

Ouaip, je vois que je ne suis pas le seul à avoir trouvé mon résultat, et en MP Saint-Pierre m'a fourni sa solution qui ne concorde pas. Je continue à me demander en quoi je me trompe... la brillance de la source lumineuse n'influe normalement en rien sur la proportion de lumière reçue, en revanche celle-ci est directement liée à l'angle sous lequel la bougie "voit" la pièce et qui doit être le plus grand possible.

Passer à un angle solide ne devrait pas changer le résultat car la surface projetée de la pièce sur la sphère englobant la bougie sera maximal quand l'angle en 2D est maximal.

Ouinnnn je veux qu'on m'esplik

 #11 - 10-01-2011 13:16:45

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Eruêka!

Si t'es sage :p


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 10-01-2011 13:20:08

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Eurêk!

On est obligé de supposer que la densité de photons émise par la bougie est homogène dans toutes les directions (aucune information n'est fournie si ce n'est pas le cas). Il faut aussi supposer qu'éclairage maximal veut dire "plus grand nombre de photons reçus".
Donc l'angle sous lequel la flamme "voit" la pièce doit être le plus grand possible si l'on veut que celle-ci reçoive le plus de photons possibles.

Avec les notations de franck l'angle qui est la différence des angles des hypothénuses avec la verticale vaut:
[TeX]\alpha(H)=arctan(\dfrac{H}{L+R})-arctan(\dfrac{H}{L-R})[/TeX][TeX]\alpha'(H)=\dfrac1{L+R}.\dfrac1{1+\dfrac{H^2}{(L+R)^2}}-\dfrac1{L-R}.\dfrac1{1+\dfrac{H^2}{(L-R)^2}}=\dfrac{L+R}{(L+R)^2+H^2}-\dfrac{L-R}{(L-R)^2+H^2}[/TeX][TeX]\alpha'(H)=0 \Leftrightarrow H^2(L+R-(L-R))=(L-R)(L+R)^2-(L+R)(L-R)^2[/TeX]
Ce qui se simplifie en (je vous passe les détails): [latex]H^2=L^2-R^2[/latex]

Et si on néglige le rayon de la pièce par rapport à la distance entre la bougie et la pièce (sans doute la partie non mathématique de la démonstration à laquelle SaintPierre fait référence), on trouve en effet que H=L: la flamme de la bougie doit être à 1m de haut...

 #13 - 10-01-2011 14:33:26

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Eurêk!a

Eh bin Rivas, tu ne m'as pas lu (je suis vexé), car tu trouves comme moi... sauf que moi, je ne dérive pas l'angle mais sa tangente. Mais d'après SaintPierre en MP, la hauteur optimale est 0, 71, se serait-il trompé ?

 #14 - 10-01-2011 14:44:13

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

rurêka!

Sans faire de calcul, il me semble qu'il faut prendre en compte le fait que l'intensité lumineuse se distribue sur la surface d'une sphère.
Pour une intensité I initiale sur une surface nulle (on suppose la source ponctuelle), elle sera de I/(4PiR²) à une distance R de la source.

 #15 - 10-01-2011 14:54:10

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Eurêk!a

oui, on est d'accord, mais tout ce qu'on veut savoir c'est comment maximiser la partie qui va sur la pièce.

 #16 - 10-01-2011 18:01:27

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Eurêka!!

gasole a écrit:

Eh bin Rivas, tu ne m'as pas lu (je suis vexé), car tu trouves comme moi... sauf que moi, je ne dérive pas l'angle mais sa tangente. Mais d'après SaintPierre en MP, la hauteur optimale est 0, 71, se serait-il trompé ?

Ben si je t'ai lu. Et d'ailleurs j'ai bien noté que je trouvais comme toi. smile
J'ai rédigé ma solution justement pour ça.
Je n'avais pas de MP et je ne savais pas par ailleurs qu'il trouvait 0.71 (sans doute V2/2) mais je ne comprends pas en la situation d'où vient cette valeur.

@racine: Comme je l'ai indiqué dans mon post précédent, sans info supplémentaire, on ne sait pas quoi calculer (angle solide, ...). Mais je doute fort que le résultat en soit changé radicalement. Si on veut utiliser l'angle solide, il faut calculer l'angle solide de la pièce vu depuis la flamme (en négligeant l'absence de courbure de la piece) et faire une règle de 3 entre I, 4pi.L^2 (L distance entre la flamme et la pièce) et l'angle solide de la pièce. L'angle solide global est 4.pi. L'angle solide de la pièce n'est pas simple à calculer, intersection d'un cylindre penché avec une sphère... Je vais rester à mon approximation en 2D...

 #17 - 10-01-2011 18:05:47

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

EEurêka!

Pardon Rivas, j'ai cru que tu répondais à ma demande d'explications... La formule de SaintPierre fait intervenir la "brillance" ce qui me surprend.

Je crois aussi que ça ne changerait rien de passer à l'angle solide à part à nous compliquer la vie.

 #18 - 11-01-2011 15:31:26

patg34
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 9

rurêka!

La flamme etant une source ponctuelle elle 'voit' la piece au travers d'un angle solide.
Le flux lumineux emis est réparti sur 4pi.
Un element de surface de la piece (dP) est vu au travers d'un angle solide dA.
En photometrie on a dans ce cas:

dA = dP cos(b) / D^2

ou b est l'angle formé par la normale à dA et la normale à dP ( qui est parallele à la bougie ici).
D est la distance flamme - piece soit D = (1 + h^2)^1/2 avec h = hauteur de la bougie et 1^2 la distance a la bougie (1m donné).

cos(b) = h / D donc

dA = dP h / D^3 = dP h /(1 + h^2)^3/2

l'eclairement (E) maximum est obtenu quand dA / dP est max;
E = Flux_lumineux_emis / 4pi x dA/dP

On recherhe donc max(dA / dP) = max( h /(1 + h^2)^3/2) = max(1/(h^-2/3 + h^4/3)^3/2) = min(h^-2/3 + h^4/3).
dérivée = 0 ==> H = 1/rac(2)= 0.71

@racine : manquait le cos(b)

 #19 - 11-01-2011 16:33:58

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Eurêêka!

Bon apparemment, c'est bien d'avoir travaillé en 2D qui nous a mis dedans.

 #20 - 11-01-2011 16:47:54

daftpunk
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1109
Lieu: Around the world

Eurêêka!

naddj a écrit:

En me relisant, je crois surtout que je devrais accepter l'idée que les mathématiques sont loin, très loin derrière moi.

lollollol Je me fais aussi souvent cette réflexion !


Le bonheur est une vieille qui boite sur du verglas...

 #21 - 11-01-2011 19:01:37

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

eirêka!

@ Daftpunk: il parle de toi à la radio (Europe1), t'es en solde ! lol


The proof of the pudding is in the eating.

 #22 - 11-01-2011 19:05:49

daftpunk
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1109
Lieu: Around the world

eurêja!

M***e ! C'est la crise...

Je vais revendre mon casque lollol


Le bonheur est une vieille qui boite sur du verglas...

 #23 - 11-01-2011 22:26:24

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Eurêk!

Je comprends la démo physique. Trop physique pour moi d'ailleurs... smile

 #24 - 12-01-2011 10:35:12

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

eurêla!

Une fois qu'on accepte de travailler en 3D, ce n'est plus vraiment de la physique, on doit bien pouvoir les retrouver ces formules, "il n'y qu'à" maximiser l'angle solide... :-)

 #25 - 12-01-2011 14:55:11

patg34
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 9

Erêka!

ama le probleme en 2D c'est qu'il y a plusieurs plan qui se coupent.
Je tente le coup mais ca manque de rigueur.

F = la flamme

je propose de reprendre comme avec les angles solides mais en remplacant leur variable par leur diametre.
dA devient le diametre de la projection de la piece sur la sphere de centre F et de rayon unitaire.
dP devient le diametre de la piece. Quand son image est projetée perpendiculaire au rayon de la sphere de centre F a un rayon D = distance flamme-piece, soit une projection d'angle b, on retrouve dP x cos(b).
b etant toujours l'angle formé par la normale à la piece et le rayon de la sphere de centre F.

soit A et A' les extrémités du diametre dA et P et P' celles du diametre projeté de la piece (dPcosb) alors Thales nous donne :

dA/dPcosb = FA / FP avec FA = rayon unitaire et FP = D cf ci dessus
soit
dA/dPcosb= 1/D

Mais le diametre n'est pas le point d'interet, c'est la surface assimilée a ce diametre donc:
(pi/4 dA^2)/(pi/4 dP^2) cosb=1/D^2
==> dA^2/dP^2=cosb / D^2
nota: cosb sert a la projection uniquement est n'a donc pas a etre elevé ^2
ensuite c'est pareil avec recherche de dA^2/dP^2 max

vous noterez qu'i y a qq approximation peu rigoureuses ou pour le moins non démontrée ici.

 

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