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 #1 - 23-10-2014 19:43:03

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2717
Lieu: Luxembourg

Cube magque

http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Cube.png

Placer aux sommets de ce cube tous les nombres de 2 à 8 (1 l'est déjà) pour que la somme des nombres sur chacune des six faces soit la même. Combien de solutions différentes y a t-il, aux rotations et symétries près ?



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 #2 - 23-10-2014 22:43:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Cube magqiue

Il n'y a que 3 solutions possibles aux rotations près

 #3 - 24-10-2014 08:50:05

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Cube magiique

Démonstration :

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-cube18.png

 #4 - 24-10-2014 10:44:08

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2717
Lieu: Luxembourg

Cube magiquee

100% de bonne(s) réponse(s), c'est à dire 1 sur 1 big_smile

 #5 - 24-10-2014 13:04:27

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Cube magiquue

Il y a 3 solutions.

Remarquons tout d'abord que la somme des sommets d'une face doit faire 18. On en déduit que deux arêtes opposées sur le cube doivent avoir la même somme pour leurs deux sommets.

On raisonne sur les voisins du 1 :

Le sommet 1 ne peut avoir pour voisin le sommet 2. En effet, deux arêtes opposées sur le cube ont la même somme. Or pour obtenir la somme 3, le seul moyen est 1+2.

De même,  le sommet 1 ne peut avoir pour voisin le sommet 3.

Enfin, le sommet 5 ne peut non plus etre voisin du 1. Cela impliquerait que pour une face donnée contenant l'arête 1-5, l'arête opposée soit l'arete 8-4. Or il existe 2 faces contenant l'arête 1-5.

Ainsi l'ensemble des voisins du 1 peut être {4, 6, 7}, {4, 6, 8}, {4, 7, 8} ou {6, 7, 8}.

Le premier cas mène à une impossibilité car la face 1-4-6 doit etre complétée par un 7.

Les 3 autres cas mènent chacun à une unique solution.

 #6 - 24-10-2014 14:33:21

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

cune magique

Salut !

a) Alors d'abord, chaque face doit contenir (1+2+3+4+5+6+7+8)/2=18 points

b) Ensuite, le 1 et le 2 ne peuvent pas être aux extrémités de la même arête, car il faudrait alors compléter 2 faces avec 7 et 8 ce qui est impossible.

c) Enfin, il ne reste plus qu'à compléter les sommets en commençant par celui "diamétralement" opposé au 1.

Si on y place le 2, le 3 peut être soit sur la même arête que le 1, soit dans la diagonale d'une face, face au 1.
Sur la même arête, c'est impossible car alors il faudrait deux fois 6 et 8 sur 2 faces pour atteindre la somme de 18.
Le 3 est donc dans une diagonale. 6 et 8 complète les 2 autres sommets indifféremment (symétrie) de cette même face, le reste se construit tout seul.

Si on y place autre chose que le 2, alors le 2 ne peut se placer que dans la diagonale d'une face (voir le b) ).
On trouve alors facilement que l'on peut placer soit le 3 soit le 5 sans arriver à une impasse.

Conclusion, il y a 3 cubes constructibles !

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-solcube.jpg

 #7 - 25-10-2014 14:15:12

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

xube magique

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-cubeSommets.jpg

Sans grande conviction, je dirais au total 15 solutions aux rotations et symétries près

 #8 - 25-10-2014 15:36:04

Corycos
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 25

cube magoque

Bonjour
Si la place de nombre (1) est toujours la meme   on peut trouver 18 , sinon  144 solutions.

 #9 - 25-10-2014 16:15:02

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Cube magqiue

Bonjour smile

Nous avons la somme de tous les sommets qui font :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

D'autre part la somme de tous les sommets est égale à la somme des sommets de deux faces opposés sur le cube, donc la somme des sommets de chaque face est égal à 36/2=18.

Intéressons nous aux faces qui ont le sommet 1. Les différentes façons de faire 18 avec ces faces là sont :

1 + 8 + 7 + 2
1 + 8 + 6 + 3
1 + 8 + 5 + 4
1 + 7 + 6 + 4

Les trois faces qui le sommet 1 en commun n'ont pas d'autre sommet commun à elles trois, il est donc impossible que sur ces 3 faces apparaissent les trois premières solutions données (car 8 ne peut être commun à ces trois faces).

Donc une de ces faces contient les sommets 1,7,6,4 et les deux autres contiennent deux des trois autres solutions (avec un sommet égal à 8). Ce qui nous fait donc trois solutions possible en tout :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-cube_magique.png


Il y a sûrement plus simple.

 #10 - 26-10-2014 10:51:55

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Cube amgique

La valeur 8 ne peut se trouver que sur une des 3 arêtes provenant de 1.
Par exemple comme ceci :
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-CubeMagique.png

Les 3 autres arêtes parallèles à 1-8 doivent avoir une somme égale à 9 ce qui donne par exemple le cube ci-dessus.

On peut obtenir 2 autres configurations en intervertissant l'arête 6-3 soit avec 7-2, soit avec 4-5, ce qui donne 3 configurations.
Si je ne m'abuse, toutes les autres configurations conservant le point 1 à sa place, peuvent s'obtenir à partir de ces 3 configurations par rotation autour de l'axe 1-3 ou par symétrie autour des plans sécants passant par les arêtes 1-8, 1-7 et 1-4 et par le point 3 de mon exemple.

Merci pour cette découverte très intéressante big_smile .

 #11 - 26-10-2014 13:42:59

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2717
Lieu: Luxembourg

Cbue magique

gwen27, titoufred, golgot59, cogito, Jackv: c’est bien ça.
kossi_tg: OK pour le 1er cube, mais en tout on en a moins que ça.
Corycos: on en a beaucoup moins que ça (aux rotations et symétries près).

 #12 - 26-10-2014 21:00:09

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2717
Lieu: Luxembourg

Cube magiquee

Merci à tous pour votre participation. La somme d’une face fait effectivement 18. On trouvera donc sur deux faces opposées:
1+2+7+8 et 3+4+5+6
1+3+6+8 et 2+4+5+7
1+4+5+8 et 2+3+6+7
1+4+6+7 et 2+3+5+8
J’ai d'abord été surpris de trouver quatre possibilités, alors qu’un dé n’a que trois couples de faces. Mais le dernier couple rend impossible une somme de 18 sur les quatre autres faces. Au final on a bien trois solutions différentes aux rotations et symétries près.

 

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