Enigme Epistémê @ Prise2Tete

gasole · #1

Bien moins connue que l'énigme du produit et de la somme, voici une autre énigme "épistémique" (=requérant un raisonnement sur ce que les autres savent ou pas)...

Archimède, Diophante, Eratosthène et Pythagore s'ennuient au paradis. Uranie, muse des mathématiques, vient leur poser un 'tit problème de la part du Patron:
IL a choisit cinq nombres i j k l m vérifiant :
1 ≤ i < j < k < l < m ≤ 10
On indique à Pythagore leur produit P = ijklm,
à Archimède, l'addition des 5 nombres A = i + j + k + l + m,
à Ératosthène, la somme de leurs élévations au carrés E = i^2 + j^2 + k^2 + l^2 + m^2,
et à Diophante, la valeur D = (i + j + k) (l + m),
et il leur demande de trouver les 5 nombres.

1. Une heure après, Uranie revient les voir et les quatre grands mathématiciens répondent ensemble : « δεν ξέρω » (= « Je ne sais pas » en grec moderne. Oui entretemps ils se sont mis au grec moderne :-) )
2. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
3. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
4. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
Etc.
23. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
Mais après cette dernière réponse, les quatre visages sourient et tous s'écrient : « ξέρω ! C'est bon, je connais i, j, k, l et m. »

Quels sont les cinq nombres i j k l m ?

PS : question subsidiaire combien de temps terrestre dure une heure là-haut ?

racine · #2

je pense que je répondrais demain à 10h 48min 57s parce que pour l'instant :δεν ξέρω

scarta · #3

Je dirais 2, 5, 6, 7, 8

Très sympathique, ça m'a bien fait "réviser" mes connaissances des formules utilisables sur un tableur

Et pour la question subsidiaire, je suppose que si en une heure ils sont passés au grec moderne (XVe siècle), et Diophante est mort au IIIe siecle, donc ça ferait dans les 1200 ans 23 heures plus tard, ils auraient probablement dû répondre en galactique standard

L00ping007 · #4

La bonne réponse est le n-uplet {2,5,6,7,8}.

Preuve
Comptons le nombre de 5-uplets possibles au départ : [latex]C_{10}^5=252[/latex]

Comme aucun des mathématiciens ne peut conclure d'emblée, cela signifie que : chacun des 4 nombres P,A,E,D obtenus par les 4 compères peut être obtenu à partir d'un autre n-uplet de 5 nombres.
Il suffit donc, pour chaque opération, de lister les résultats possibles en fonction des 5 nombres de départ, et d'éliminer ceux pour lesquels il y a un seul n-uplet qui donne ce résultat.
Exemple : pour le produit, le produit 120 ne peut être obtenu qu'avec {1,2,3,4,5}, cette combinaison peut donc être exclue.
Chacun des compères fait ce raisonnement pour son opération, et à la fin de la première heure, fait le raisonnement pour les 4 opérations, car personne n'a pu conclure.
Ils en déduisent alors une liste de combinaisons réduite (identique pour les 4 compères, ils ont fait le même raisonnement).

Puis on itère le processus, on procédant de la même manière, et celui-ci va converger à 1 seule combinaison possible au bout de la 23ème itération.

Voici, obtenue à l'aide d'un petit programme (très fastidieux sinon, à mon avis !) le nombre de combinaisons restantes après chaque itération :

Heure 1 : 140 combinaisons restantes
Heure 2 : 100 combinaisons restantes
Heure 3 : 85 combinaisons restantes
Heure 4 : 73 combinaisons restantes
Heure 5 : 64 combinaisons restantes
Heure 6 : 62 combinaisons restantes
Heure 7 : 60 combinaisons restantes
Heure 8 : 57 combinaisons restantes
Heure 9 : 54 combinaisons restantes
Heure 10 : 50 combinaisons restantes
Heure 11 : 47 combinaisons restantes
Heure 12 : 44 combinaisons restantes
Heure 13 : 40 combinaisons restantes
Heure 14 : 36 combinaisons restantes
Heure 15 : 33 combinaisons restantes
Heure 16 : 31 combinaisons restantes
Heure 17 : 28 combinaisons restantes
Heure 18 : 24 combinaisons restantes
Heure 19 : 19 combinaisons restantes
Heure 20 : 13 combinaisons restantes
Heure 21 : 8 combinaisons restantes
Heure 22 : 4 combinaisons restantes
Heure 23 : 1 combinaison restante
23 itérations pour trouver {2,5,6,7,8}

Je pense par contre qu'à la main, c'est infaisable. Personnellement j'ai écrit un petit script PHP.

gasole · #5

Et un bravo pour Scarta et Looping ! Un !

gasole · #6

Non pas un, deux ! Un chacun :-)

gasole · #7

Ben dis donc... n'a pas eu beaucoup de succès cette énigme...

La solution exacte et détaillée de Looping m'épargne d'avoir à donner une réponse : je m'efface devant la perfection :-)

Pour ceux qui souhaitent connaître les problèmes de ce type, l'éternel Delahaye a rédigé cette page http://interstices.info/jcms/c_33649/li … hal?part=0 qui est très bien faite.

Encore bravo à Scarta et Looping, et merci à ce dernier pour le détail.

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#1 - 10-01-2011 10:48:57

Epiistémê

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#2 - 10-01-2011 12:57:15

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#3 - 10-01-2011 14:32:59

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