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 #1 - 13-01-2011 20:29:49

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Le b.a.-ba du calcul

Voici une calculatrice un peu spéciale:

7   8   9
4   5   6
1   2   3
0   .    @
(    )   =


Vous remarquerez qu'on ne peut effectuer qu'une opération: @.

a@b = 1-(a/b)

Que devrez-vous taper sur la calculatrice pour a+b, a-b, ab et a/b ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 13-01-2011 20:41:25

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

ke b.a.-ba du calcul ?

(a@b)@1 = 1-a@b = 1-(1-a/b ) = a/b

Après, je ne trouve pas.

 #3 - 13-01-2011 21:01:23

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Le ba.-ba du calcul ?

Oh ! Quelle est jolie celle-là !

On remarque tout de suite que [latex]a@b[/latex] n'est pas définie pour [latex]b=0[/latex]...

1) [latex]a/b = (a@b)@1[/latex] et en particulier [latex]1/b = (1@b)@1[/latex]

2) [latex]a*b = [/latex]
    si [latex]b=0[/latex]
         alors [latex]0 [/latex]
         sinon [latex]a/(1/b) = (a@((1@b)@1))@1[/latex]

comme [latex]2@1 = -1[/latex], et [latex]-a = a*(-1) = a@((1@(2@1))@1))@1[/latex], on a aussi :

3) [latex]a-b =[/latex]
    si [latex]a= 0[/latex]
         alors [latex]-b[/latex], c'est-à-dire [latex](b@((1@(2@1))@1))@1[/latex]
         sinon [latex]a*(1-b/a)= a * (b@a) = (a@((1@(b@a))@1))@1 [/latex]


4) [latex]a+b = [/latex]
    si [latex]a= 0[/latex]
         alors [latex]b[/latex]
         sinon [latex] a - (-b) = a * (-b@a) [/latex]
[TeX]= a@((1@(((b@((1@(2@1))@1))@1)@a))@1))@1[/TeX]
PS : et celle-là, elle vient d'où si c'est pas indiscret ?

 #4 - 14-01-2011 00:21:47

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Le b.a.ba du calcul ?

Remarquons tout d'abord que :
a@1=1-a

On déduit que (a@b)@1=1-(a@b)=1-(1-a/b)
donc a/b=(a@b)@1

On peut traiter la multiplication en remarquant que ab=a/(1/b)
donc ab=(a@(1/b))@1
et ab=(a@((1@b)@1))@1

Puis la différence : b@a=1-b/a=(a-b)/a, donc a-b=a*(b@a)

et a-b=(a@((1@(b@a))@1))@1

Pour la somme, on peut calculer :
(a@b)@(b@a)=(..)=(a+b)/b

a+b=(b@((1@((a@b)@(b@a)))@1))@1

Y a-t-il encore plus simple ?

 #5 - 14-01-2011 10:26:39

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Le .a.-ba du calcul ?

a/b= (a@b)@1


1/b=(1@b)@1
a*b=a/(1/b)=(a@((1@b)@1)@1)

a@b=(b-a)/b
b-a=((b-a)/b)*b=( (a@b)@((1@b)@1)@1)



-a=a-2a
2a=(a@((1@2)@1)
-a=a-2a=((a@(a@((1@2)@1)@((1@.............
b+a=b-(-a)=.........................................trop long à faire

 #6 - 14-01-2011 10:36:27

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1431

Le .a.-ba du calcul ?

On commence par le plus simple: la division (bien sûr, avec B non nul)
A @ B = 1-A/B
(1-A/B) @ 1 = A/B
Donc A/B = (A @ B) @ 1

Ensuite, la multiplication devient très simple aussi: AB = A / (1/B)
Ca se traduit donc en AB = (A @ [(1 @ B) @ 1]) @ 1
Seule limitation, B doit être encore non nul.

Puis, on peut trouver la soustraction facilement
B @ A = 1 - B/A = (A-B) / A; donc A-B = (B @ A) * A
On trouve donc [(B@A) @ ([1@A] @ 1)] @1
Nouvelle limitation : on ne peut pas faire 0-X


Enfin, l'addition n'est pas si triviale, même quand on a le reste:
A+B = A - (-B); B = 0-B or on n'a pas le droit de faire cette opération...
Du coup, on va faire: B@1 = 1-B; (1-B) - 1 = -B, A - (-B) = A+B
Mais dans ce cas, on devra avoir obligatoirement B <> 1 pour faire cette opération.
Prenons alors autre chose : comment faire -1 ? avec 2@1
Donc comment faire -B? En faisant B * -1
-B = (B @ [(1 @ (2@1)) @ 1]) @ 1
On peut même simplifier ça: -B = (B @(2@1)) @1
A+B = [(((B @(2@1)) @1)@A) @ ([1@A] @ 1)] @1

 #7 - 14-01-2011 11:21:42

Klimrod
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3764
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Le b.a.-ba d calcul ?

Très bonne idée de problème, je sens que ça va bien me prendre la tête... big_smile

Déjà une solution rapide et simple pour la division :
(a@b)@1 = 1-(a@b) = a/b

Mais également : 1@(1@(b@a)) = a/b
Donc il y a plusieurs solutions possibles, et le but du jeu devrait être de trouver les plus simples.

En outre, une fois qu'on a la division, il n'est pas difficile d'obtenir la multiplication, puisqu'il suffit de remplacer b par 1/b qui n'est autre que la division de 1 par b.
Donc (a@((1@b)@1))@1 = ab
Ça marche, mais il y a certainement plus simple...

Pour la soustraction : puisque b@a = (a-b)/a, il suffit par exemple de diviser b@a par 1/a :
[ (b@a) @ ( (1@a)@1 ) ] @1 = a-b. Là aussi, il doit y avoir plus simple....

Pour l'addition : on peut remarquer que (a@b)@(b@a) = 1+(a/b) = (a+b)/b. Il suffit donc de diviser cette expression par 1/b :
[ ((a@b)@(b@a)) @ ( (1@b)@1 ) ] @1 = a+b

A suivre pour d'éventuelles simplifications...
On peut aussi remarquer que, puisque 2@1=-1, alors :
a@(2@1)=1+a
et (a@(2@1))@1=-a

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #8 - 14-01-2011 12:25:20

MthS-MlndN
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Lieu: Rouen

Le b.a.--ba du calcul ?

Le plus facile pour moi : [latex]\frac{a}{b} = 1 - a @ b = (a @ b) @ 1[/latex].

En considérant ensuite la division comme une multiplication par l'inverse, et en appliquant la formule ci-dessus : [latex]a \times b = a @ [ ( 1 @ b ) @ 1 ] @ 1[/latex].

En factorisant a-b par a, puis en utilisant la définition de l'opération et la formule du produit : [latex]a - b = a @ [ ( 1 @ ( b @ a ) ) @ 1 ] @ 1[/latex].

Je peux ensuite écrire la somme comme une différence particulière :
[TeX]a+b = 1 - (1 - a - b) = (1-a-b)@1 = (a@1-b)@1[/TeX]
Et à partir de la formule de la différence ci-dessus, calculer la valeur finale. En résumé, dans l'ordre où j'ai trouvé tout ça :
[TeX]\frac{a}{b} = a @ b@ 1[/TeX]
[TeX]a \times b = a @ [ 1 @ b @ 1 ] @ 1[/TeX]
[TeX]a - b = a @ [ 1 @ ( b @ a ) @ 1 ] @ 1[/TeX]
[TeX]a + b = a @ 1 @ [ 1 @ ( b @ (a @ 1) ) @ 1 ][/TeX]
Il y a peut-être une expression plus simple pour chacun des deux derniers... Mais ils sont justes (je viens de vérifier à la main).

Je précise que l'ordre "de gauche à droite" est respecté pour supprimer des parenthèses. L'opération @ étant, bien entendu, non commutative, j'ai intérêt à le préciser avant de me faire taper sur les doigts lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 14-01-2011 13:10:11

rivas
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Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Le b.a-ba du calcul ?

A noter que cette operation n'est ni associative ni commutative.
Je commence par les choses "évidentes":
[TeX]a@a=0[/latex] (pas très utile).
[latex]a@0[/latex] est impossible.
[latex]a@1=1-a[/latex] (1)
[latex]1@a=1-\dfrac1a[/TeX]
Sa structure me fait penser à essayer la conjugaison:
[TeX](1@a)@1=\dfrac1a[/latex] (2)
[latex](a@1)@a=-\dfrac1a[/latex] (3)
[latex](a@b)@a=1-\dfrac1a+\dfrac1b[/latex] (4)
D'après (2) et (3): [latex](1@((a@1)@a))@1=-a[/latex] (6)

Je pense qu'avec ces 5 relations on peut déjà pas mal avancer.

[latex]a@b=1-\dfrac{a}b[/latex]. On cherche à faire [latex]\dfrac{a}b=1-(1-\dfrac{a}b)=(a@b)@1[/latex] d'après (1).
[latex]\fbox{\dfrac{a}b=(a@b)@1}[/latex] (5)

[latex]ab=\dfrac{a}{\dfrac1b}[/TeX]
D'après (2), [latex]\dfrac1b=(1@b)@1[/latex].
Et d'après (5), [latex]\dfrac{a}{\dfrac1b}=(a@\dfrac1b)@1[/latex]
Donc: [latex]\fbox{ab=(a@((1@b)@1))@1}[/latex]

Pour a-b, on utilise une combinaison de (4), (2) et (1):
[TeX]((a@b)@a)@1=1-(1-\dfrac1a+\dfrac1b)=\dfrac1a-\dfrac1b[/TeX]
Donc [latex]\fbox{a-b=((((1@a)@1)@((1@b)@1))@((1@a)@1))@1}[/latex]

Et donc d'après (6):
Donc [latex]\fbox{a+b=((((1@a)@1)@((1@((1@((b@1)@b))@1))@1))@((1@a)@1))@1}[/latex]

Il est peut être possible de simplifier un peu smile mais ça marche.
On dirait du LISP. Beurk...

 #10 - 14-01-2011 14:13:27

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 330

Le b.a-.ba du calcul ?

a@1 = 1 - a   (1@)

1- a@b = a/b  (2@)

a / (1 / b) = ab  (4@)

1 - (b@a)@(1/a) = a-b   (5@)

1 - ((1-a) - b) = a+b   (7@)

 #11 - 15-01-2011 15:14:39

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le b.a.-bba du calcul ?

Puis-je me permettre de proposer un post dans lequel on verrait le nombre minimum de signes @ utilisés pour chaque opération ? Je suis curieux de savoir si l'on peut faire moins que ce que j'ai fait, et sans doute cela nous relancerait encore...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #12 - 16-01-2011 12:17:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Le b..a-ba du calcul ?

C'est vraiment très amusant ce truc lol

Pour la division : a:b=(a@b)@1
Pour l'inverse : a'=(1@a)@1
Pour la multiplication aXb=a:b'
Pour la soustraction : a-b=aX(b@a)
Pour l'addition : [(a@1)-b]@1

Je n'ai pas cherché à minimiser le nombre de manipulations ce qui doit être assez rigolo .

Merci pour ce petit bijou smile

Vasimolo

 #13 - 16-01-2011 13:09:09

dhrm77
L'exilé
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Messages : 2989
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le b.a.-ba du calcum ?

Il faudrait peut-etre preciser quelle est l'associativité de cette fonction, avant que l'on puisse répondre.
A quoi est égal a@b@c ?
est-ce  (a@b)@c = 1-((1-(a/b))/c) = 1-1/c + a/b.c ?
ou a@(b@c) = 1-(a/(1-b/c)) = 1 - (a.c/(c-b)) ?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #14 - 16-01-2011 20:32:01

J05U3
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 1

Le b.a-ba du calcul ?

Très joli problème !!
Assez rapidement, on a :
0 = a@a
1 = (a@a)@a

Je n'ai pas réussi grand chose de plus, mais en tatonnant, je suis tombé sur :
ab = (((((b@(((a@((a@a)@a))@(((a@a)@a)@a))@a))@((a@a)@a))@((a@a)@a))@(((a@a)@a)@((b@(((a@((a@a)@a))@(((a@a)@a)@a))@a))@((a@a)@a))))@((a@a)@a))

(probablement pas optimisé)



EDIT : effectivement, je suis bien loin de vos résultats. Bravo à tous lol

 #15 - 16-01-2011 21:14:29

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

Le b.a.-ba du calcul

*Si a ≠ 1: a+b = (b@(a@1))@((1@((a@1))@1))
* Si a = 1: 1+b = b@(2@1)

Si a ≠ 0: a-b = ((b@a)@((1@a)@1))@1
Si a = 0: 0-b = (b@(2@1))@1

ab = (a@((1@b)@1))@1  ---> si b≠0

a/b = (a@b)@1


Bravo à ceux qui ont trouvé et merci pour les nombreuses réponses. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #16 - 16-01-2011 22:02:29

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Le ba.-ba du calcul ?

Merci d'avoir posté cette énigme, qui était passionnante a résoudre.

Je vais néanmoins renouveler la question de Gasole : d'où vient-elle ? (C'est sympa de nous remercier pour nos réponses, mais si tu ne les lis pas...)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 16-01-2011 22:06:03

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

le b.a.-ba du calcil ?

Mathias, je lis toutes les réponses et le contenu de chaque réponse. Si je suis resté silencieux sur l'origine de cette énigme, c'est pour préserver quelques solutions à venir. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #18 - 17-01-2011 10:42:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Le b.a.-ba du calcull ?

Ouais, ça se tient lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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