Enigmes

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 #1 - 03-07-2012 18:21:07

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

Un drle de calcul en base 3.

Bonsoir à tous.
Encore une énigme courte: écrire un entier en base 3, le diviser par 2, et s'il y a un reste, ajouter le chiffre 2 à droite du nombre obtenu. Et recommencer autant de fois que nécessaire. Mais, où cela va t il se terminer ?

Exemple:
122--->22 ça ne tombe pas juste donc 222---->111---->202----->101....

Bon amusement



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 #2 - 04-07-2012 08:48:05

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 378

Un ddrôle de calcul en base 3.

J'aimerais tant voir Syracuse...

 #3 - 04-07-2012 09:31:35

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,810E+3

un drôle de calcuk en base 3.

si jamais on arrive à sur une puissance de deux par le plus grand des hasards :

1 20 10 21 210 2101
1  6   3   7   21    64  ... 32 16 8 4 2 1   
Ca passe en boucle...

Donc ça n'en finit jamais.

 #4 - 04-07-2012 10:18:06

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Un drôle de calcl en base 3.

Un construit donc la suite suivante:

On choisit [latex]u_0[/latex] et puis pour chaque itération:
* Si [latex]u_n[/latex] est pair (donc la division par 2 n'a pas de reste): [latex]u_{n+1}=\dfrac{u_n}2[/latex]
* Si [latex]u_n[/latex] est impair: [latex]u_{n+1}=3\dfrac{u_n-1}2+2=\dfrac{3u_n+1}2[/latex], c'est à dire la composition de 2 étapes: [latex]u_n \rightarrow 3u_n+1[/latex] (qui est alors forcément pair) puis une division par 2.

Cette suite est donc une suite extraite de la suite de Syracuse (puisqu'on regroupe 2 étapes en une) pour laquelle la littérature est plétorique.
Par exemple: http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse

Amusant de cacher une problème classique sous une présentation différente...

 #5 - 04-07-2012 12:46:34

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 666

un dtôle de calcul en base 3.

La base 3 ne sert qu'a masquer le calcul.
En base 10, on peut reformuler le problème par :
Prenez un nombre, s'il est pair, divisez le par 2, s'il est impair, prenez le quotient de la division par 2, multipliez par 3 et ajoutez 2 puis recommencez !


ça va se terminer par une boucle 1-2-1-2-1

 #6 - 04-07-2012 18:31:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

Un drôle de alcul en base 3.

Certains ont vu, d'autres pas....
Les conclusions par certains mériteraient d'être accompagnées d'une petite preuve.
Gwen, et si ça n'arrive pas ?

 #7 - 04-07-2012 21:17:15

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

un drôle fe calcul en base 3.

A la fin, on tombe sur 2-1-2-1-2-1-2-1-2
à l'infini


Un promath- actif dans un forum actif

 #8 - 05-07-2012 17:58:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

un drôle de calvul en base 3.

A Gwen, Godisdead, Promath:
Etes vous sûrs de vos conclusions pour tout nombre ?

 #9 - 06-07-2012 10:38:48

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un drôle de calcu en base 3.

Euh... Ca dépasse mon niveau mais apparemment oui.


Un promath- actif dans un forum actif

 #10 - 06-07-2012 22:21:06

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

un dtôle de calcul en base 3.

Certains ont bien reconnu la suite de Syracuse. C'est pas mal, car elle était bien masquée. Surtout que l'opération commence par une division par 2.

Exemple du nombre 173, écrit d'abord en binaire, poids fort à droite:
10110101
.....1000001
........100011
...........101001
..................111
....................1101
......................10001
.........................1011
..............................101
....................................1
Le front avant est rectiligne, le front arrière irrégulier.

et écrit en base 3, poids fort à gauche:
20102
100122
..11211
....2102
....10122
......1211
........2202
........1101
.........2002
.........1001
...........112
.............21
.............102
...............122
.................222
.................111
..................202
..................101
....................12
.....................22
.....................11
.......................2
.......................1 

Ici, la régularité se retrouve sur le front arrière (bien visible pour des grands nombres).

On voit que la méthode en binaire est nettement plus courte car on n'y voit que les nombres impairs de la suite. Cependant, l'utilisation de la base 3 permet de "remonter" la suite bien plus facilement.

 #11 - 06-07-2012 22:26:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,810E+3

Un drôle de calcul en ase 3.

J'ai toujours eu du mal avec ma droite et ma gauche lol

 

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