Enigme Un drôle de calcul en base 3. @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonsoir à tous.
Encore une énigme courte: écrire un entier en base 3, le diviser par 2, et s'il y a un reste, ajouter le chiffre 2 à droite du nombre obtenu. Et recommencer autant de fois que nécessaire. Mais, où cela va t il se terminer ?

Exemple:
122--->22 ça ne tombe pas juste donc 222---->111---->202----->101....

Bon amusement

dylasse · #2

J'aimerais tant voir Syracuse...

gwen27 · #3

si jamais on arrive à sur une puissance de deux par le plus grand des hasards :

1 20 10 21 210 2101
1 6 3 7 21 64 ... 32 16 8 4 2 1
Ca passe en boucle...

Donc ça n'en finit jamais.

rivas · #4

Un construit donc la suite suivante:

On choisit $Formule LaTeX : u_0$ et puis pour chaque itération:
* Si $Formule LaTeX : u_n$ est pair (donc la division par 2 n'a pas de reste): $Formule LaTeX : u_{n+1}=\dfrac{u_n}2$
* Si $Formule LaTeX : u_n$ est impair: $Formule LaTeX : u_{n+1}=3\dfrac{u_n-1}2+2=\dfrac{3u_n+1}2$ , c'est à dire la composition de 2 étapes: $Formule LaTeX : u_n \rightarrow 3u_n+1$ (qui est alors forcément pair) puis une division par 2.

Cette suite est donc une suite extraite de la suite de Syracuse (puisqu'on regroupe 2 étapes en une) pour laquelle la littérature est plétorique.
Par exemple: http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse

Amusant de cacher une problème classique sous une présentation différente...

godisdead · #5

La base 3 ne sert qu'a masquer le calcul.
En base 10, on peut reformuler le problème par :
Prenez un nombre, s'il est pair, divisez le par 2, s'il est impair, prenez le quotient de la division par 2, multipliez par 3 et ajoutez 2 puis recommencez !

ça va se terminer par une boucle 1-2-1-2-1

nodgim · #6

Certains ont vu, d'autres pas....
Les conclusions par certains mériteraient d'être accompagnées d'une petite preuve.
Gwen, et si ça n'arrive pas ?

Promath- · #7

A la fin, on tombe sur 2-1-2-1-2-1-2-1-2
à l'infini

nodgim · #8

A Gwen, Godisdead, Promath:
Etes vous sûrs de vos conclusions pour tout nombre ?

Promath- · #9

Euh... Ca dépasse mon niveau mais apparemment oui.

nodgim · #10

Certains ont bien reconnu la suite de Syracuse. C'est pas mal, car elle était bien masquée. Surtout que l'opération commence par une division par 2.

Exemple du nombre 173, écrit d'abord en binaire, poids fort à droite:
10110101
.....1000001
........100011
...........101001
..................111
....................1101
......................10001
.........................1011
..............................101
....................................1
Le front avant est rectiligne, le front arrière irrégulier.

et écrit en base 3, poids fort à gauche:
20102
100122
..11211
....2102
....10122
......1211
........2202
........1101
.........2002
.........1001
...........112
.............21
.............102
...............122
.................222
.................111
..................202
..................101
....................12
.....................22
.....................11
.......................2
.......................1

Ici, la régularité se retrouve sur le front arrière (bien visible pour des grands nombres).

On voit que la méthode en binaire est nettement plus courte car on n'y voit que les nombres impairs de la suite. Cependant, l'utilisation de la base 3 permet de "remonter" la suite bien plus facilement.

gwen27 · #11

J'ai toujours eu du mal avec ma droite et ma gauche

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#1 - 03-07-2012 18:21:07

yn drôle de calcul en base 3.

#0 Réponse publicitaire

#2 - 04-07-2012 08:48:05

Unn drôle de calcul en base 3.

#3 - 04-07-2012 09:31:35

un drôle fe calcul en base 3.

#4 - 04-07-2012 10:18:06

Un drôle de caalcul en base 3.

#5 - 04-07-2012 12:46:34

Un drôle ed calcul en base 3.

#6 - 04-07-2012 18:31:02

Un drôle dde calcul en base 3.

#7 - 04-07-2012 21:17:15

un drôle de xalcul en base 3.

#8 - 05-07-2012 17:58:50

Un dôrle de calcul en base 3.

#9 - 06-07-2012 10:38:48

Un drôle de calcul en abse 3.

#10 - 06-07-2012 22:21:06

Un drôlee de calcul en base 3.

#11 - 06-07-2012 22:26:46

un drôle de calcul rn base 3.

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