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 #1 - 27-01-2011 19:23:17

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

sauvez-les prisedetêtien(ne)d !! -retour

Je vais reprendre la trame mise en avant par gasole dans un post précédent.
Le Joker séquestre une fois encore 60 prisedetêtiens, parmi les meilleurs, dont vous (il est fort pour cela). Il veut tenter de prouver au monde qu'ils ne sont pas si malins que ça, encore et toujours (bref c'est un vrai 'comic', le méchant ne se lasse jamais et invente toujours une machine plus diabolique que la précédente).

Chacun d'entre vous est dans une cellule, a un dossard qu'il peut voir (les dossards sont numérotés de 1 à 60) et est complètement isolé des autres.

Le premier d'entre nous est appelé et se retrouve face à 60 portes, derrière lesquelles sont cachés des numéros (allant de 1 à 60 là encore). Il a droit d'en ouvrir 30 (au maximum) et il doit retrouver son numéro. S'il n'y arrive pas, tous les prisonniers sont exécutés (lui compris). S'il y arrive, il n'est pas sauvé pour autant car le Joker appelle le second prisonnier, qui se retrouve à son tour devant les 60 portes (fermées ! et le premier prisonnier est retournée dans sa geôle entre temps, il n'y a pas de communication possible), et doit trouver son numéro... Etc.

Que faites-vous ? Quelles sont vos chances de vous en sortir si vous avez chacun la même stratégie (à définir)?

PS : méfiez-vous..

PS2 : cette énigme est issue d'un blog, j'ai repompé la plupart du texte. C'est sûrement pas dur de le retrouver par un moteur de recherche...

PS3 : c'est assez magique la stratégie qui 'fonctionne'



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 #2 - 27-01-2011 19:56:36

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Sauvez-les prisedetêtien(ne)s !! -retourr

Dommage que tu parles d'un blog, j'ai un peu cherché  sur le Net après avoir séché un moment sur la conduite à tenir.
Mais très joli problème, je vais un peu mieux regarder la probabilité qu'il n'y ait aucun cycle de longueur supérieur à la moitié des prisonniers, j'écrirai un truc plus tard.

Sinon comme évoqué dans le blog, le Joker peut choisir une permutation sadique qui a au moins un cycle de longueur supérieure à 30, ainsi tout le monde mourra ! Et la probabilité de s'en sortir n'est pas d'environ 30%, mais de 0 !

EDIT
Je vais pas reprendre les calculs effectués sur le blog, il suffit de lire, je pense que tu mettras le lien.
En revanche, je vais donner une formule générale pour la probabilité de s'en sortir en fonction de n nombre de prisonniers, et m le nombre maximum de portes qu'un prisonnier a le droit d'ouvrir :
[TeX]P = 1 - \sum \limits_{k=m+1}^{n}\frac{1}{k}[/TeX]
Pour un n donné, on peut se demander quel m permet d'avoir plus d'une chance sur 2 de survie :
[TeX]P > \frac 12 \Leftrightarrow \sum_{k=m+1}^{n}\frac{1}{k} < \frac 12[/TeX]
Comme [latex]\sum_{k=m+1}^{n}\frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k}[/latex]

Quand n est grand, [latex]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \sim \ln(n)[/latex], on arrive à une condition sur m qui est :
[TeX]P > \frac 12 \Leftrightarrow \frac{m}{n} > \frac{1}{\sqrt e}[/TeX]
Application numérique : la probabilité dépasse 1 chance sur 2 quand le nombre de portes est supérieur à 60% du nombre de prisonniers ...

 #3 - 27-01-2011 21:47:51

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

Sauvez-les prisedetêten(ne)s !! -retour

Je trouve [latex]\frac 1 {2C_{59}^{29}}[/latex], ce qui fait globalement pas beaucoup ....

C'est ça ou ma stratégie est ... disons ... sous optimale ?

Edit : Je parle de la proba de survie du groupe.

 #4 - 27-01-2011 21:53:12

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Sauvez-les prisedetêtien(ne)s !! -retoru

Je vais pas tricher, je la connais (désolé mais je fais un peu la collec' :-) )

Tu devrais préciser que les numéros ont été distribués aléatoirement dans les cellules (si le Joker la connaît on est foutus, il fera un cycle de longueur >30 l'enfoiré).
Et aussi, parce que c'est pas clair immédiatement, les prisonniers ouvrent les cellules une par une, ils ne choisissent pas les 30 d'un coup.

Merci de l'avoir exhumée, elle est magnifique.

 #5 - 27-01-2011 21:55:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Sauvez-les prisedetêtien(n)es !! -retour

Bah, tout le monde meurt ?

Non, sans rire, aucune idée, pourtant j'ai la solution sous les yeux.

 #6 - 29-01-2011 01:12:19

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Sauvezz-les prisedetêtien(ne)s !! -retour

Les 60 prisedetêtiens, parmi les meilleurs, ont-ils convenu d'une stratégie avant même de se faire enfermer?

 #7 - 29-01-2011 15:19:10

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

Sauvez-les prisdeetêtien(ne)s !! -retour

@L00ping007 : en fait j'étais tombé sur un blog qui ne doit pas être le même que celui dont tu parles mais effectivement :
l'hypothèse importante qui est faite dans le problème est que les numéros choisis derrière les portes ont été faits "au hasard" (dit autrement, et c'est un indice : on a choisi une permuation "au hasard" [= uniformément]).
Et merci pour le problème supplémentaire que tu t'es posé smile

@Tromaril : il faut trouver une méthode plus efficace...
@irmo322 : effectivement, vu qu'on en discute ici, on aura tous une stratégie commune face à ce problème.
@gasole : oui, c'est vrai, il faut préciser que les prisonniers ouvrent les portes une par une.

Indice : Spoiler : [Afficher le message]  le Joker a donc créée une permutation [supposée prise "au hasard"] où à chaque porte est associée un numéro. Il faut regarder la longueur des cycles de la permuation...

Bon week-end !

 #8 - 29-01-2011 23:33:12

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

SSauvez-les prisedetêtien(ne)s !! -retour

Hum, je ne maîtrise pas les cycles de permutation.
Un prisonnier appelé sait-il s'il est le premier, 2ème... ou 60ème à passer ?


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #9 - 30-01-2011 14:52:24

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Sauve-zles prisedetêtien(ne)s !! -retour

Le 1er prisonnier est devant 60 portes ! il a le droit d'ouvrir 30 pour trouver son numero !
il a donc une probabilité de = 30 / 60 de trouver son numero ! Si cela est fait il retourne dans sa chambre et le prochain vient tenter sa chance ! les portes sont tous fermés et donc il y a Une indépendance des evenements.
on peut conclure que la probabilité que tous seront sauvés et :
p = 0.5^60 mais ça parait tres faible ! sad


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #10 - 30-01-2011 20:44:43

MMORgan
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 172

Sauvez-les prisedetêtien(ne)s !! -retoour

@Azdod : tu peux créer de la dépendance dans les évenements... En effet, les portes et les numéros qui sont derrière ne changent pas, pour chacun des joueurs ! A toi de trouver une façon de jouer qui tient compte de cette dépendance.
@fix33 : les prisonniers appelés ne savent pas dans quel ordre ils sont appelés

 #11 - 30-01-2011 21:11:37

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

sauvez-les prisedetêtien(ne)s !! -retpur

Franchement Morgan, quand on ne la connaît pas c'est super dur... un indice !

 

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