Premier poids : 1

Second poids : 3 

Celui ci permet de peser de 1 à 4 ( 1, 3-1, 3, 3+1 )

Troisième poids : 9

Permet donc de peser de 9-4 à 9+4 (5 à 13 )  en couplant avec les poids précédents.

Quatrième poids : 27

Permet donc de peser de 27-13 à 27+13 ( 14 à 40 )

Enfin, le dernier poids : 100 - 27 - 9 -3 -1 = 60 pour respecter la condition de base

Permet de peser de 60-40 à 60 + 40 ( 20 à 100 )

Un poids de 81 aurait permis de peser de 41 à 121 en évitant les redondances.
On peut donc peser jusqu'à 121 kg avec 5 poids. Je pense que l'on doit même pouvoir aller plus loin en cherchant bien.

Juste une petite question... Peut-on effectuer plusieurs pesées pour arriver au poids demandé?

Par exemple pour peser 99 kg de pommes, peut-on en peser 50 et puis 49?

Bravo gwen27

Pas trop dur, pas trop dur ... faut réfléchir quand même !

J'avais commencé par penser que trouver 5 masses m1, m2, m3, m4 et m5 entières et positives telles que :
m1 + m2 + m3 + m4 + m5 = 100 ;
m2 - m1 = 1 ;
m3 - m2 = 2 ;
m4 - m3 = 3 ;
m5 - m4 = 4 ;
me donnerait la bonne réponse, mais en fait, non, c'est trop bête . J'avais m1 = 16 ; m2 = 17 ; m3 = 19 ; m4 = 22 ; m5 = 26 et impossible de faire 99.

Alors du coup, je me suis demandé ce qu'il fallait faire pour obtenir 100, 99, 98, 97 ... Et c'est comme ça que j'ai trouvé la valeur des masses. Je m'explique :

Soit m1 ; m2 ; m3 ; m4 ; m5 cinq masses entières et bien sûr positives telles que :
m1 + m2 + m3 + m4 + m5 = 100.

Je vais fabriquer une petite balance. De chaque côté du "=", on aura un plateau de la balance, et le "=" symbolisera l'équilibre de la balance :
Pour 100, on a 100 = m1 + m2 + m3 + m4 + m5.

Mais pour 99 ? Il faut impérativement une masse marquée de 1. On pose donc m1 = 1. Ainsi, on peut peser toutes sortes de choses allant de 99 à 98 (kg) :
99 = m2 + m3 + m4 + m5
m1 + 98 = m2 + m3 + m4 + m5

Et pour 97 ? On est bloqué ... Du coup, hop hop hop ! On marque une nouvelle masse en posant m2 = 3. Et on continue !
97 = m1 + m3 + m4 + m5
96 = m3 + m4 + m5
m1 + 95 = m3 + m4 + m5
m2 + 94 = m1 + m3 + m4 + m5
m2 + 93 = m3 + m4 + m5
m1 + m2 + 92 = m3 + m4 + m5

Et pour 91 ? On réitère notre petite astuce, en posant m3 = 9.

Pardonnez-moi de ne pas écrire tous les calculs, mais j'ai un peu la flemme .
Avec ce procédé, on trouve m4 = 27 (encore une puissance de 3, je ne crois pas que ce soit une coïncidence).

Et comme m1 + m2 + m3 + m4 + m5 = 100 ; m5 = 60.

Avec des masses de 1 ; 3 ; 9 ; 27 et 60 kg, libre à l'épicier de mesurer tout ce qu'il voudra, pourvu que ce soit entre 1 et 100kg ! Enfin, vous me prévenez quand vous trouverez quelqu'un qui souhaitera "98 kg d'aubergines" .

Merci pour cette énigme ! Alexein41.

P.S. : Je n'ai pas précisé, mais toutes les valeurs sont bien évidemment en kg.

Je peux très bien trouver 5 poids permettant de faire 49 en utilisant par exemple 4 des 5 poids et 50 en utilisant 4 des 5 poids. C'est clair que si je peux faire 49 et 50 avec 5 poids seulement alors OK... Je ne suis pas neuneu non plus...

Je repose ma question : peut-on effectuer une pesée de x kg en plusieurs étapes?

C'est clair non?

Je propose :
m1=1
m2=3
m3=9
m4=27
m5=60

Avec m1 et m2, on peut peser de 1 à 4
En rajoutant m3, on peut peser en plus de 5 à 13
En rajoutant m4, on peut peser de 14 à 40.
Et m5 est tel que la somme des 5 masses vaut 100.

Avec cette répartition :
m1=1
m2=3
m3=9
m4=27
m5=81
on peut même peser toutes les masses de 1 à 121.

On peut généraliser à :
En prenant les masses [latex]m_k=3^{k-1}[/latex], pour k allant de 1 à n, on peut peser avec ces n masses tous les poids de 1 à [latex]\frac{3^n-1}2[/latex]kg.

Les masses 1 et 3 permettent d'aller jusqu'à 4 kilos.

2*4+1=9 => La troisième masse permettant de grimper jusqu'à 1+3+9=13 kilos

13*2+1=27 => poids de la quatrième masse permettant maintenant de peser toutes les masses intermédiaires jusqu'à 1+3+9+27=40 kilos.

ensuite la 5eme masse pèse 2*40+1=81 kilos. Les masses 1, 3, 9, 27 et 81 kg permettent d'effectuer toutes les pesées jusqu'à 1+3+9+27+81=121 kilos.

la n-ieme masse pèsera [latex]3^n[/latex] kilos et permettra d'effectuer toutes les pesées jusqu'à [latex]\frac{3^{n+1}-1}{2}[/latex]

Marrant, tout le monde a voulu généraliser