Démonstration d'une formule de calculs de dérivées. @ Prise2Tete

shadock · #1

J'ai une petite question (enfin j'espère) concernant la démonstration de la formule :
$[u(x)*v(x)]'=u(x)'v(x)+u(x)v'(x)$
Je passe directement à la deuxième partie de la démo que j'ai dans mon cours.

On veut déterminer $\lim_{h\to 0} \frac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}$ on a vu que ce rapport était aussi égal à : $\frac{u(a+h)-u(a)}{h}*v(a+h)...$ (dans mon cours c'était les vacances ou la flemme ) bref donc comme $u$ est dérivable en a alors $\lim_{h\to 0} \frac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$ de même pour $v$ .

Mais je ne comprends pas ça, pour moi c'est évident
On admet que $\lim_{h\to 0} v(a+h)=v(a)$
Est-il nécessaire de dire on admet, et si oui pourquoi ?, d'avance merci

Shadock

gasole · #2

C'est une propriété immédiate des fonctions continues, et ça se démontre très facilement en utilisant la définition de la continuité :

$http://upload.wikimedia.org/math/2/0/e/20eefb8e8625f5bb6dec27952fc8237f.png$

http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuit% … A9t.C3.A9s

kosmogol · #3

Pour les cours particuliers, www.vasimollo.com, c'est 50 euros la question.

w3ndd · #4

Je pense que :
On a besoin de cette limite, ie on a besoin de la continuité de la fonction en a, or on a pas démontré que dérivabilité implique continuité, donc on doit l'admettre.

(Boudiou comme quoi enseigner au collège, on oublie les démonstrations du plus haut niveau :S )

shadock · #5

Merci @Gasole je n'ai pas tout compris, mais j'aurai au moins appris la notion de continuité enseignée je crois en terminale

gasole · #6

En terminale ? c'est possible, me rappelle plus... la notion de continuité sert à rendre formel le fait que le graphe d'une fonction n'a pas de "trou", et donc que si x et x+h sont suffisamment proches l'un de l'autre (et donc h petit), forcément f(x) et f(x+h) seront proches aussi... c'est ça la continuité.

Kikuchi · #7

Une autre définition de la continuité revient à dire que $f$ est continue en $a$ ssi: $\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=f(a)$ ou encore $\lim_{h\rightarrow 0^{\pm}}f(a+h)=f(a)$

Et dire que $f$ est dérivable en $a$ signifie qu'il existe un réel $A$ et une fonction $\epsilon (h)$ avec $\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon(h)=0$ tel que:
$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=A+\epsilon (h)[/latex] et alors [latex]f'(a)=A$
On voit donc que si $f$ est dérivable an $a$ , alors $\lim_{h\rightarrow 0}f(a+h)=\lim_{h\rightarrow 0}\left( f(a)+hA+h\epsilon (h) \right)=f(a)$

Voilà comment on peut démontrer que dérivabilité $\Rightarrow$ continuité.

(J'espère avoir été assez rigoureux et pas avoir dit trop de con**ries )

shadock · #8

Merci beaucoup, je ne pouvais pas demander mieux
Ça fait quand même une longue démonstration pour pas grand chose, mais bon les maths c'est de la rigueur pure, pas comme la physique ou la précision n'ira pas au delà de 15 chiffres significatifs ( ou plus je ne sais pas )

Shadock

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#1 - 22-04-2011 19:26:22

Démonstration d'une formule de calcus de dérivées.

#0 Pub

#2 - 22-04-2011 19:34:06

Démonstration d'ue formule de calculs de dérivées.

#3 - 22-04-2011 19:35:30

Démonstration 'dune formule de calculs de dérivées.

#4 - 22-04-2011 19:36:53

Démonsrtation d'une formule de calculs de dérivées.

#5 - 22-04-2011 20:50:17

Démonstration d'une forule de calculs de dérivées.

#6 - 22-04-2011 21:26:12

Démonstration d'une formule de calculs de dérivés.

#7 - 29-04-2011 22:13:26

Déomnstration d'une formule de calculs de dérivées.

#8 - 29-04-2011 22:34:50

Déémonstration d'une formule de calculs de dérivées.

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