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 #1 - 22-04-2011 19:26:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Démonstrattion d'une formule de calculs de dérivées.

J'ai une petite question (enfin j'espère) concernant la démonstration de la formule :
[TeX][u(x)*v(x)]'=u(x)'v(x)+u(x)v'(x)[/TeX]
Je passe directement à la deuxième partie de la démo que j'ai dans mon cours.

On veut déterminer [latex]\lim_{h\to 0} \frac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}[/latex] on a vu que ce rapport était aussi égal à :[latex]\frac{u(a+h)-u(a)}{h}*v(a+h)...[/latex] (dans mon cours c'était les vacances ou la flemme tongue) bref donc comme [latex]u[/latex] est dérivable en a alors [latex]\lim_{h\to 0} \frac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)[/latex] de même pour [latex]v[/latex].

Mais je ne comprends pas ça, pour moi c'est évident yikes
On admet que [latex]\lim_{h\to 0} v(a+h)=v(a)[/latex]
Est-il nécessaire de dire on admet, et si oui pourquoi ?, d'avance merci smile

Shadock



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 #2 - 22-04-2011 19:34:06

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Démonstration d'une formulee de calculs de dérivées.

C'est une propriété immédiate des fonctions continues, et ça se démontre très facilement en utilisant la définition de la continuité :

http://upload.wikimedia.org/math/2/0/e/20eefb8e8625f5bb6dec27952fc8237f.png

http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuit% … A9t.C3.A9s

 #3 - 22-04-2011 19:35:30

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Démonstration d'une formul ede calculs de dérivées.

Pour les cours particuliers, www.vasimollo.com, c'est 50 euros la question. lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #4 - 22-04-2011 19:36:53

w3ndd
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 37
Lieu: Epône

Démonstration d'une fomrule de calculs de dérivées.

Je pense que :
On a besoin de cette limite, ie on a besoin de la continuité de la fonction en a, or on a pas démontré que dérivabilité implique continuité, donc on doit l'admettre.

(Boudiou comme quoi enseigner au collège, on oublie les démonstrations du plus haut niveau :S )

 #5 - 22-04-2011 20:50:17

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Démonstration d'une formule de calculs dee dérivées.

Merci @Gasole smile je n'ai pas tout compris, mais j'aurai au moins appris la notion de continuité enseignée je crois en terminale big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 22-04-2011 21:26:12

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

DDémonstration d'une formule de calculs de dérivées.

En terminale ? c'est possible, me rappelle plus... la notion de continuité sert à rendre formel le fait que le graphe d'une fonction n'a pas de "trou", et donc que si x et x+h sont suffisamment proches l'un de l'autre (et donc h petit), forcément f(x) et f(x+h) seront proches aussi... c'est ça la continuité.

 #7 - 29-04-2011 22:13:26

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

Démonstration d'une formule de calculs de dréivées.

Une autre définition de la continuité revient à dire que [latex]f[/latex] est continue en [latex]a[/latex] ssi:[latex]\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=f(a)[/latex] ou encore [latex]\lim_{h\rightarrow 0^{\pm}}f(a+h)=f(a)[/latex]

Et dire que [latex]f[/latex] est dérivable en [latex]a[/latex] signifie qu'il existe un réel [latex]A[/latex] et une fonction [latex]\epsilon (h)[/latex] avec [latex]\lim_{h\rightarrow 0}\epsilon(h)=0[/latex] tel que:
[TeX]\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=A+\epsilon (h)[/latex] et alors [latex]f'(a)=A[/TeX]
On voit donc que si [latex]f[/latex] est dérivable an [latex]a[/latex], alors [latex]\lim_{h\rightarrow 0}f(a+h)=\lim_{h\rightarrow 0}\left( f(a)+hA+h\epsilon (h) \right)=f(a)[/latex]

Voilà comment on peut démontrer que dérivabilité [latex]\Rightarrow[/latex] continuité.

(J'espère avoir été assez rigoureux et pas avoir dit trop de con**ries tongue )


There's no scientific consensus that life is important

 #8 - 29-04-2011 22:34:50

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Démonstraation d'une formule de calculs de dérivées.

Merci beaucoup, je ne pouvais pas demander mieux big_smile
Ça fait quand même une longue démonstration pour pas grand chose, mais bon les maths c'est de la rigueur pure, pas comme la physique ou la précision n'ira pas au delà de 15 chiffres significatifs ( ou plus je ne sais pas ) smile

Shadock


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