A propos du premier point après le zéro.
L'erreur est d'en parler comme s'il existait. Il n'existe tout simplement pas.
Il n'y a pas de "premier" point après le zéro.
Un segment privé d'une de ses extrémités devient un ensemble ouvert au voisinage de ce point (le segment n'est un ouvert au sens large que s'il manque les 2 extrémités). Ce qui veut dire justement, qu'il y a plus de point extrème en quelque sorte.

Concepts connexes: valeur d'adhérence, adhérence d'un ensemble, ensemble ouvert et fermé, limite supérieure (ou inférieure), ...

Je ne connais pas le "compteur de Peano".
La seule référence que j'en ai trouvé est dans un algorithme pour tracer une certaine itération de la courbe.
Si c'est bien de cela qu'on parle, je ne vois pas vraiment le problème.
Un algorithme ne peut par définition de travailler sur des nombres dénombrables et sur un nombre fini de tels nombres.
Il n'est donc certainement pas continu.

Si on parle d'un compteur continu, il ne peut évidemment pas "démarrer" puisque cela n'a pas de sens en continu.

Qu'appelles-tu compteur de Peano?

Ah ok ! Donc géométriquement on aurait: +oo x 0 = 0 (et pas un réel ou +oo) !

1) est vrai
2) est vrai
3) est incompréhensible donc impossible de dire vrai ou faux. Je me prononcerai (sans doute pour faux) s'il est ré-écrit d'une façon que j'arrive à comprendre, ce qui implique avec des notions mathématiques communément admises

SHTF47 a écrit:

Est-ce qu'un jour ces digressions à propos de l'infini cesseront ?

Non, elles seront interminablement discutées....

Commentaire pour Rivas:
Un segment sur lesquels on a marqué des points est une suite alternée de points P et d'intervalles I:

PPIIIIIIPPIIIIIIPPIIIIIIIIIPPIIIIIIIII....

Ci dessus, PP représente un point et IIIIIII l'intervalle qui suit.

Le rapport de proportionnalité dont je parle est ici le rapport:
I/(P+I)
Et ce rapport se calcule pour chaque groupe PPIIIIII.
Et il est évidemment tjs égal à 1. D'où il vient que la longueur totale est définie par seulement par les intervalles.

@Ash : oui, mais comme la distance est nulle entre chaque post, on peut dire qu'ils sont confondus, non ?

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Ca y est je comprends 3). Merci d'avoir clarifié.
Il n'y a rien de difficile dans 1) et 2) ni même sujet à discussion
3) est vrai jusqu'à:

Et comme la longueur totale du segment est une somme des longueurs élémentaires ......

.
Cette phrase n'a de sens que pour une somme finie et c'est justement tout le problème auquel tu te confrontes. Tu essayes de faire oo*0=qqc.
Il est possible de montrer que cette phrase est fausse mais cela met en jeu des mathématiques un peu plus compliquées comme par exemple le théorème d'inversion des limites qui justement ne peut pas être appliqué dans ce cas précis. La longueur de la somme n'est pas égale à la somme des longueurs dans ce cas particulier.

Dans le même genre je te propose le paradoxe suivant:
On construit un demi-cercle de centre O et de rayon 1 avec comme diamètre le segment de base [-1,1]. Sa longueur fait pi.
On construit sur la même figure 2 demi-cercles de rayon 1/2 et de centres -1/2 et +1/2. La longueur totale des 2 arcs de cercle fait toujours pi mais la "hauteur maximum" de la figure est 1/2.
On construit ensuite 4 demi-cercles sur le même modèle de rayon 1/4. La longueur totale fait toujours pi mais la hauteur totale 1/4.
En continuant ainsi on construit une suite de figures de longueur constante pi et "tendant vers" le segment de base dans le sens que la hauteur maximale est 1/2^n. La longueur de la figure limite est donc 2 (la longueur du segment [-1,1]) mais comme la longueur est constante égale à pi, la limite est aussi pi. Donc pi=2.

Ici aussi on utilise de façon intuitive et malheureusement incorrecte le théorème d'inversion des limites. On pense que la longueur de la figure limite est la limite des longueurs des figures.

On ne peut pas "faire" de mathématiques de façon intuitive. On peut conjecturer des choses mais il faut ensuite les démontrer formellement et rigoureusement. Le plus souvent ça marche mais pas toujours et surtout en rapport avec l'infini ou avec les dimensions non entières ou supérieures à 3.

Voila, voila...
Encore un post trop long de ma part...

Et c'est reparti avec l'infini. Sales bêtes

Encore a vouloir coller l'infini d'un côté ou de l'autre d'un signe = ?

Bah, j'ai compris maintenant. J'y aurai mis un temps infini.