Enigme Il faut faire l'appel 2 @ Prise2Tete

racine · #1

Suite à une erreur de vérification de ma part (Il faut faire l'appel), je vais directement à la question que je voulais vous poser.
Soit la suite:
1 3 4 5 7 9 11 12 13 15 16 17 19
Quel est le 1999ième nombre présent?

Milou_le_viking · #2

Se succèdent tous les nombres pouvant s'écrire comme le produit d'un nombre impaire et d'une puissance de 4:

1 4 16 64
3 6 24 48
5 20 80 320
7 28 112 448
9 36 144 576
11 44 176 704
...

(En gros, il manque le multiple de 2 de ce qui est déjà dans la série, mais c'est mieux formulé ci-dessus)

Je me suis fait un petit tableau qui me permet de connaitre la position d'un nombre donné. Par dichotomie, je fini par trouve 2999 comme 1999ème élément de la suite.

je n'ai pas trouvé de relation qui permette de trouver le nombre en fonction du rang. j'ai un truc qui ressemble à nombre = 1,5*rang-1 mais que je ne sais pas démontrer et qui ne marche pas toujours.

racine · #3

Milou est bien parti.

MthS-MlndN · #4

Un nombre n'est pas dans cette suite si et seulement s'il est le double d'un nombre déjà présent. Cool, mais pour l'instant je ne vois pas comment déterminer le énième nombre d'une telle suite

jobing · #5

2999. Trouvé en programmant Scrach.

halloduda · #6

Ça ne doit pas être très loin de 3000.

EDIT
C'est 2999

http://oeis.org/A003159

The sequence has the following fractal property. Remove odd terms from the sequence, it remains even terms 4,12,16,20,28,36,44,48,52,... Divides these terms by 4 we get 1,3,4,5,7,9,11,12,...the original sequence. [From Benoit Cloitre (benoit7848c(AT)orange.fr), Apr 06 2010]

L'ensemble 1-2999 a 1500 nombres impairs appartenant à la suite
et 499 termes dont les quotients par 4 forment la suite dans la séquence des
nombres 1-750, soit en tout 1999.
http://oeis.org/A003159/b003159.txt

3000 lui-même est multiple impair de 8 et n'appartient pas à la suite.

n.b. la description d'une suite dans oeis utilise des virgules comme séparateurs.
L'espace joue le rôle de joker et autorise l'insertion d'autres éléments.

Celine83 · #7

Je pense que la réponse est 3001.
La suite comprend tous les nombres entiers sauf les multiples des nombres déjà dans la suite.

racine · #8

Bonne réponse de Milou et jobing. Celine83 et halloduda ne sont pas loin.

On peut trouver une relation qui donne la forme des présents sans passer par les absents.

Celine83 · #9

2999.
On peut définir la suite comme étant la somme de 4^n+(2x+1) avec x et n variable ?

racine · #10

Pourquoi la somme?

Celine83 · #11

Non, tu as raison, pas la somme, j'ai tapé trop vite !

racine · #12

Tout bon pour halloduda.

nodgim · #13

Le nombre demandé doit être voisin de 3000 (sans vérifier dans le détail), c'est à dire 1.5*1999 environ.

racine · #14

Bien vu nodgim.

LeSingeMalicieux · #15

Cette suite est la suite des entiers naturels positifs, auxquels on ôte (en comptant en partant de 1), pour chaque entier naturel présent dans la liste, son premier multiple de 2.

alorc63 · #16

Si le nombre n apparait dans la suite, le nombre 2n n'apparait pas. Au final tous les nombres impairs sont présents et un chiffre pair sur deux est présent. Donc si je ne me suis pas trompé, le 1999ième nombre présent est le 2997 =)

Klimrod · #17

Bonjour Racine,

On s'aperçoit très vite que ta suite est constituée de tous les nombres impairs et de tous les nombres pairs dont la moitié ne figure pas dans la suite.

Une autre façon de constituer ta suite est de considérer la suite de tous les entiers positifs, de laquelle on enlève tous les multiples de 2, puis on ajoute tous les multiples de 4, puis on enlève tous les multiples de 8, puis on ajoute tous les multiples de 16, etc...

Pour déterminer si un nombre figure dans ta suite, il faut le décomposer en facteurs premiers et compter les puissances de 2. Puissance paire de 2 => le nombre est dans la suite, et puissance impaire de 2 => le nombre n'est pas dans la suite.
Exemples :
10 = 2 x 5, puissance impaire de 2 => absent
12 = 2^2 x 3, puissance paire de 2 => présent

Si l'on raisonne en base 2, tous les nombres qui se terminent par ...10, ...1000, ...100000, etc... sont exclus de la suite (un 1 suivi d'un nombre impair de 0).
Il se trouve qu'un nombre sur trois s'écrit sous cette forme.
En effet, on conserve les nombres se terminant par ...01 et ...11, ...0100 et 1100, etc...
Si l'on exclut un nombre sur trois de la liste des entiers, c'est que l'on conserve à peu près deux nombres sur trois.

Donc le 2000ème terme de ta suite devrait se situer aux environs de 3000 (à plus ou moins un près) et le 1999ème terme juste avant !

Je n'ai malheureusement pas le temps d'affiner le raisonnement...
Klim.

racine · #18

C'est pas grave Klim, tu as l'essentiel.

racine · #19

Cette suite se caractérise de deux façons, par les absents et les présents.

Les absents sont les doubles des présents. Ils sont donc tous pairs.

Les présents:
les impairs I
les 2I sont absents
les 4I sont présents car doubles des 2I
les 8I sont donc absents
les 16I présents
etc

Les présents sont donc de la forme 4^n*I

Comme cela a été dit plus haut si on Pn le nième nombre présent on a quelque chose de proche de Pn=1,5n.
Ici on cherche pour n=1999, on va donc dénombrer les présents jusqu'à 3000.
Sont présents:
- les impairs de 1 à 2999 (soit 1500 nombres)
- les 4I de 4*1 à 4*749 = 2996 (375 nombres)
- les 16I de 16*1 à 16*187 = 2992 (94 nombres)
- les 64I de 64*1 à 64*45 = 2880 (23 nombres)
- les 256I de 256*1 à 256*11 = 2816 (6 nombres)
- les 1024I le seul est 1024*1 1024 (1 nombre)

1500 + 375 + 94 + 23 + 6 + 1 = 1999 nombres
2999 est présents (car impair) mais 3000 est absent (car de la forme 8I = 8*375)

Le nombre cherché est donc 2999.

Merci de votre participation.

Milou_le_viking · #20

Tu n'as pas une justification pour le facteur 1,5 qu'il y a entre le rang et la valeur+/-1 d'un nombre de la suite ?

racine · #21

Il n'y a pas de justification car c'est faux, disons que ça marche plus ou moins bien et que ça permet d'affiner la partie dénombrement.

Ici on cherche pour n=1999, on va donc dénombrer les présents jusqu'à 3000.

Cette partie là, n'est pas justifiée, c'est vrai.

Klimrod · #22

Pourtant, il me semblait que je l'avais plus ou moins justifié :

Si l'on prend un nombre N quelconque et qu'on le considère en base 4, on peut l'écrire quelque chose comme :
...n4 n3 n2 n1 0 0 0
avec à droite un certain nombre de zéros (éventuellement aucun), et à gauche n4, n3, n2 compris entre 0 et 3, et n1 compris entre 1 et 3.
Alors, si n1= 2 => ce nombre est exclus de la suite
si n1 = 1 ou 3 => ce nombre est inclus dans la suite.

Cela justifie qu'un nombre sur trois est en moyenne exclus et que deux nombres sur trois sont en moyenne inclus dans la suite. En fait cela dépend comment la borne supérieure de la suite se situe par rapport aux multiples de trois.

Est-ce que mon raisonnement est si faux que cela (même si un mathématicien pourrait probablement le rendre plus rigoureux) ?

Klim.

racine · #23

Si on déroule un peu la suite, on s'aperçoit que l'écart fournit par 1,5n n'est pas borné par 1. Par exemple, pour n=58 Pn=85 alors que 58*1,5 = 87.

Cette énigme m'avait été donné par un collègue, il m'avait également donné une formule qui permettait d'obtenir le nombre de présents inférieurs ou égaux à n:

J'ai jamais essayé de voir d'où elle venait. Si certains sont joueurs.

PS: je maîtrise pas les formules Latex

Yanyan · #24

Déjà m est le plus petit entier tel que [latex]4^m\leq n[/latex].
Vu qu'on cherche à compter les éléments des ensembles [latex]4^rI[/latex] où [latex]I[/latex] est l'ensemble des impairs, le dénombrement prend fin à r=m.
Maintenant combien d'éléments sont inférieurs à n dans I :
il faut résoudre [latex]2x-1\leq n[/latex] donc [latex]x\leq \frac{n+1}{2}[/latex]. La partie entière de x repond à la question .
Plus généralement combien d'éléments sont inférieurs à n dans [latex]4^aI[/latex] :il faut résoudre [latex]4^a(2x-1)\leq n[/latex] donc [latex]x\leq \frac{1}{2}(\frac{n}{4^a}+1)[/latex]. La partie entière de x repond à la question .

D'où [latex]\sum_{a=0}^m E[ \frac{1}{2}(\frac{n}{4^a}+1)][/latex].

racine · #25

Merci pour l'explication Yanyan, c'était très clair.

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#1 - 23-05-2011 15:06:48

Il fuat faire l'appel 2

#0 Pub

#2 - 23-05-2011 16:34:19

il faut faure l'appel 2

#3 - 23-05-2011 16:44:32

lI faut faire l'appel 2

#4 - 23-05-2011 17:56:18

Il aut faire l'appel 2

#5 - 23-05-2011 19:44:26

il fzut faire l'appel 2

#6 - 24-05-2011 09:55:54

il faut faire m'appel 2

#7 - 24-05-2011 10:01:17

Il faut fire l'appel 2

#8 - 24-05-2011 10:52:22

il fauy faire l'appel 2

#9 - 24-05-2011 15:23:12

il gaut faire l'appel 2

#10 - 24-05-2011 15:48:33

Il faut faire l'aappel 2

#11 - 24-05-2011 16:49:06

Il faut faire l'appeel 2

#12 - 25-05-2011 12:54:47

il faut faire l'apprl 2

#13 - 25-05-2011 19:02:33

il faut faore l'appel 2

#14 - 25-05-2011 19:04:35

Il fat faire l'appel 2

#15 - 25-05-2011 22:13:18

Il fut faire l'appel 2

#16 - 26-05-2011 02:09:35

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#17 - 26-05-2011 12:03:11

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#18 - 26-05-2011 13:10:04

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#19 - 26-05-2011 14:58:25

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#20 - 26-05-2011 16:19:40

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#21 - 26-05-2011 16:27:19

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#22 - 26-05-2011 16:44:10

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#23 - 26-05-2011 17:09:26

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#24 - 27-05-2011 13:22:34

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#25 - 27-05-2011 13:28:50

Il faut faire l'appel

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