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 #1 - 17-08-2011 23:24:16

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Trouver le beiggnet sans perdre la boule.

Hello p2têtiens et p2têtiennes.
Aujourd'hui (et plus si affinité) on va faire un peu de pâte à modeler, enfin je veux dire de topologie, nous allons jouer avec des volumes et essayer de voir lesquels sont équivalents entre eux.
Les règles sont simples, et habituelles, on vous donne un volume et vous pouvez l'étirer le tordre le contracter etc... du moment que vous ne le percez pas ni ne le déchirez, ni ne le soudez. Avec de telles règles il doit vous sembler évident qu'une tasse de café et un tore sont un même objet, et qu'il n'y a pas de différence non plus entre sa soucoupe et une boule. Par contre une tasse et une soucoupe ça n'a rien à voir! :p
Je vous propose un petit bestiaire de volumes le but étant de trouver ceux qui sont équivalents entre eux avec les transformations autorisées.

1)N tores solidaires cote à cote comme ici, qu'on appellera arbitrairement "forme à N-trous".
(ici donc uniquement illustrée par la forme à 3 trous)
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-TopoB.JPG

Forme 2)
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-Topo1.JPG

Forme 3)
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-Topo2.JPG

Forme 4)
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-Topo3.JPG

Forme 5)
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-Topo4.JPG

Forme 6)
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-Topo5.JPG

Forme 7) (Une grille NxNxN à maille cubique) Pour les plus forts.
http://www.prise2tete.fr/upload/Clydevil-grid.jpg

Questions subsidiaire(à faire uniquement après la question principale):
Seriez vous capable de trouver quelques volumes simples qui ne soient pas une forme à N-trous?

Bonne chance!

INDICE/SOLUTION:
Selon les transformations autorisées:
-La forme 2 est totalement équivalente à Spoiler : [Afficher le message] La forme à 2 trous (deux tores collés)
-La forme 3 est totalement équivalente à Spoiler : [Afficher le message] La forme à 3 trous (trois tores collés)
-La forme 4 est totalement équivalente à Spoiler : [Afficher le message] La forme à 4 trous (quatre tores collés)
-La forme 5 est totalement équivalente à Spoiler : [Afficher le message] La forme à 5 trous (cinq tores collés)
-La forme 6 est totalement équivalente à Spoiler : [Afficher le message] La forme à 3 trous (trois tores collés)
-La forme 7 est totalement équivalente à Spoiler : [Afficher le message] La forme à 2n^3+3n^2 trous (2n^3+3n^2 tores collés) ou n est le nombre d'arêtes d'un grand coté

Question subsidiaire:
Spoiler : [Afficher le message] Une boule avec une bulle d'air dedans, mais plus intéressant toute la famille des noeud:



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 #2 - 17-08-2011 23:42:17

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

trouver le neignet sans perdre la boule.

Le vase de Klein, par exemple (et tous ses dérivés) ?

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Klein_bottle.svg/150px-Klein_bottle.svg.png


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 18-08-2011 00:22:46

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Trouer le beignet sans perdre la boule.

anneau de Moebius et bouteille de Klein.
http://rleb07.free.fr/culture/mobius.jpg
http://thelistcafe.com/images/stories/Lists/107_10_less_known_special_bottles/klein-bottle.jpg


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 18-08-2011 08:45:15

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

trouver le bzignet sans perdre la boule.

Hello!
@Klimrod, @Franck9525: vous avez sauté directement à la question subsidiaire?
Pour vous deux:

Spoiler : [Afficher le message] Une bouteille de Klein ou un ruban de Mobius ce sont des surfaces et non des volumes. Si vous souhaitez en faire des volumes en leur donnant une épaisseur alors le ruban est totalement équivalent a un tore (forme à 1 trou) avec les règles énoncées. La bouteille de klein avec une épaisseur semble avoir clairement un intérieur hermétique (fermé au niveau du croisement) et donc est bien différente d'une forme à N trou, mais une simple boule avec dedans une bulle de vide aurait aussi répondu à la question. smile

 #5 - 18-08-2011 08:49:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

trouver le beignet sans prrdre la boule.

Je n'ai pas très compris comment tu définissais un trou dans un volume. Peux tu préciser ?

 #6 - 18-08-2011 08:59:27

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Truover le beignet sans perdre la boule.

@nodgim:
>> Je n'ai pas très compris comment tu définissais un trou dans un volume. Peux tu
>> préciser ?

Oui je vais préciser, je ne défini pas un trou dans un volume j'ai juste arbitrairement décidé d'appeler "forme à N-trous" le volume résultant de la jonction cote à cote de N tores, comme dans l'image juste dessous avec 3.

 #7 - 18-08-2011 09:44:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

trouver le veignet sans perdre la boule.

Ben alors des volumes qui ne sont pas des assemblages de tores y en des tonnes, à commencer par les 2 dernières images.

 #8 - 18-08-2011 09:55:03

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Trouver el beignet sans perdre la boule.

@nodgim:
Il y a des règles de déformation autorisée, tu es sur que la forme 6 n'est pas la même qu'une des formes à N trous? smile

J'ai mis la question en rouge (vu que pas mal de gens ne voient pas la question et ne tentent que de répondre à la subsidiaire) et j'ai ajouté le spoiler pour la forme 6 juste dessous.

 #9 - 18-08-2011 10:20:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Trouvre le beignet sans perdre la boule.

Imagine que pour la forme 1 chaque tore est le segment d'un mètre de maçon: quand on va le replier il ne restera qu'une forme à 1 trou (c'est à dire un seul tore) et pourtant on aura respecté tes contraintes.

 #10 - 18-08-2011 10:28:21

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Trouver le beignet sans perde la boule.

@nodgim:
Tente ton opération de pliage en partant simplement de la forme 2trous.
Le début de l'opération est parfaitement faisable car de manière continue en augmentant le contact entre les deux tores tu peux commencer a les superposer pour que du coté charnière ca ressemble à un seul.
Mais de l' autre cote ca forme une sorte de petite bouche (dont les tores formeraient les lèvres) et cette bouche ne disparaitra jamais avec les transformations autorisées.
C'est pour ca que dans l'exemple célèbre de la tasse et de la soucoupe je dis que c' est diffèrent (On ne peut pas passer du tore à la boule) et par conséquent ne pas faire disparaitre la petite bouche évoquée ci dessus.
Tu vois ce que je veux dire?

 #11 - 18-08-2011 10:35:30

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

trouver lz beignet sans perdre la boule.

Bonjour,
J'ai toujours détesté la topologie, mais je sens que cette énigme va ravir Yanyan (au fait, où est-il ?).
Frank

 #12 - 18-08-2011 11:02:33

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

trouver le bzignet sans perdre la boule.

Si j'ai compris, il s'agit donc d'un ballon de baudruche gonflé qu'on déforme comme on veut ?

 #13 - 18-08-2011 11:23:19

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Trouver le beignet sans perdre la boule

@nodgim:
>>Si j'ai compris, il s'agit donc d'un ballon de baudruche gonflé qu'on déforme
>>comme on veut ?

Oui, évidemment j'aurais pu donner une définition barbante mathématiques rigoureuse, mais c'est suffisant de le vulgariser en disant que tu déformes comme tu le souhaites (tordre, étirer, contracter etc...) du moment que tu ne coupe pas, ne soude pas, ne perce pas.( comme je dis dans l'énonce). Pourquoi ne peut on pas pas passer du tore a la boule en faisant disparaitre le trou? (parce que c'est pas autorisée tongue NA!) mais pourquoi?, parce que ca reviendrait à couper le complémentaire, ca casse une certaine continuité de la transformation, normalement l'intuition te suffiras à comprendre ce que tu as le droit de faire.
Tout se résume dans l'exemple donné, tu dois voir qu'une tasse et qu'un tore c'est pareil, qu'une soucoupe et qu'une boule aussi, mais que la boule et le tore sont différents.

J'aurai aimé illustrer avec une petite vidéo ^^ mais les schémas 3d c'était déjà assez pénible à faire:)

 #14 - 18-08-2011 11:54:05

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

trouver le beihnet sans perdre la boule.

Toutes les formes sont des surfaces closes.
Elles se classent donc suivant leur genre.
Le genre représente le nombre de tores accolés auquel la surface est homéomorphe.
Pratiquement, c'est le nombre maximal de coupes que l'on peut pratiquer sans créer plusieurs morceaux.

Dans le cas d'un tore, on ne peut pratiquer qu'une seule coupe sans créer 2 morceaux, dans le cas d'un "bretzel" (2 tores accolés) on ne peut partiquer qu'au plus 2 coupes.

Le genre de la forme 1 est 3.
Le genre de la forme 2 est 2.
Le genre de la forme 3 est 3.
Le genre de la forme 4 est 4.
Le genre de la forme 5 est 5.
Le genre de la forme 6 est 3.

Pour le genre de la forme 7, c'est plus difficile.
Le prend pour N la longueur d'une grande arête. Il y a donc N+1 boules sur une arête (la figure représente donc N=9).
Je ne suis pas sûr mais il me semble que le genre est alors [latex](N+1)^2(3N-1)[/latex]. (Si on prend pour N le nombre de boules on trouve [latex]N^2(3N-4)[/latex]).

Pour la question subsidiaire, une surface de genre 0 convient, par exemple une sphère (épaisse si tu veux faire un volume = boule creuse) ou alors une "surface avec un bord" comme par exemple une sphère (épaisse) avec un trou (d'un côté seulement, pas traversant).

Merci pour cette énigme.

 #15 - 18-08-2011 11:59:47

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Trouver le beignet sanns perdre la boule.

@rivas: BRAVO!
J'ai pas encore fait le calcul avec N mais il y de forte chance que tu ais vu juste.
Pour la question subsidiaire, boule c'est un peu tricher:P, oui certes j'ai dit différent dune forme à N trou, je commençais à N=0 incluant donc dedans la boule. Tu peux en trouver 2 simples qui ne soien pas une boule et illustrent une idée différente.

 #16 - 18-08-2011 12:15:20

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

trouver le beignet sans persre la boule.

Pour le calcul avec N, j'ai calculé le nombre total d'arêtes [latex]4N(N+1)^2[/latex] et le nombre maximal que l'on doit garder pour ne pas faire 2 morceaux.
Je trouve: [latex](N+1)^3[/latex].
La différence est le nombre de coupes que l'on peut faire sans "scinder" la figure.
(Couper des arêtes ou couper des boules ne change rien).

Pour d'autres surfaces/volumes la boule creuse était un peu tricher, je suis d'accord.
Par contre la boule creuse avec un trou d'un coté me semble radicalement différente (surface avec un bord).
La bouteille de Klein répond au problème mais en dimension 4.
Ou alors il faut chercher vers la surface de Boy mais ce n'est pas simple non plus.

D'ailleurs il faut chercher une surface avec un bord sinon elles sont toutes homéomorphe à un certain nombre de tores accolés.

Peut-être un plan avec un trou (plan projectif)?

 #17 - 18-08-2011 13:21:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Trouver le bbeignet sans perdre la boule.

Pour la question 1:
il n'y a qu'à compter les anneaux indépendants qui peuvent entourer les volumes:
J'en compte
6 pour la forme 1,
3 pour la forme 2,
5 pour la forme 3,
8 pour la forme 4,
10 pour la forme 5,
6 pour la forme 6,
3n(n+1)²  pour un cube de taille n à (n+1)^3 sommets.

A nombres d'anneaux indépendants égaux, volumes égaux (aux transformations près) donc les volumes des formes 1 et 6 sont égaux et ce sont les seuls.

 #18 - 18-08-2011 13:31:02

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

trpuver le beignet sans perdre la boule.

@rivas: Voir PM, sinon je crois que je ne trouve pas pareil pour la grille, je vérifierais les calculs ce soir.

@nodgim: Je ne comprend pas trop ce que tu quantifies mais je remarque que tu quantifies la même chose pour Spoiler : [Afficher le message] la forme à 3-trous (3 tores accolés) et la forme 6, ce qui veut dire que tu considères les deux formes comme étant les mêmes? Si oui c'est juste, pour les autres reformule ta conclusion "machin et machin sont les même" etc... 

 #19 - 19-08-2011 23:27:59

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

troiver le beignet sans perdre la boule.

sad J'ai pourtant pris le temps de produire des beaux petits dessins :p
J'ai ajouté un indice/exemple/solution!

 #20 - 25-08-2011 09:08:54

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Trovuer le beignet sans perdre la boule.

Bon ba fiasco cette énigme tongue moi qui pensait que faire de la pâte a modelé mentalement ca plairait! il aurait sans doute valu une bonne vidéo exemple.
Solution ajoutée dans le post original.

 #21 - 25-08-2011 10:16:31

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

trouver le beignet dans perdre la boule.

Bonjour Clydevil,
Vraiment démoniaque big_smile cette énigme topologique.
Par pure curiosité, j'aurais bien trois petites questions:
1°) J'ai compris que la bouteille de Klein est une version 3D du ruban de Möbius, donc sans surface ni intérieure ni extérieure et donc non-équivalente à un tore à N trous. S'agit-il d'une "anomalie" particulière de formes topologiques ?
1°) Est ce que toute forme topologique "normale" (excluant le cas particulier de la bouteille de Klein) est équivalente à un tore à N trous (ou existe t-il d'autres formes non-assimilables à un tore à N trous) ?
3°) A quoi est équivalent la noeud indiqué dans ta question subsidiaire ?
Bonne journée.
Frank
PS: Je suis surpris que Yanyan (qui semble être un fan de topologie, domaine très "abstrait") ne se soit pas exprimé sur le sujet: je lui poserai la question en MP.

 #22 - 25-08-2011 10:49:56

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

trouvrr le beignet sans perdre la boule.

@Franky1103:
1) Dans mon probleme je ne considère que des volumes, je ne parle jamais de surface. Une bouteille de Klein c'est une surface donc c'est hors sujet, si tu considère le volume induit par la surface d'une bouteille de Klein en lui inculquant une épaisseur, ce volume définit clairement un espace interne hermétique qui ne peut pas disparaitre par déformation et donc ce n'est pas un N-tore collé. (qui dans le probleme sont des volumes plein sans creux interne).

2) Ta question c'est exactement la question subsidiaire de mon énigme, elle ne a donc la même réponse tongue, n'importe quel volume avec un creux quelque part dedans mais surtout ce qu'on appelle les nœud le plus simple étant donné en exemple. (cherche "prime knot" sur google image pour en voir une palanquée)

3) donc pareil qu'en 2, il n'est pas équivalent à un N tore, il est certainement la représentation 3d la plus simple de lui même.

Ps: Ce n'était pas si abstrait comme question ^^ exemple totalement équivalent au transformations qu'il fallait tenter de voir dans cette enigme:
http://www.youtube.com/watch?v=S5fPwE7GQOA

Voila voila.

 #23 - 25-08-2011 11:09:32

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Trouver le beignet sns perdre la boule.

Effectivement je suis fan de topologie mais plus orientée analyse fonctionnelle (et c'est la seule chose que j'ai étudiée).

J'aime la topologie générale car elle utilise des raisonnements fins et personnellement, j'ai tenté d'en comprendre les ressorts sans utiliser des outils dont je ne voyais pas l'utilité, en d'autres termes, de saisir toute l'économie des procédés. C'est une matière qui m'a beaucoup apportée. 

Cette énigme est très éloignée de la topologie telle que je la connais.

Ce n'est bien sûr pas une raison pour ne pas s'y intéresser.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
 

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