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#1 - 27-08-2011 10:32:03
- Yanyan
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Un noouveau centre
Soit un cercle tracé dans un repère orthonormé, centré en O de rayon 1. Soient A le point de coordonnée (0,1/2), J le point de coordonnée (0,1) et M un point du cercle.
1) Quelle est longueur de AM en fonction de l'angle (AJ,AM)?
2) Quelle est la longueur de l'arc de cercle JM en fonction du même angle?
3) Que vaut la surface balayée par le segment AN, N étant un point du cercle se baladant de J à M ?
Bon travail.![smile](img/smilies/smile.png)
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#2 - 27-08-2011 20:19:33
- TiLapiot
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- Lieu: au terrier ;^)
Un nouveau cente
Chalut à tutti, On a A(0;1/2), J(1;0) et M(xM;yM) xM et yM étant connues, les dimensions des côtés du triangle (AJM) le sont également car : . AJ²=(xJ-xA)²+(yJ-yA)²=1+1/4=5/4 . AM²=(xM-xA)²+(yM-yA)²=xM²+(yM-1/2)²=xM²+yM²-yM+1/4 . MJ²=(xM-xJ)²+(yM-yJ)²=(xM-1)²+yM²=xM²-2xM+1+yM²
Comme les 3 dimensions de (AJM) sont connues, les 3 angles le sont également, par la théorème de Pythagore généralisé : cos C=(a²+b²-c²)/2ab
En particulier, ça donne : MJ²=AM²+AJ²-2AM.AJ.cos(AJ;AM) => xM²-2xM+1+yM²=xM²+yM²-yM+1/4+5/4-2AM.AJ.cos(AJ;AM) => AM=(xM-yM/2+1/4)/AJ.cos(AJ;AM)
(après, ..., ahem, j'avoue que j'abdique un peu beaucoup.......)
![http://img6.imagebanana.com/img/kf8ay7hx/YanYan.gif](http://img6.imagebanana.com/img/kf8ay7hx/YanYan.gif)
#3 - 27-08-2011 21:09:18
- Yanyan
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Un nouvveau centre
TiLapiot le point J a pour coordonnées (0,1)...
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#4 - 28-08-2011 10:04:43
- esereth
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un nouvezu centre
Bonjour,
Un début de réponse : Question 1: Si j'appelle [latex]\theta[/latex] l'angle (JA, JM) je trouve [latex]AM=\frac{-\cos \theta +sqrt( \cos^2\theta+3)}{2}[/latex]. C'est bon ?
#5 - 29-08-2011 11:17:16
- Yanyan
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un niuveau centre
J'avais oublié de signaler que je cherche en même temps que vous.![smile](img/smilies/smile.png)
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#6 - 29-08-2011 21:07:29
- Yanyan
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un bouveau centre
La question 1) est simple, un petit indice : Spoiler : [Afficher le message] changer l'origine du repère en A . Je cherche les 2 autres....
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#7 - 29-08-2011 22:09:13
- esereth
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un nouveau centrr
Bonsoir,
L'indication donnée me confirme dans ma réponse à la question 1. Je n'avais pas procédé ainsi et c'est en effet plus facile ![smile](img/smilies/smile.png)
l'équation polaire dans un repère de centre A et d'axe (AJ) (c'est plus simple puisqu'on mesure les angles à partir de là) est: [TeX]r^2+r \cos \theta -\frac{3}{4}=0[/TeX] d'où mon résultat [TeX]r=\frac{-cos \theta + \sqrt{\cos^2 \theta +3}}{2}[/TeX] Je réfléchis donc tout haut à la question 2 : si on note [latex]\alpha[/latex] la mesure en radians de l'angle (OJ,OM), [latex]\alpha[/latex] est la mesure de l'arc JM et on a: [TeX]\sin \alpha = \text{AM} \sin\theta [/TeX] donc [TeX]\alpha = \arcsin (\text{AM} \sin \theta)[/TeX] Ceci étant dit je ne vois pas de simplification du résultat.
Pour le calcul d'aire de la question 3 je n'ose pas imaginer un calcul d'intégrale. On peut peut-être proposer une différence entre [latex]\alpha[/latex] qui est l'aire du secteur OJM du cercle et [latex]\frac{1}{4} \sin \theta[/latex] qui est l'aire du triangle OAM
#8 - 30-08-2011 08:05:22
- Yanyan
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Un nouveau ecntre
OK esereth pour la première question.
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#9 - 30-08-2011 13:10:04
- Franky1103
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yn nouveau centre
Bonjour,
1) Equation du cercle: x² + (y + 1/2)² = 1 soit: x² + y² + y -3/4 = 0 Soit a l'angle (AJ,AM); on a: x = AM sin a et y = AM cos a, ce qui donne: AM² (sin² a + cos² a) + AM cos a - 3/4 =0 soit: AM² + AM cos a - 3/4 =0 Equation du second degré: discriminant D = cos² a + 3 Soit, en ne gardant que la racine positive: AM = (- cos a +V(cos² a + 3)) / 2
2) Soit b l'angle (OJ,OM). Dans le triangle OAM, j'écris: AM / sin b = OM / sin (pi - a) soit sin b = AM sin a Or Arc JM = R b (b exprimé en radians) avec R = 1, ce qui donne: Arc JM = arcsin [sin a (- cos a + V(cos² a + 3)) / 2], en simplifiant (un peu): Arc JM = arcsin [(- sin 2a + V(7 - 6 cos 2a - cos² 2a)) / 4]
3) J'utilise le calcul différentiel: Surf = Intégrale pour x variant de 0 à a de [Arc JM dx] avec l'expression ci-dessus en remplacant a par x: bonne chance.
Bonne journée. Frank
#10 - 30-08-2011 13:55:08
- Yanyan
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un nouvrau centre
Esereth, oui pour la deuxième, on ne peut pas faire beaucoup mieux. Franky, oui pour les deux premières, il faut sans doute, en effet, oublier la 3), à moins qu'un courageux ou astucieux ne pointe le bout de son nez.![smile](img/smilies/smile.png)
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#11 - 31-08-2011 07:23:42
- Yanyan
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Un novueau centre
Merci aux participants. Franky je pense que si on applique ta méthode de calcul intégral au disque on n'arrive pas au résultat souhaité, j'ai peut-être mal compris...
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