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 #1 - 27-08-2011 10:32:03

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

un nouveau centrz

Soit un cercle tracé dans un repère orthonormé, centré en O de rayon 1. Soient A le point de coordonnée (0,1/2), J le point de coordonnée (0,1) et M un point du cercle.

1) Quelle est longueur de AM en fonction de l'angle (AJ,AM)?

2) Quelle est la longueur de l'arc de cercle JM en fonction du même angle?

3) Que vaut la surface balayée par le segment AN, N étant un point  du cercle se baladant de J à M ?


Bon travail.smile



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 #2 - 27-08-2011 20:19:33

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

un noyveau centre

Chalut à tutti,
On a A(0;1/2), J(1;0) et M(xM;yM)
xM et yM étant connues, les dimensions des côtés du triangle (AJM) le sont également car :
.    AJ²=(xJ-xA)²+(yJ-yA)²=1+1/4=5/4
.    AM²=(xM-xA)²+(yM-yA)²=xM²+(yM-1/2)²=xM²+yM²-yM+1/4
.    MJ²=(xM-xJ)²+(yM-yJ)²=(xM-1)²+yM²=xM²-2xM+1+yM²

Comme les 3 dimensions de (AJM) sont connues, les 3 angles le sont également, par la théorème de Pythagore généralisé : cos C=(a²+b²-c²)/2ab

En particulier, ça donne :
MJ²=AM²+AJ²-2AM.AJ.cos(AJ;AM)
    => xM²-2xM+1+yM²=xM²+yM²-yM+1/4+5/4-2AM.AJ.cos(AJ;AM)
    => AM=(xM-yM/2+1/4)/AJ.cos(AJ;AM)

(après, ..., ahem, j'avoue que j'abdique un peu beaucoup.......)
http://img6.imagebanana.com/img/kf8ay7hx/YanYan.gif

 #3 - 27-08-2011 21:09:18

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Un nouveau centr

TiLapiot le point J a pour coordonnées (0,1)...


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 #4 - 28-08-2011 10:04:43

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

un niuveau centre

Bonjour,

Un début de réponse :
Question 1:
Si j'appelle [latex]\theta[/latex] l'angle (JA, JM) je trouve
[latex]AM=\frac{-\cos \theta +sqrt( \cos^2\theta+3)}{2}[/latex].
C'est bon ?

 #5 - 29-08-2011 11:17:16

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Un nuveau centre

J'avais oublié de signaler que je cherche en même temps que vous.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #6 - 29-08-2011 21:07:29

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

un nouvzau centre

La question 1) est simple, un petit indice : Spoiler : [Afficher le message] changer l'origine du repère en A .
Je cherche les 2 autres....


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 #7 - 29-08-2011 22:09:13

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Un nouveau cntre

Bonsoir,

L'indication donnée me confirme dans ma réponse à la question 1. Je n'avais pas procédé ainsi et c'est en effet plus facile smile

l'équation polaire dans un repère de centre A et d'axe (AJ) (c'est plus simple puisqu'on mesure les angles à partir de là) est:
[TeX]r^2+r \cos \theta -\frac{3}{4}=0[/TeX]
d'où mon résultat
[TeX]r=\frac{-cos \theta + \sqrt{\cos^2 \theta +3}}{2}[/TeX]
Je réfléchis donc tout haut à la question 2 :
si on note [latex]\alpha[/latex] la mesure en radians de l'angle (OJ,OM), [latex]\alpha[/latex] est la mesure de l'arc JM et on a:
[TeX]\sin \alpha = \text{AM} \sin\theta [/TeX]
donc
[TeX]\alpha = \arcsin (\text{AM} \sin \theta)[/TeX]
Ceci étant dit je ne vois pas de simplification du résultat.

Pour le calcul d'aire de la question 3 je n'ose pas imaginer un calcul d'intégrale. 
On peut peut-être proposer une différence entre [latex]\alpha[/latex] qui est l'aire du secteur OJM du cercle et [latex]\frac{1}{4} \sin \theta[/latex] qui est l'aire du triangle OAM

 #8 - 30-08-2011 08:05:22

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Un nuveau centre

OK esereth pour la première question.


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 #9 - 30-08-2011 13:10:04

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2796
Lieu: Luxembourg

Un nouveau centr

Bonjour,

1) Equation du cercle: x² + (y + 1/2)² = 1 soit: x² + y² + y -3/4 = 0
Soit a l'angle (AJ,AM); on a: x = AM sin a et y = AM cos a, ce qui donne:
AM² (sin² a + cos² a) + AM cos a - 3/4 =0 soit: AM² + AM cos a - 3/4 =0
Equation du second degré: discriminant D = cos² a + 3
Soit, en ne gardant que la racine positive:
AM = (- cos a +V(cos² a + 3)) / 2

2) Soit b l'angle (OJ,OM). Dans le triangle OAM, j'écris:
AM / sin b = OM / sin (pi - a) soit sin b = AM sin a
Or Arc JM = R b (b exprimé en radians) avec R = 1, ce qui donne:
Arc JM = arcsin [sin a (- cos a + V(cos² a + 3)) / 2], en simplifiant (un peu):
Arc JM = arcsin [(- sin 2a + V(7 - 6 cos 2a - cos² 2a)) / 4]

3) J'utilise le calcul différentiel:
Surf = Intégrale pour x variant de 0 à a de [Arc JM dx] avec l'expression ci-dessus en remplacant a par x: bonne chance.

Bonne journée.
Frank

 #10 - 30-08-2011 13:55:08

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

un bouveau centre

Esereth, oui pour la deuxième, on ne peut pas faire beaucoup mieux.
Franky, oui pour les deux premières, il faut sans doute, en effet, oublier la 3), à moins qu'un courageux ou astucieux ne pointe le bout de son nez.smile


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 #11 - 31-08-2011 07:23:42

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

un nouveau czntre

Merci aux participants.
Franky je pense que si on applique ta méthode de calcul intégral au disque on n'arrive pas au résultat souhaité, j'ai peut-être mal compris...


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